2.2.1 基本不等式-(新教材人教版必修第一册)(35张PPT)

利用基本不等式比较大小
【例 2】 (1)已知 a，b∈R＋，则下列各式中不一定成立的是( )
A．a＋b≥2 ab
B.ba＋ab≥2
C.a2＋abb2≥2 ab
D.a2＋abb≥ ab
(2)已知 a，b，c 是两两不等的实数，则 p＝a2＋b2＋c2 与 q＝ab＋bc
＋ca 的大小关系是________．
B [当a2＋1＝2a，即(a－1)2＝0 1．不等式a2＋1≥2a中等号成立 即a＝1时，“＝”成立．] 的条件是( ) A．a＝±1 B．a＝1 C．a＝－1 D．a＝0
2．已知a，b∈(0,1)，且a≠b，
D [∵a，b∈(0,1)，∴a2＜a，
下列各式中最大的是( )
b2＜b，
A．a2＋b2
一定成立的是( )
A．a－b<0
B．0<ab<1
C.
a＋b ab< 2
D．ab>a＋b
C [∵a>b>0，由基本不等式知 ab<a＋2 b一定成立．]
3．不等式x－9 2＋(x－2)≥6(其 中x＞2)中等号成立的条件是( )
A．x＝3 B．x＝－3
C [由基本不等式知等号成立 的条件为x－9 2＝x－2，即x＝5(x＝－ 1舍去)．]
∴a2＋b2＜a＋b，又a2＋b2＞
B．2 ab
2ab(∵a≠b)，
C．2ab
∴2ab＜a2＋b2＜a＋b.
D．a＋b
又∵a＋b＞2 ab(∵a≠b)，∴a
＋b最大．]
3．已知ab＝1，a>0，b>0，则a
B [∵a>0，b>0，∴a＋
＋b的最小值为( )
b≥2 ab＝2，当且仅当a＝b＝1时取
A．1
1．下列不等式的推导过程正确的是________． ①若x＞1，则x＋1x≥2 x·1x＝2. ②若x＜0，则x＋4x＝－－x＋－4x ≤－2 －x·－4x＝－4. ③若a，b∈R，则ba＋ab≥2 ab·ab＝2.
② [ ①中忽视了基本不等式等号成立的条件，当x＝1x时即x＝1时， x＋1x≥2等号成立，因为x＞1，所以x＋1x＞2，③中忽视了利用基本不等 式时每一项必须为正数这一条件．]
本例条件不变，求证：1a－11b－11c－1>8. [证明] ∵a，b，c∈R＋， 且a＋b＋c＝1， ∴1a－1＝b＋a c>0，1b－1＝a＋b c>0，1c－1＝a＋c b>0，
∴1a－11b－11c－1
＝b＋a c·a＋b c·a＋c b
≥2
bc·2 ac·2 abc
ab＝8，
当且仅当a＝b＝c时取等号，
)
[提示] (1)任意a，b∈R，有a2＋b2≥2ab成立，当a，b都为正数时， 不等式a＋b≥2 ab成立．
(2)只有当a>0时，根据基本不等式，才有不等式a＋1a≥2 a·1a＝2成 立．
(3)因为 ab≤a＋2 b，所以ab≤a＋2 b2.
[答案] (1)× (2)× (3)√
2．设a>b>0，则下列不等式中
B．2
等号，故a＋b的最小值为2.]
C．4
D．8
4．当a，b∈R时，下列不等关系 成立的是________．
③ [根据x2＋2 y2≥xy，a＋2 b
①a＋2 b≥
ab；②a－b≥2
ab；
≥ ab成立的条件判断，知①②④ 错，只有③正确．]
③a2＋b2≥2ab；④a2－b2≥2ab.
合作探究 提素养
2．应用基本不等式证明不等式的关键在于进行“拼”、“凑”、 “拆”、“合”、“放缩”等变形，构造出符合基本不等式的条件结 构..
当堂达标 固双基
1．思考辨析 (1)对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2 ab均成立．( )
(2)若a≠0，则a＋1a≥2 a·1a＝2.( )
(3)若a>0，b>0，则ab≤a＋2 b2.(
[证明] ∵a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1， ∴1a＋1b＋1c＝a＋ab＋c＋a＋bb＋c＋a＋bc ＋c ＝3＋ba＋ac＋ab＋bc＋ac＋bc ＝3＋ba＋ba＋ac＋ac＋bc＋bc
≥3＋2 ba·ba＋2 ac·ac＋2 bc·bc ＝3＋2＋2＋2 ＝9. 当且仅当a＝b＝c时取等号， ∴1a＋1b＋1c>9.
(1)D (2)a2＋b2＋c2＞ab＋bc＋ac [(1)由a＋2 b≥ ab得a＋b＝2 ab， ∴A成立；
∵ba＋ab≥2 ba·ba＝2，∴B成立；
∵a2＋b2≥ ab
2aabb＝2
ab，∴C成立；
∵a2＋abb≤22aabb＝ ab，∴D不一定成立．
(2)∵a、b、c互不相等， ∴a2＋b2＞2ab，b2＋c2>2ac，a2＋c2>2ac. ∴2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ac)． 即a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ac.]
3．已知a，b，c∈R，求证：a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2.
[证明] 由基本不等式可得 a4＋b4＝(a2)2＋(b2)2≥2a2b2， 同理，b4＋c4≥2b2c2， c4＋a4≥2a2c2， ∴(a4＋b4)＋(b4＋c4)＋(c4＋a4)≥2a2b2＋2b2c2＋2a2c2， 从而a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2.
∴1a－11b－11c－1＞8.
1．条件不等式的证明，要将待证不等式与已知条件结合起来考虑， 比如本题通过“1”的代换，将不等式的左边化成齐次式，一方面为使用 基本不等式创造条件，另一方面可实现约分与不等式的右边建立联系．
2．先局部运用基本不等式，再利用不等式的性质(注意限制条件)， 通过相加(乘)合成为待证的不等式，既是运用基本不等式时的一种重要技 能，也是证明不等式时的一种常用方法．
A．P＞Q＞M B．M＞P＞Q
B [显然a＋2 b＞ ab，又因为 a＋2 b＜ a＋b，(由a＋b＞a＋4b2也 就是a＋4 b＜1可得)，所以 a＋b＞ a＋2 b＞ ab.故M＞P＞Q.]
C．Q＞M＞P
D．M＞Q＞P
利用基本不等式证明不等式 【例3】 已知a，b，c是互不相等的正数，且a＋b＋c＝1，求证：1a ＋1b＋1c>9. [思路点拨] 看到1a＋1b＋1c>9，想到将“1”换成“a＋b＋c”，裂项 构造基本不等式的形式，用基本不等式证明．
自主预习 探新知
1．重要不等式 ∀a，b∈R，有 a2＋b2≥ 2ab ，当且仅当a＝b 时，等号成立． 2．基本不等式 (1)有关概念：当 a，b 均为正数时，把a＋2 b叫做正数 a，b 的算术平均 数，把 ab叫做正数 a，b 的几何平均数． (2)不等式：当 a，b 是任意正实数时，a，b 的几何平均数不大于它们 的算术平均数，即 ab≤a＋2 b，当且仅当 a＝b 时，等号成立．
数学（人教版） 必修第一册
第二章 一元二次函数、方 程和不等式
2.2 基本不等式 第1课时 基本不等式
学习目标
核心素养
1.了解基本不等式的证明过程．(重 1.通过不等式的证明，培养逻辑推
点)
理素养．
2．能利用基本不等式证明简单的不 2．借助基本不等式形式求简单的最
等式及比较代数式的大小.
值问题，提升数学运算素养.
1．在理解基本不等式时，要从形式到内含中理解，特别要关注条 件．
2．运用基本不等式比较大小时应注意成立的条件，即a＋b≥2 ab成 立的条件是a>0，b>0，等号成立的条件是a＝b；a2＋b2≥2ab成立的条件 是a，b∈R，等号成立的条件是a＝b.
2．如果0＜a＜b＜1，P＝ a＋2 b，Q＝ ab，M＝ a＋b，那么 P，Q，M的大小顺序是( )
对基本不等式的理解
【例 1】 给出下面四个推导过程：
①∵a、b 为正实数，∴ab＋ab≥2 ba·ab＝2；
②∵a∈R，a≠0，∴4a＋a≥2 4a·a＝4；
③∵x、y∈R，xy＜0，∴xy＋yx＝－－xy＋－yx≤－2 其中正确的推导为( )
A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③
－yx－yx＝7. [证明] 由1a＋3b＝1，得b＝a3－a1(a＞1)， 则a＋2b＝a＋a6－a1＝a＋6a－a－11＋6 ＝a＋a－6 1＋6＝(a－1)＋a－6 1＋7 ≥2 6＋7， 当a－1＝a－6 1时，即a＝1＋ 6时，取等号．
1．应用基本不等式时要时刻注意其成立的条件，只有当a>0，b>0 时，才会有 ab≤a＋2 b.对于“当且仅当……时，‘＝’成立…”这句话 要从两个方面理解：一方面，当a＝b时，a＋2 b＝ ab；另一方面：当a＋2 b ＝ ab时，也有a＝b.
C．x＝5
D．x＝－5
4．设a>0，b>0，证明：ba2＋ab2≥a＋b. [证明] ∵a>0，b>0， ∴ba2＋a≥2b，ab2＋b≥2a， ∴ba2＋ab2≥a＋b.
谢谢~
B [①∵a、b为正实数，∴ba、ab为正实数，符合基本不等式的条 件，故①的推导正确．
②∵a∈R，a≠0，不符合基本不等式的条件， ∴4a＋a≥2 4a·a＝4是错误的． ③由xy＜0，得xy、yx均为负数，但在推导过程中将整体xy＋yx提出负号 后，－xy、－yx均变为正数，符合均值不等式的条件，故③正确．]
1．基本不等式 ab≤a＋2 b (a＞0，b＞0)反映了两个正数的和与积之 间的关系．
2．对基本不等式的准确掌握要抓住以下两个方面：(1)定理成立的条 件是 a、b 都是正数．(2)“当且仅当”的含义：当 a＝b 时， ab≤a＋2 b的 等号成立，即 a＝b⇒a＋2 b＝ ab；仅当 a＝b 时，a＋2 b≥ ab的等号成立， 即a＋2 b＝ ab⇒a＝b.