北师大版2021高考数学一轮复习统考第9章平面解析几何第1讲直线的倾斜角与斜率直线的方程学案含解析

第九章平面解析几何
第1讲直线的倾斜角与斜率、直线的方程
基础知识整合
1．直线的倾斜角与斜率
(1)直线的倾斜角
①定义：x轴01
正向与直线02向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角．当直线与
x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为030°.
②倾斜角的范围为040°≤α<180°.
(2)直线的斜率
条件公式
直线的倾斜角为θ，且θ≠90°k＝05tanθ
直线过点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1≠x2k＝06y2－y1 x2－x1
名称条件方程适用范围
点斜式斜率k与点(x1，y1)07y－y
1＝
k(x－x1)不含直线x＝x1
斜截式斜率k与直线在y轴上
的截距b
08y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线
两点式两点(x1，y1)，(x2，y2)09y－y1
y2－y1
＝
x－x1
x2－x1
不含直线x＝x1(x1＝x2)和
直线y＝y1(y1＝y2)
截距式直线在x轴，y轴上的
截距分别为a，b
10
x
a
＋
y
b
＝1
不含垂直于坐标轴和过
原点的直线
一般式—
11Ax＋By＋C＝0(A，B
不同时为0) 平面直角坐标系内的直线都适用
1．直线的斜率k与倾斜角θ之间的关系．
θ0°0°<θ<90°90°90°<θ<180°
k 0k>0不存在k<0 “斜率变化分两段，90°是分界线；
遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”．
2．“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．应注意过原点的特殊情况是否满足题意．
1．已知直线过A (2,4)，B (1，m )两点，且倾斜角为45°，则m ＝( ) A ．3 B ．－3 C ．5 D ．－1
答案 A
解析 ∵直线过A (2,4)，B (1，m )两点，∴直线的斜率为m －4
1－2
＝4－m .又直线的倾斜角为
45°，∴直线的斜率为1，即4－m ＝1，∴m ＝3.故选A ．
2．直线x ＋3y ＋1＝0的倾斜角是( ) A ．π6
B ．π3
C ．2π3
D ．5π6
答案 D
解析 由直线的方程得直线的斜率k ＝－33，设倾斜角为α，则tan α＝－3
3，所以α＝5π6
. 3．(2019·青海模拟)倾斜角为135°，在y 轴上的截距为－1的直线方程是( ) A ．x －y ＋1＝0 B ．x －y －1＝0 C ．x ＋y －1＝0 D ．x ＋y ＋1＝0
答案 D
解析 直线的斜率为k ＝tan135°＝－1，所以直线方程为y ＝－x －1，即x ＋y ＋1＝0. 4．(2019·四川绵阳联考)过点(5,2)且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍的直线方程是( )
A ．2x ＋y －12＝0
B ．2x ＋y －12＝0或2x －5y ＝0
C ．x －2y －1＝0
D ．x －2y －1＝0或2x －5y ＝0 答案 B
解析 设所求直线在x 轴上的截距为a ，则在y 轴上的截距为2a ，①当a ＝0时，所求直
线经过点(5,2)和(0,0)，所以直线方程为y ＝2
5
x ，即2x －5y ＝0；②当a ≠0时，设所求直线
方程为x a ＋y 2a ＝1，又直线过点(5,2)，所以5a ＋22a ＝1，解得a ＝6，所以所求直线方程为x 6＋y 12
＝
1，即2x ＋y －12＝0.综上，所求直线方程为2x －5y ＝0或2x ＋y －12＝0.故选B ．
5．(2020·广东深圳调研)在同一平面直角坐标系中，直线l 1：ax ＋y ＋b ＝0和直线l 2：
bx ＋y ＋a ＝0的图象有可能是( )
答案 B
解析 当a >0，b >0时，－a <0，－b <0，B 项符合．
6．直线l 与直线y ＝1，直线x －y －7＝0分别交于P ，Q 两点，线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率是( )
A ．23
B ．32
C ．－23
D ．－32
答案 C
解析 设P (a,1)，Q (b ，b －7)，由线段PQ 的中点坐标为(1，－1)可得
⎩⎪⎨⎪⎧
a ＋
b 2＝1，1＋b －72＝－1，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＝－2，
b ＝4，
所以P (－2，1)，Q (4，－3)，所以直线l 的斜率k
＝
1－－3－2－4＝－2
3
，故选C ．
核心考向突破
考向一 直线的倾斜角与斜率
例 1 (1)(2019·重庆巴蜀中学诊断)直线x ＋(a 2
＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是
( )
A ．⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π4
B ．⎣⎢
⎡⎭
⎪
⎫3π4，π
C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，π D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2∪⎣⎢⎡⎭
⎪⎫3π4，π 答案 B
解析 依题意，直线的斜率k ＝－
1
a 2＋1
∈[－1,0)，因此其倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎭
⎪⎫3π4，π. (2)直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为________．
答案 (－∞，－3]∪[1，＋∞) 解析 如图，∵k AP ＝1－0
2－1
＝1，
k BP ＝
3－0
0－1
＝－3， ∴k ∈(－∞，－3]∪[1，＋∞)．
直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾
斜角的范围时，要分⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2与⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π两种情况讨论．由正切函数图象可以看出，当α∈
⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2时，斜率k ∈[0，＋∞)；当α＝π2时，斜率不存在；当α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，π时，斜率k ∈(－
∞，0)．
[即时训练] 1.(2019·南昌模拟)直线2x cos α－y －3＝0⎝ ⎛⎭
⎪⎫α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3的倾斜角的变
化范围是( )
A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3
B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3
C ．⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π4，π2 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4
，2π3
答案 B
解析 直线2x cos α－y －3＝0的斜率k ＝2cos α.由于α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3，所以
12≤cos α≤
3
2
，因此k ＝2cos α∈[1，3]．设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，3]．由
于θ∈[0，π)，所以θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3，即倾斜角的变化范围是⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π4，π3. 2．(2019·安徽五校联考)已知点A (2,3)，B (－3，－2)，若直线kx －y ＋1－k ＝0与线段AB 相交，则k 的取值范围是( )
A ．⎣⎢⎡⎦
⎥⎤34，2
B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，34∪[2，＋∞)
C ．(－∞，1]∪[2，＋∞)
D ．[1,2]
答案 B
解析 直线kx －y ＋1－k ＝0恒过P (1,1)，k PA ＝2，k PB ＝34，故k 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，34∪
[2，＋∞)．故选B ．
考向二 求直线的方程
例2 根据所给条件求直线的方程： (1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为
10
10
； (2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12； (3)与直线3x －4y －5＝0关于y 轴对称．
解 (1)由题设知该直线的斜率存在，故可采用点斜式．设倾斜角为α，则sin α＝10
10
(0<α<π)，
从而cos α＝±31010，则k ＝tan α＝±1
3，
故所求直线方程为y ＝±1
3(x ＋4)，
即x ＋3y ＋4＝0或x －3y ＋4＝0.
(2)由题设知截距不为0，设直线方程为x a ＋y 12－a ＝1，又直线过点(－3,4)，从而－3
a
＋
4
12－a
＝1，解得a ＝－4或a ＝9. 故所求直线方程为4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0.
(3)直线3x －4y －5＝0与y 轴的交点为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－54，所求直线过A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－54，且斜率k ＝－34，所求直线方程为y ＝－34x －5
4
，即3x ＋4y ＋5＝0.
1．直线方程的求法
(1)直接法：根据已知条件，求出直线方程的确定条件，选择适当的直线方程的形式，直接写出直线方程．
(2)待定系数法：其具体步骤为，①设出直线方程的恰当形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式)；②根据题设条件列出关于待定系数的方程或方程组；③解方程或方程组得到待定系数；④写出直线方程；⑤验证所得直线方程是否为所求直线方程，如果有遗漏需要补加．
2．应注意分类讨论思想的应用：选用点斜式或斜截式时，需讨论直线的斜率是否存在；选用截距式时，需讨论直线是否过原点．
[即时训练] 3.已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( )
A ．1
B ．－1
C ．－2或－1
D ．－2或1
答案 D
解析 当a ＝0时，直线方程为y －2＝0，不满足题意，所以a ≠0，直线在x 轴上的截距为
2＋a a ，在y 轴上的截距为2＋a ，则由2＋a ＝2＋a
a
，得a ＝－2或a ＝1.
4．已知A (－1,1)，B (3,1)，C (1,3)，则△ABC 的边BC 上的高所在的直线方程为( ) A ．x ＋y ＝0 B ．x －y ＋2＝0 C ．x ＋y ＋2＝0 D ．x －y ＝0
答案 B
解析 因为B (3,1)，C (1,3)，所以k BC ＝3－11－3＝－1，故BC 边上的高所在直线的斜率k ＝
1，又高线经过点A (－1，1)，所以其所在的直线方程的x －y ＋2＝0.
5．过点P (6，－2)，且在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1的直线方程为________． 答案 2x ＋3y －6＝0或x ＋2y －2＝0 解析 设直线方程的截距式为
x
a ＋1＋y a ＝1，则6a ＋1＋－2a
＝1，解得a ＝2或a ＝1，则直线的方程是x 2＋1＋y 2＝1或x 1＋1＋y
1
＝1，即2x ＋3y －6＝0或x ＋2y －2＝0.
精准设计考向，多角度探究突破 考向三 直线方程的应用
角度1 例3 过点P (4,1)作直线l ，分别交x 轴，y 轴的正半轴于点A ，B ．
(1)当△AOB 的面积最小时，求直线l 的方程； (2)当|OA |＋|OB |取最小值时，求直线l 的方程．
解 设直线l ：x a ＋y b
＝1(a >0，b >0)，因为直线l 经过点P (4,1)，所以4a ＋1
b
＝1.
(1)因为4a ＋1
b ＝1≥2
4a ·1b
＝4ab
，
所以ab ≥16，S △AOB ＝1
2ab ≥8，当且仅当a ＝8，b ＝2时等号成立．
所以当a ＝8，b ＝2时，△AOB 的面积最小， 此时直线l 的方程为x 8＋y
2＝1，
即x ＋4y －8＝0.
(2)因为4a ＋1
b
＝1，a >0，b >0，
所以|OA |＋|OB |＝a ＋b ＝(a ＋b )·⎝ ⎛⎭
⎪⎫4a ＋1b ＝5＋a b ＋4b a
≥9，当且仅当a ＝6，b ＝3时等号
成立．
所以当|OA |＋|OB |取最小值时，直线l 的方程为x ＋2y －6＝0. 角度2 直线方程与函数的结合
例4 为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD 内建一个矩形草坪(如图)，另外△EFA 内部有一文物保护区不能占用，经测量AB ＝100 m ，BC ＝80 m ，AE ＝30 m ，AF ＝20 m ，应如何设计才能使草坪面积最大？
解 如图所示，以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，则E (30,0)，F (0,20)，
∴直线EF 的方程为x 30＋y
20
＝1(0≤x ≤30)．
易知当矩形草坪的一个顶点在线段EF 上时，可取最大值， 在线段EF 上取点P (m ，n )，作PQ ⊥BC 于点Q ，
PR ⊥CD 于点R ，设矩形PQCR 的面积为S ，
则S ＝|PQ |·|PR |＝(100－m )(80－n )． 又
m
30＋n 20＝1(0≤m ≤30)，∴n ＝20－23
m . ∴S ＝(100－m )⎝ ⎛⎭⎪⎫80－20＋23m
＝－23(m －5)2
＋180503
(0≤m ≤30)．
∴当m ＝5时，S 有最大值，这时|EP |∶|PF |＝5∶1.
所以当矩形草坪的两边在BC ，CD 上，一个顶点在线段EF 上，且这个顶点分有向线段EF 成5∶1时，草坪面积最大．
直线方程综合问题的两大类型及解法
(1)与函数相结合的问题：解决这类问题，一般是利用直线方程中x ，y 的关系，将问题转化为关于x (或y )的函数，借助函数的性质解决．
(2)与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知识(如方程解的个数、根的存在问题，不等式的性质、基本不等式等)来解决．
[即时训练] 6.已知实数x ，y 满足y ＝x 2
－2x ＋2(－1≤x ≤1)，试求y ＋3
x ＋2
的最大值和最小值．
解 如图，作出y ＝x 2
－2x ＋2(－1≤x ≤1)的图象(曲线段AB )，则
y ＋3
x ＋2
表示定点P (－2，－3)和曲线段AB 上任一点(x ，y )的连线的斜率k ，连接PA ，PB ，则k PA ≤k ≤k PB ．
易得A(1,1)，B(－1,5)，
所以k PA＝
1－－3
1－－2
＝
4
3
，k PB＝
5－－3
－1－－2
＝8，所以
4
3
≤k≤8，
故
y＋3
x＋2
的最大值是8，最小值是
4
3
.
7．如图，在两条互相垂直的道路l1，l2的一角，有一个电线杆，电线杆底部到道路l1的垂直距离为4米，到道路l2的垂直距离为3米，现在要过电线杆的底部靠近道路的一侧修建一条人行道，使得人行道与两条垂直的道路围成的直角三角形的面积最小，则人行道的长度为多少米？
解如图建立平面直角坐标系，
设人行道所在直线方程为y－4＝k(x－3)(k<0)，
所以A⎝
⎛
⎭⎪
⎫
3－
4
k
，0，B(0,4－3k)，
所以△ABO的面积
S＝
1
2
(4－3k)⎝
⎛
⎭⎪
⎫
3－
4
k＝
1
2⎝
⎛⎭⎪⎫
24－9k－
16
k，
因为k<0，
所以－9k－
16
k
≥2－9k⎝
⎛
⎭⎪
⎫
－
16
k＝24，
当且仅当－9k＝－
16
k，即k＝－
4
3时取等号．此时，A(6,0)，B(0,8)，所以人行道的长度为62＋82＝10
米．
1、在最软入的时候，你会想起谁。

20.8.188.18.202010:2110:21:53Aug-2010:21
2、人心是不待风吹儿自落得花。

二〇二〇年八月十八日2020年8月18日星期二
3、有勇气承担命运这才是英雄好汉。

10:218.18.202010:218.18.202010:2110:21:538.18.202010:218.18.2020
4、与肝胆人共事，无字句处读书。

8.18.20208.18.202010:2110:2110:21:5310:21:53
5、若注定是过客，没何必去惊扰一盏灯。

Tuesday, August 18, 2020August 20Tuesday, August 18, 20208/18/2020
6、生的光荣，活着重要。

10时21分10时21分18-Aug-208.18.2020
7、永远叫不醒一个装睡的人。

20.8.1820.8.1820.8.18。

2020年8月18日星期二二〇二〇年八月十八日
亲爱的用户：
相识是花结成蕾。

在那桃花盛开的地方，在这醉人芬芳的季节，愿你生活像春天一样阳光，心情像桃花一样美
丽，感谢你的阅读。