广东省阳江市两阳中学2024-2025学年高三上学期第二次月考数学试题(含解析)

2024-2025学年度第一学期高三第二次月考
数 学
（时间：120分钟 分值：150分）
班别 学号 姓名
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若集合，则（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．2．若复数z 满足，则（ ）A ．
B ．2
C ．2
D ．4
3．已知，，若，则
（ ）A ．2
B ．3
C ．5
D ．12
4．已知两条不同的直线和平面，且，则“”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C
．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
5．的内角的对边分别为，，且，则边（ ）A
B ．7
C
．3
D 6．已知，，则（ ）A ．B ．C ．
D ．7．已知函数是定义在R 上的偶函数，且在上是减函数，，则不等式
的解集是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．{}
{}2
2320,1A x x x B x x =--<=<A B = (,2)
-∞1,22⎛⎫- ⎪
⎝⎭1,12⎛⎫- ⎪
⎝⎭
(,1)
-∞()12i 24i z +⋅=-z =12
()1,2AB = ()4,AC m = AB AC ⊥
BC = ,m n αn ⊂α//m n //m αABC ∆,,A B C b a ,ABC ∆π1,3
b C ==
c =()cos m αβ-=tan tan 2αβ=()cos αβ+=3m
-3
m
-
3
m 3m
()f x (,0]-∞(2)0f =(1)()0f x f x -<(2,2)
-(,2)(1,2)-∞- ()()
3,01, -∞-()()
3,21,2 --
8．若函数有零点，则实数的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．二、选择题
：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列说法正确的是（ ）A ．的最小值为2B ．的最小值为1C ．的最大值为2
D ．最小值为10．已知函数的部分图象如图所示，则（ ）.
A ．函数的最小正周期为
B ．函数的图象关于点对称
C ．函数在上单调递增
D ．恒成立11．在平面直角坐标系中，已知点， ，直线，相交于点，且它们的斜率之和是.设动点的轨迹为曲线，则（ ）
A ．曲线关于原点对称
B ．曲线关于某条直线对称
C ．若曲线与直线无交点，则
D ．在曲线上取两点， ，其中，
，则三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12．函数在点处的切线方程为 .
13．对于随机事件，若，，，则 .
14．数列 满足记 则
的最大
()sin cos 2sin cos 1f x x x x x a =+-+-a 9
[]
4
[2]
[
-9
4
1
x x
+
21x +()2x x -2
27
2
x x +
+2
()()π2sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛
⎫=+>< ⎪⎝
⎭()f x π()y f x =π,04⎛⎫-
⎪⎝⎭
()y f x =[]π,0-()2π3π,,34x f x ⎡⎤
∀∈≥⎢
⎥⎣
⎦xOy ()1,0A -()10B ,AM BM M 2(),M x y C C C C y kx =()0>k 1
k ≥C (),P a b (),Q c d 0a <0c >2
PQ >3()2ln f x x x =-(1,(1))f ,A B ()25P A =
()35
P B =()1
|4P B A =()|P A B ={}n a []2
111,121n n a a a +∈-=-，，123n n T a a a α= ，2025T
值为 .
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知数列为公差不为零的等差数列，其前n 项和为，，且，
，成等比数列．
(1)求的通项公式；
(2)若数列是公比为3的等比数列，且，求的前n 项和．
16．（15分）记的内角所对的边分别为，已知.(1)求；
(2)若为边上一点，，求.
17．（15分）在三棱锥中，平面平面，，
，分别为的中点.
(1)证明：平面；(2)求二面角的正弦值.
{}n a n S 749=S 2a 5a 14a {}n a {}n n a b +2733=+b a {}n b n T ABC ∆,,A B C ,,a b c ()()b c a b c a bc +-++=A D
BC 3,4,BAD CAD AC AD ∠∠===sin B S ABC -SAC ⊥ABC AB BC ⊥2AC AS SC BC ===,D E ,AB AC AB ⊥SDE A SB C -
-
18．（17分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆的两个焦点分别是，，
点M 在
上，且 .(1)求的标准方程；(2)若直线与交于A ，B 两点，且
求的值.19．（17分）已知函数．(1)讨论的单调性；
(2)证明：．
C ()10F )
20F C 124MF MF +=C y kx =C OAB △k ()()()2211
1ln ,e 222
x f x ax a x x g x x ax =-++=--()f x ()()2ln 1f x g x x ax +≥--
2024-2025学年度第一学期高三数学月考2参考答案
班别
学号 姓名
1．A 【详解】解：由，即，解得，所以，因为B ={x |x <1}，所以；故选A
2．C 【详解】因为，则，所以.故选：C.
3．C 【详解】因为，，所以，得，则，
所以
，故.故选：C.
4．D 【分析】在长方体中，选取直线和平面，利用充分条件和必要条件的判断方法即可得出结果.
【详解】如图，取平面为平面，直线为，不妨取直线为，显然有，此时，即推不出，不妨取直线为直线，显然有，此时，即推不出，故选：D.5．A 【详解】由
，由余弦定理得，所以
故选：A.
6．B 【分析】根据两角差的余弦可求的关系，结合的值可求前者，故可求的值.
【详解】因为，所以，而，所以，故即，从而，故.故选：B.7．D 【分析】根据函数的性质，结合函数的零点，解抽象不等式.
22320x x --<()()2120x
x +-<1
22
x -
<<{}
212320|22A x x x x x ⎧⎫
=--<=-<<⎨⎬⎩⎭
{}|2A B x x =< ()12i 24i z +⋅=-()()()()24i 12i 24i 68
i 12i 12i 12i 55
z ---=
==--++-2z ==()()1,2,4,AB AC m == AB AC ⊥ 1420m ⨯+=2m =-()4,2AC =-
()3,4BC AC AB =-=-
5BC == ,m n αABCD αCD n AB m //m n m α⊂//m n //m α11B C m //m αm n ⊥//m α//m n 11πsin 1sin 223ABC S ab C a =
=⨯⨯==
V 3a =22222π
2cos 31231cos 73
c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯=c =cos cos ,sin sin αβαβtan tan αβ()cos αβ+()cos m αβ-=cos cos sin sin m αβαβ+=tan tan 2αβ=sin sin 2cos cos αβαβ=cos cos 2cos cos m αβαβ+=cos cos 3m αβ=
2sin sin 3
m αβ=()2cos cos cos sin sin 333
m m m
αβαβαβ+=-=
-=-
【详解】因为函数是偶函数，在上是减函数，所以在上是增函数，，时，，，
则或. 当时，，得时；
当时，，此时.故选:D.8．A 【分析】令，得，再令，
得出，并构造函数，将问题转化为直线与函数
在区间有交点，利用数形结合思想可得出实数的取值范围．
【详解】令，得，，令
，则，所以，，构造函数，其中
，，
所以，当
时，直线与函数在区间有交点，因此，实数的取值范围是，故选A ．
9．BD 【详解】当时，无最小值，故A 错误；因为，所以
，故B 正确；
，所以的最大值为
1，C 错误；
，当且仅当，即时，等号成立，D 正确.故选：BD
10．BCD 【分析】通过观察函数的图象，可得函数图象经过点
，且半周期为，从而可
得的解析式，再根据该正弦型函数在周期，对称性，单调性和给定区间上的值域分别判断即可得解.
【详解】因为，由的图象知其经过点，故得
(,0]-∞()0+∞，
()()220f f -==22x -<<()0f x <(1)()0f x f x -<(1)0()0f x f x -<⎧⎨>⎩(1)0
()0f x f x ->⎧⎨
<⎩(1)0()0f x f x -<⎧⎨>⎩212
22x x x -<-<⎧⎨><-⎩
或23x <<(1)0
()0f x f x ->⎧⎨<⎩121222
x x x ->-<-⎧⎨-<<⎩或2<<1x --()0f x =sin cos 2sin cos 1a x x x x =+-+sin cos t x x ⎡=+∈⎣22sin cos 1x x t =-()2
2g t t t =-++y a =()y g t =⎡⎣a ()0f x =sin cos 2sin cos 1a x x x x =+-+()2
sin cos 12sin cos x x x x +=+Q sin cos 4t x x x π⎛⎫⎡=+=+∈ ⎪⎣⎝
⎭22sin cos 1x x t =-()22sin cos 2sin cos 1112x x x x t t t t +-+=--+=-++()22g t t t =-++t ≤≤()2
1924g t t ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭
()max
1924g t g ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭()(min g t g ==9
4
a ≤≤
y a =()y g t =⎡⎣a 94⎡
⎤⎢⎥⎣
⎦0x <1
x x
+20x ≥211x +≥()()2
22211x x x x x -=-+=--+()2x x -22
2277222
22
2x x x x ++
=+-≥=-++2
2722x x +=+22x =(0,1)3
π2
()f x ()()π2sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛
⎫=+>< ⎪⎝
⎭()f x (0,1)
，即，因，则，故，又图象经过点
，则，所以或，解得或（*），
由三角函数图象的对称性可知，该函数的周期满足，即得，解得，
满足（*），故；对于A ，因周期，故A 错误；
对于B ，，故B 正确；
对于C ，当时，，此时为增函数，故C 正确；对于D ，令，则当时，，则在上单调递减，故有
D 正确.故选：BCD.
11．AC 【分析】利用直接法可得动点的轨迹方程，即可判断
AB 选项，联立直线与曲线，可判
断C 选项，联立曲线与单位圆，可得曲线与单位圆交于
与，此两点间距离恰好为，即可判断D 选项.【详解】由已知
，即
，化简可得动点的轨迹方程为，将代入曲线方程可得成立，所以曲线关于原点对称，A 选项正确，
做出曲线，易知该曲线可表示渐近线为及轴的双曲线，则对称轴过原点且
倾斜角为或，而
，又，所以曲线不是轴对称图形，B 选项错误；
联立直线与曲线方程，得无解，则
或，即或，综上，C 选项正确；
2sin 1=ϕ1sin 2ϕ
=
π2ϕ<π6ϕ=()π2sin 6f x x ω⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭3π,12⎛⎫- ⎪
⎝⎭
3
π1sin π226ω⎛⎫+=-
⎪⎝⎭3πππ2π662k ω+=-+3π5ππ2π(Z)662k k ω+=-+∈24
93k ω=-+24(Z)33
k k ω=-+∈T 3π22
T =2π3πT ω==2
3ω=()2
π2si 6n 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭3πT =π2ππ2sin 2sin004346f ⎡⎤⎛⎫
⎛⎫-=⨯-+== ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦[]π,0x ∈-2π2π
π366
x +≤-≤()f x 62π3z x =
+2π3π,34x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
11π2π183z ≤≤sin y z =11π2,π183⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦2sin sin π3y z =≥=()f x ≥⎛ ⎝22AM BM k k +=211
y y
x x +=+-()1x ≠±M 210x xy --=(),x y --()()()2
2110x x y x xy ---⋅--=--=C 210x xy --=y x =y 3π87π83πtan
18==7πtan 18==(1y x =1x ≠±210x xy y kx
⎧--=⎨=⎩()2
110k x --=10k -=()410k -<1k =1k >1k ≥
联立曲线与单位圆，则，解得
，即曲线与单位圆交于，两点，
且，所以当，分别与，重合时，，D 选项错误；故选：AC.
12．【详解】由题意可知，，则切点为，因为，则，
所以在点处的切线斜率为，则切线方程为，即.
13．
【详解】，又，所以，因为，所以.14．【分析】根据数列范围及递推关系三角换元，结合二倍角正弦公式最后应用三角函数值域求解即可.
【详解】因为所以设
,当时取等号.故答案为：.
15．【分析】（1）设公差为d ，根据等差数列的前n 项和公式与等比中项公式列出关于和d 的方程，求解即可得{a n }的通项公式；
()
222
1011x xy x x y ⎧--=≠±⎨+=⎩
()0x y y +=x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩M N ⎛ ⎝2MN =P Q M N 2PQ =0x y -=()11f =()1,1
()2
2
3
f x x x
'=-
()1321f ¢=-=()f x ()1,11()111y x -=⋅-0x y -=16()()()1|4P AB P B A P A =
=()25P A =()()1121
44510
P AB P A ==⨯=()3
5P B =()()()
1
110|365
P AB P A B P B ===20252-[]2
111,121n n a a a +∈-=-，，221111cos cos ,212cos 1cos cos2n n n n n n n a b a b a a b b b ++===-=-==，，
20251232025=cos cos cos cos T b b b b ⨯⨯⨯⨯ 11232025
1
2sin cos cos cos cos 2sin b b b b b b ⨯⨯⨯⨯⨯=
2232025212sin cos cos cos 2sin b b b b b ⨯⨯⨯⨯=⨯ 332025
312sin cos cos 2sin b b b b ⨯⨯⨯=
⨯ L 20252025202512sin cos 2sin b b b ⨯=
2026
20251
sin 2sin b b =
20251232025
cos cos cos cos T b b b b =⨯⨯⨯⨯ 11232025sin cos cos cos cos b b b b b =⨯⨯⨯⨯⨯ 2025202620261202520252025
1sin sin 1
sin 22sin 22
b b b b -=⨯
≤≤=20261sin 1,sin 0b b =>20252-1a
（2）由（1）可得等比数列的第三项，进而得，从而得到{b n }的通项公式，利用等差和等比数列前n 项和公式分组求和即可求出.
【详解】（1）因为{a n }为等差数列，设公差为d ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分由，得
，即，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分
由，，成等比数列得，，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分
化简得，因为，所以．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分
所以．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分
所以数列{a n }的通项公式．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分
（2）因为为公比是3的等比数列，，所以，即，
所以，，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分
所以⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分
.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分
所以数列的前n 项和.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13分
16．【分析】（1）等价变形已知条件，得到，结合余弦定理即可得解.（2）法①：由余弦定理求出
，最后根据即可得解；法②：由法①得
中由正弦定理得
，从而得解
法③：由法①得
中，由（1）问知，代入建立关于的方程，解方程得，从而得出；法④
：由等面积法得，建立关于的方程，求得
，代入求得，最后结合正弦定理即可得解.
【详解】（1），
{}n n a b +33a b +11a b +n
T 749=S ()
174
77492
a a a
+⨯==47a ⇒=137a d +=2a 5a 14a 2
2514a a a =⋅()()()2
772710d d d ⇒+=-+()()()2
772710d d d +=-+220d d -=0d ≠2=d ()()
*
4421N n a a n d n n =+-=-∈()*
21N n a n n =-∈{}n n a b +2733=+b a ()3311952227a b a b +=+⨯=+=11113a b b +=+=1333n n
n n a b -+=⨯=()321n n b n =--()*N n ∈()123123333313521n
n n T b b b b n ⎡⎤=+++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+-⎣⎦(
)()1
23131213
313
2
2
n
n n n n +⨯-+--=
-=--{}n b 12
332
n n T n +-=-222b c a bc +-=-CD =sin C ()sin sin B A C =+CD =ACD ∆sin ADC ∠π2ADC B ∠=+sin B =CD =ABD △a =222a b c bc =++c 2c =AD BD B BD ==
=
ABC ABD ACD S S S =+V V V c 2c =222a b c bc =++a ()()22222
()2b c a b c a b c a b bc c a bc +-++=+-=++-=
则，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分
所以，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分
因为，所以.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分（2）法①：由（1）得，，因为，所以，⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分如图在中，由余弦定理
，即
⋯⋯⋯⋯⋯8分在中由正弦定理，
所以，⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分因为
，故
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分
在中
⋯⋯⋯15分法②：同解法①
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分
在中由正弦定理
，所以
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分
又因为，即，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14分所以
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯15分法③同上
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分
在直角中，所以，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
10分由（1）问知，所以
，即，
即，所以，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13分
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯15分222b c a bc
+-=-2221
cos 22b c a A bc +-==-0πA <<2π
3
A =
2π
3A =
3BAD CAD ∠=∠π6
CAD ∠=ACD ∆2222cos CD AD AC AD AC DAC
∠=+-⋅31647=+-=CD =ACD ∆sin sin CD AD DAC C ∠==
sin C =
π03
C <<cos C ==ABC ∆()1sin sin sin cos cos sin 2B A C A C A C =+=+=
-=CD =ACD ∆sin sin CD AC DAC ADC
=∠∠4
sin ADC =∠sin ADC ADC ∠∠=
==π2ADC BAD B B ∠∠∠=+=+
πcos 2B ⎛
⎫+= ⎪⎝⎭
sin B =
CD =ABD △BD =a =+2
2
2
a b c bc =++2
2416c c =++2210416c c c +=++23,c =+2440c c -+=2c =AD BD B BD =
=
法④如图由（1）知，则，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分因为，所以
，⋯⋯⋯⋯⋯10分
所以，即
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13分
在中，由正弦定理
，解得
⋯⋯⋯⋯⋯15分17．【分析】（1）结合中点，利用面面垂直的性质定理证明平面，从而利用线面垂直的性质定理得，最后利用线面垂直的判定定理证明即可；
（2）过作交于点，设，建立空间直角坐标系，然后利用向量法求解二面角的正弦值即可.
【详解】（1），为中点，
.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分
又平面平面，平面平面，平面，
平面，
而平面，.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分
又为的中点，
，又，
.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分
又平面，
平面.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分
（2）过作交于点，设，
以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分则，，，，
故，，，.⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分
设为平面的法向量，则，即，
2π
3
A=
π
6
CAD
∠=
ABC ABD ACD
S S S
=+
V
V
V
12π11π
4sin4
2322
6
c
⨯=+⨯
=2
c=
22
2164828
a b c bc
=++=++
=a=
ABC
∆
sin sin
a b
A B
=
4
sin B
=
sin B==
SE⊥ABC
SE AB
⊥
E
EM AC
⊥AB M2
AC=
A S
B C
--
SC AS
=E AC
∴SE AC
⊥
SAC⊥ABC SAC ABC AC
=SE⊂ABC
∴SE⊥ABC
AB⊂ABC∴SE AB
⊥
D AB
∴//
DE BC BC AB
⊥
∴DE AB
⊥
,,
DE SE E DE SE
=⊂
SDE
∴AB⊥SDE
E EM AC
⊥AB M2
AC=
E,,
EM EC ES,,
x y z
()
0,1,0
A-()
0,1,0
C(S1,02
B
⎫
⎪⎪
⎭
(
AS=
3
,0
2
AB
⎫
=⎪⎪
⎭
(0,
CS=-
1
,0
2
CB
⎫
=-⎪⎪
⎭
()
111
,,
m x y z
=
SAB
m AB
m AS
⎧⊥
⎪
⎨
⊥
⎪⎩
m AB
m AS
⎧⋅=
⎪
⎨
⋅=
⎪⎩
，取，则，是平面的一个法向量.
设为平面的法向量，则，即，
，取，则，是平面的一个法向量.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分
，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13分
设二面角的大小为，则
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14分二面角
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯15分
18．
【分析】（1）由已知可得，由椭圆的定义可得，根据椭圆中，，的关系可得，即可求解；
（2）设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，联立直线和椭圆构成的方程组，根据可得，由韦达定理可得，，再根据
或，即可求解.【详解】（1）由题意，设的标准方程为，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分
则，，即，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分所以，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分
所以
的标准方程为；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分
（2）设A (x 1,
y 1)，B (x 2,y 2)，
由联立得，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分由题意，即
，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分，，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分
∴11113
020
x y y +=⎪=⎩13x =111y z ==∴()
3,m =
SAB ()222,,n x y z = SBC n CS n CB ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩ 00n CS n CB ⎧⋅=⎪
⎨⋅=⎪⎩
∴22220
1
02y y ⎧-=-=21x =221y z ==∴()
n =
SBC ∴cos ,m n m n m n ⋅===⋅
A S
B
C --θsin θ==
∴A SB C --c =2a =a b c 2b 0∆>21
4
k >
12x x +21x x 212OAB S x =
-=
V 2
32k =920C 22
221x y a b
+=()0>>b a c =24a =2a =2221b a c =-=C 2
214x y +=2244x y y kx ⎧+=⎪⎨=⎪⎩()221440k x +++=()
222Δ128161464160k k k =-+=->21
4
k >
12x x +=122
414x x k =+
显然直线过定点，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分
所以
所以
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分所以，解得或，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14分
均满足，所以
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯17分19．【分析】（1）先求定义域，再求导，分，，和四种情况，求出函数的单调性；
（2）变形得到，构造，定义域为，求导，结合
零点存在性定理得到存在唯一的，使得，故，并得到
的单调性和最小值，求出最小值.
【详解】（1）的定义域为，故，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分若时，令得，令得，
故在上单调递增，在上单调递减，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分
当时，若时，，故在上单调递增，⋯⋯⋯⋯⋯4分
若时，
，令得或，令得，故在，上单调递增，在上单调递减；
若时，，令得或，
令得
，故在，上单调递增，在上单调递减；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分
综上，当时，在上单调递增，在上单调递减；
()
12x x -=
=212OAB S x =-=V =
424078270k k -+=2
32k =920
2
14k >
k =0a ≤1a =01a <<1a >e 1ln 0x x x x ---≥()e 1ln x
x x x t x ---=()0,∞+01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
()00t x '
=001e x x =()e 1ln x x x x t x ---=()()0000ln t x x x =-+=()()2
11ln 2
f x ax a x x =
-++()0,∞+()()()()()2
111111ax a x ax x f x ax a x x x
-++--'=-++==0a ≤()0f x '>01x <<()0f x '<1x >()f x ()0,1()1,+∞0a >1a =()()2
10x f x x
-'=
≥()f x ()0,∞+01a <<11a >()0f x '>01x <<1x a
>()0f x '<1
1x a
<<
()f x ()0,11,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
11,a ⎛⎫
⎪⎝⎭1a >1
1a <()0f x '>10x a <<1x >()0f x '<1
1x a
<<()f x 10,a ⎛⎫
⎪⎝⎭()1,+∞1,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭0a ≤()f x ()0,1()1,+∞
当时，在上单调递增；
当时，在，上单调递增，在上单调递减；
当时，在，上单调递增，在上单调递减.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分
（2）依题意，化为
，即，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分令，定义域为，
，其在上单调递增，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分又，，
由零点存在性定理得，存在唯一的，使得，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11分
即，故，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分
当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
故在处取得极小值，也是最小值，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14分
其中，
两边取对数得，故，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯16分所以，
所以，证毕.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯17分
【点睛】关键点点睛：由导函数的单调性和零点存在性定理得到，存在唯一的，使得
，故，并求出的最小值
，证明出不等式.
1a =()f x ()0,∞+01a <<()f x ()0,11,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
11,a ⎛⎫
⎪⎝⎭1a >()f x 10,a ⎛⎫
⎪⎝⎭()1,+∞1,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭()()2ln 1f x g x x ax +≥--()2211
1ln e 22ln 122
x ax a x x x ax x ax -+++--≥--e 1ln 0x x x x ---≥()e 1ln x
x x x t x ---=()0,∞+()()1
1e 1x x x
t x +=--
'()0,∞+121322
e 30t ⎛
⎫' ⎪⎭-⎝<=()2e 201t =->'01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
()00t x '
=()000
11e 10x x x +--=0
01e x x =()00,x x ∈()0t x '
<()0,x x ∈+∞()0t x '>()e 1ln x
x x x t x ---=()00,x x ∈()0,x x ∈+∞()e 1ln x
x x x t x ---=0x x =()()0000000001e 1ln 1ln ln x
t x x x x x x x x ==-=-+-----001
e x x =
000
1ln ln x x x ==-()()0000ln t x x x =-+=()e 1ln x
x x x t x ---=0≥()()2ln 1f x g x x ax +≥--01,12x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
()00t x '=00
1e x
x =()e 1ln x x x x t x ---=()()00000000010e 1ln 1ln ln x t x x x x x x x x ==-----+--==。