初中七年级下册期末压轴题数学附答案(一)

初中七年级下册期末压轴题数学附答案（一）
一、解答题
1．如图所示，A （1，0）、点B 在y 轴上，将三角形OAB 沿x 轴负方向平移，平移后的图形为三角形DEC ，且点C 的坐标为（﹣3，2）．
（1）直接写出点E 的坐标；
（2）在四边形ABCD 中，点P 从点B 出发，沿“BC→CD”移动．若点P 的速度为每秒1个单位长度，运动时间为t 秒，回答下列问题：
①当t=秒时，点P 的横坐标与纵坐标互为相反数；
②求点P 在运动过程中的坐标，（用含t 的式子表示，写出过程）；
③当点P 运动到CD 上时，设∠CBP=x°，∠PAD=y°，∠BPA=z°，试问x ，y ，z 之间的数量关系能否确定？若能，请用含x ，y 的式子表示z ，写出过程；若不能，说明理由．
2．已知直线//AB CD ，点P 为直线AB 、CD 所确定的平面内的一点．
（1）如图1，直接写出APC ∠、A ∠、C ∠之间的数量关系；
（2）如图2，写出APC ∠、A ∠、C ∠之间的数量关系，并证明；
（3）如图3，点E 在射线BA 上，过点E 作//EF PC ，作PEG PEF ∠∠=，点G 在直线CD 上，作BEG ∠的平分线EH 交PC 于点H ，若30APC ∠= ，140PAB ∠= ，求PEH ∠的度数．
3．问题情境：
如图1，AB ∥CD ，∠PAB ＝130°，∠PCD ＝120°．求∠APC 的度数．小明的思路是：过P 作PE ∥AB ，通过平行线性质，可得∠APC ＝∠APE +∠CPE ＝50°+60°＝110°．
问题解决：
（1）如图2，AB ∥CD ，直线l 分别与AB 、CD 交于点M 、N ，点P 在直线I 上运动，当点P 在线段MN 上运动时（不与点M 、N 重合），∠PAB ＝α，∠PCD ＝β，判断∠APC 、α、β之间的数量关系并说明理由；
（2）在（1）的条件下，如果点P 在线段MN 或NM 的延长线上运动时．请直接写出
∠APC 、α、B 之间的数量关系；
（3）如图3，AB ∥CD ，点P 是AB 、CD 之间的一点（点P 在点A 、C 右侧），连接PA 、PC ，∠BAP 和∠DCP 的平分线交于点Q ．若∠APC ＝116°，请结合（2）中的规律，求∠AQC 的度数．
4．已知，如图1，射线PE 分别与直线AB ，CD 相交于E 、F 两点，∠PFD 的平分线与直线AB 相交于点M ，射线PM 交CD 于点N ，设∠PFM ＝α°，∠EMF ＝β°，且（40﹣2α）2＋|β﹣20|＝0
（1）α＝，β＝；直线AB 与CD 的位置关系是；
（2）如图2，若点G 、H 分别在射线MA 和线段MF 上，且∠MGH ＝∠PNF ，试找出∠FMN 与∠GHF 之间存在的数量关系，并证明你的结论；
（3）若将图中的射线PM 绕着端点P 逆时针方向旋转（如图3），分别与AB 、CD 相交于点M 1和点N 1时，作∠PM 1B 的角平分线M 1Q 与射线FM 相交于点Q ，问在旋转的过程中1FPN Q
∠∠的值是否改变？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由．5．如图1，已AB ∥CD ，∠C ＝∠A ．
（1）求证：AD ∥BC ；
（2）如图2，若点E 是在平行线AB ，CD 内，AD 右侧的任意一点，探究∠BAE ，∠CDE ，∠E 之间的数量关系，并证明．
（3）如图3，若∠C ＝90°，且点E 在线段BC 上，DF 平分∠EDC ，射线DF 在∠EDC 的内部，且交BC 于点M ，交AE 延长线于点F ，∠AED +∠AEC ＝180°，
①直接写出∠AED 与∠FDC 的数量关系：．
②点P 在射线DA 上，且满足∠DEP ＝2∠F ，∠DEA ﹣∠PEA ＝
514
∠DEB ，补全图形后，求∠EPD 的度数
6．已知，AB ∥CD ，点E 为射线FG 上一点．
（1）如图1，若∠EAF ＝25°，∠EDG ＝45°，则∠AED =
．（2）如图2，当点E 在FG 延长线上时，此时CD 与AE 交于点H ，则∠AE D 、∠EAF 、
∠EDG 之间满足怎样的关系，请说明你的结论；
（3）如图3，当点E 在FG 延长线上时，DP 平分∠EDC ，∠AED ＝32°，∠P ＝30°，求∠EKD 的度数．
7．规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（-3）÷（-3）÷（-3）÷（-3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，（-3）÷（-3）÷（-3）÷（-3）记作（-3）④，读作“-3的圈4次方”，一般地，把n a
a a a a ÷÷÷⋯÷ 个（a≠0）记作a ⓝ，读作“a 的圈n 次方”．（初步探究）
（1）直接写出计算结果：2③=___，（1
2）⑤=___；
（2）关于除方，下列说法错误的是___
A ．任何非零数的圈2次方都等于1；
B ．对于任何正整数n ，1ⓝ=1；
C ．3④=4③；
D ．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数．
（深入思考）
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
（1）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．
（-3）④=___；5⑥=___；（-12）⑩=___．
（2）想一想：将一个非零有理数a 的圈n 次方写成幂的形式等于___；
（3）算一算：212÷(−13)④×(−2)⑤−(−13
)⑥÷338．（概念学习）
规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”，一般地，把n 个a （a ≠0）记作a ⓝ，读作“a 的圈n 次方”．
（初步探究）
（1）直接写出计算结果：2③＝，（﹣12）⑤＝；（深入思考）
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
（1）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方的形式．
（﹣3）④＝；5⑥＝；（﹣12）⑩＝．
（2）想一想：将一个非零有理数a 的圈n 次方写成乘方的形式等于
；9．规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等，类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方，”（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作：“（﹣3）的圈4次方”．一般地，把个记作a ⓝ，读作“a 的圈n 次方”
（初步探究）
（1）直接写出计算结果：2③，（﹣1
2）③．
（深入思考）2④2
1111112222222⎛⎫=⨯⨯⨯=⨯= ⎪⎝⎭我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
（2）试一试，仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．5⑥；（﹣12）⑩．（3）猜想：有理数a （a≠0）的圈n （n≥3）次方写成幂的形式等于多少．
(4)应用：求（-3）8×（-3）⑨-（﹣1
2）9×（﹣1
2）⑧10．已知，在计算：()()12++++N N N 的过程中，如果存在正整数N ，使得各个数位均不产生进位，那么称这样的正整数N 为“本位数”．例如：2和30都是“本位数”，因为2349++=没有进位，30313293++=没有进位；15和91都不是“本位数”，因为15161748++=，个位产生进位，919293276++=，十位产生进位．则根据上面给出的材料：
（1）下列数中，如果是“本位数”请在后面的括号内打“√”，如果不是“本位数”请在后面的括
号内画“×”．
106（）；111（）；400（）；2015（）．
（2）在所有的四位数中，最大的“本位数”是
，最小的“本位数”是．（3）在所有三位数中，“本位数”一共有多少个？
11．阅读下面的文字，解答问题．
对于实数a ，我们规定：用符号[a ]表示不大于a 的最大整数；用{a }表示a 减去[a ]所得的差．
例如：＝1，[2.2]＝2，1，{2.2}＝2.2﹣2＝0.2．
（1）仿照以上方法计算：＝{5}＝；
（2）若＝1，写出所有满足题意的整数x 的值：
．
（3）已知y 0是一个不大于280的非负数，且满足}＝0．我们规定：y 1＝]，y 2＝
]，y 3＝]，…，以此类推，直到y n 第一次等于1时停止计算．当y 0是符合条件的所有数中的最大数时，此时y 0＝
，n ＝．12．阅读下列材料：小明为了计算22019202012222+++++ 的值，采用以下方法：
设22019202012222s =+++++ ①
则22020202122222s =++++ ②
②-①得，2021221
s s s -==-请仿照小明的方法解决以下问题：
（1）291222++++= ________；
（2）220333+++= _________；
（3）求231n a a a a ++++ 的和（1a >，n 是正整数，请写出计算过程）.
13．如图1，在平面直角坐标系中，点A 为x 轴负半轴上一点，点B 为x 轴正半轴上一
点，()0,C a ，(),D b a ，其中a 、b 满足关系式：24(1)0a b a ++--=．()1a =______，b =______，BCD 的面积为______；
()2如图2，石AC BC ⊥于点C ，点P 是线段OC 上一点，连接BP ，延长BP 交AC 于点.Q 当CPQ CQP ∠=∠时，求证：BP 平分ABC ∠；(提示：三角形三个内角和等于180) ()3如图3，若AC BC ⊥，点E 是点A 与点B 之间上一点连接CE ，且CB 平分.ECF ∠问BEC ∠与BCO ∠有什么数量关系？请写出它们之间的数量关系并请说明理由．
14．如图，已知//AB CD ，CN 是BCE ∠的平分线．
（1）若CM 平分BCD ∠，求MCN ∠的度数；
（2）若CM 在BCD ∠的内部，且CM CN ⊥于C ，求证：CM 平分BCD ∠；
（3）在（2）的条件下，过点B 作BP BQ ⊥，分别交CM 、CN 于点P 、Q ，PBQ ∠绕着B 点旋转，但与CM 、CN 始终有交点，问：BPC BQC ∠+∠的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求其变化范围．
15．在平面直角坐标系xOy 中，如图正方形ABCD 的顶点A ，B 坐标分别为()1,0A -，()3,0B ，点E ，F 坐标分别为(),0E m ，()3,0F m ，且12m -<≤，以EF 为边作正方形EFGH .设正方形EFGH 与正方形ABCD 重叠部分面积为S .
（1）①当点F 与点B 重合时，m 的值为______；②当点F 与点A 重合时，m 的值为______.
（2）请用含m 的式子表示S ，并直接写出m 的取值范围.
16．中国传统节日“端午节”期间，某商场开展了“欢度端午，回馈顾客”的让利促销活动，对部分品牌的粽子进行了打折销售，其中甲品牌粽子打八折，乙品牌粽子打七五折．已知打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需660元；打折后，买5盒甲品牌粽子和4盒乙品牌粽子需520元．
（1）打折前，每盒甲、乙品牌粽子分别为多少元？
（2）在商场让利促销活动期间，某敬老院准备购买甲、乙两种品牌粽子共40盒，总费用
不超过2300元，问敬老院最多可购买多少盒乙品牌粽子？
17．对于平面直角坐标系xOy 中的图形G 和图形G 上的任意点P （x ，y ），给出如下定义：
将点P （x ，y ）平移到P '（x +t ，y ﹣t ）称为将点P 进行“t 型平移”，点P '称为将点P 进行“t 型平移”的对应点；将图形G 上的所有点进行“t 型平移”称为将图形G 进行“t 型平移”．例如，将点P （x ，y ）平移到P '（x +1，y ﹣1）称为将点P 进行“l 型平移”，将点P （x ，y ）平移到P '（x ﹣1，y +1）称为将点P 进行“﹣l 型平移”．
已知点A （2，1）和点B （4，1）．
（1）将点A （2，1）进行“l 型平移”后的对应点A '的坐标为
．（2）①将线段AB 进行“﹣l 型平移”后得到线段A 'B '，点P 1（1.5，2），P 2（2，3），P 3（3，0）中，在线段A ′B ′上的点是．
②若线段AB 进行“t 型平移”后与坐标轴有公共点，则t 的取值范围是
．（3）已知点C （6，1），D （8，﹣1），点M 是线段CD 上的一个动点，将点B 进行“t 型平移”后得到的对应点为B '，当t 的取值范围是时，B 'M 的最小值保持不变．
18．如图1，以直角AOC △的直角顶点O 为原点，以OC ，OA 所在直线为x 轴和y 轴建立
平面直角坐标系，点()0,A a ，(),0C b 80b -=．
（1）直接写出点A ，点C 的坐标；
（2）如图1，坐标轴上有两动点P ，Q 同时出发，点P 从点C 出发沿x 轴负方向以每秒2个单位长度的速度匀速运动，点Q 从点O 出发沿y 轴正方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，当点P 到达点O 整个运动随之结束；线段AC 的中点D 的坐标是()4,3D ，设运动时间为t 秒．是否存在t ，使得DOP △与DOQ △的面积相等？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由；
（3）如图2，在（2）的条件下，若DOC DCO ∠=∠，点G 是第二象限中一点，并且OA 平分DOG ∠，点E 是线段OA 上一动点，连接CE 交OD 于点H ，当点E 在OA 上运动的过程中，探究DOG ∠，OHC ∠，ACE ∠之间的数量关系，直接写出结论．
19．题目：满足方程组
351
2332
x y k
x y k
+=+
⎧
⎨
+=-
⎩
的x与y的值的和是2，求k的值．
按照常规方法，顺着题目思路解关于x，y的二元一次方程组，分别求出xy的值（含有字母k），再由x＋y＝2，构造关于k的方程求解，从而得出k值．
（1）某数学兴趣小组对本题的解法又进行了探究利用整体思想，对于方程组中每个方程变形得到“x＋y”这个整体，或者对方程组的两个方程进行加减变形得到“x＋y”整体值，从而求出k值请你运用这种整体思想的方法，完成题目的解答过程．
（2）小勇同学的解答是：观察方程①，令3x＝k，5y＝1
解得y＝1
5，3x＋y＝2，∴x＝
9
5
∴k＝3×9
5＝
27
5
把x＝9
5，y＝
1
5代入方程②得k＝﹣
3
5
所以k的值为27
5或﹣
3
5．
请诊断分析并评价“小勇同学的解答”．
20．如图，已知∠a和β∠的度数满足方程组
2230
80
αβ
βα
︒
︒
⎧∠+∠=
⎨
∠-∠=
⎩
，且CD//EF,AC AE
⊥.
(1)分别求∠a和β∠的度数；
(2)请判断AB与CD的位置关系，并说明理由；
(3)求C∠的度数．
21．一个四位正整数，若其千位上与百位上的数字之和等于十位上与个位上的数字之和，都等于k，那么称这个四位正整数为“k类诚勤数”，例如：2534，因为25347
+=+=，所以2534是“7类诚勤数”．
（1）请判断7441和5436是否为“诚勤数”并说明理由；
（2）若一个四位正整数A为“5类诚勤数”且能被13整除，请求出的所有可能取值．
22．在平面直角坐标系中，若点P （x ，y ）的坐标满足x ﹣2y +3＝0，则我们称点P 为“健康点”：若点Q （x ，y ）的坐标满足x +y ﹣6＝0，则我们称点Q 为“快乐点”．
（1）若点A 既是“健康点”又是“快乐点”，则点A 的坐标为
；（2）在（1）的条件下，若B 是x 轴上的“健康点”，C 是y 轴上的“快乐点”，求△ABC 的面
积；
（3）在（2）的条件下，若P 为x 轴上一点，且△BPC 与△ABC 面积相等，直接写出点P 的坐标．
23．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，A 点的坐标为()1A m n -,，B 点的坐
标为()0n -,，其中,m n 是二元一次方程组2202m n m n +=⎧⎨-=-⎩
的解，过点A 作x 轴的平行线交y 轴于点C ．
（1）求点,A B 的坐标；
（2）动点P 从点B 出发，以每秒4个单位长度的速度沿射线BO 的方向运动，连接PC ，设点P 的运动时间为t 秒，三角形OPC 的面积为()0S S ≠，请用含t 的式子表示S （不用写出相应的t 的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，在动点P 从点B 出发的同时，动点Q 从点C 出发以每秒1个单位长度的速度沿线段CA 的方向运动．过点O 作直线PC 的垂线，点G 为垂足；过点Q 作直线PC 的垂线，点H 为垂足．当2OG QH =时，求t 的值．
24．如图，在平面直角坐标系中，已知，点()0,A a ，(),0B b ，()0,C c ，a ，b ，c 满足()2
8212a b -+-=，
（1）直接写出点A ，B ，C 的坐标及ABC 的面积；
（2）如图2，过点C 作直线//l AB ，已知(),D m n 是l 上的一点，且152
ACD S ≤
△，求n 的取值范围；
（3）如图3，(),M x y 是线段AB 上一点，
①求x ，y 之间的关系；
②点N 为点M 关于y 轴的对称点，已知21BCN S =△，求点M 的坐标．
25．阅读材料：形如2213x <+<的不等式，我们就称之为双连不等式.求解双连不等式的
方法一，转化为不等式组求解，如221213
x x <+⎧⎨+<⎩；方法二，利用不等式的性质直接求解，双连不等式的左、中、右同时减去1，得122x <<，然后同时除以2，得1112x <<．解决下列问题：
（1）请你写一个双连不等式并将它转化为不等式组；
（2）利用不等式的性质解双连不等式2235x ≥-+>-；
（3）已知532x -≤<-，求35x +的整数值．
26．阅读材料：
如果x 是一个有理数，我们把不超过x 的最大整数记作[x ]．
例如，[3.2]=3，[5]=5，[－2.1]=－3．
那么，x =[x ]+a ，其中0≤a ＜1．
例如，3.2=[3.2]+0.2，5=[5]+0，－2.1=[－2.1]+0.9．
请你解决下列问题：
（1）[4.8]=，[－6.5]=；
（2）如果[x ]=3，那么x 的取值范围是；
（3）如果[5x －2]=3x +1，那么x 的值是
；（4）如果x =[x ]+a ，其中0≤a ＜1，且4a =[x ]+1，求x 的值．27．阅读理解：
例1．解方程|x |＝2，因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为±2，所以方程|x |＝2的解为x ＝±2．
例2．解不等式|x ﹣1|＞2，在数轴上找出|x ﹣1|＝2的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为﹣1或3，所以方程|x ﹣1|＝2的解为x ＝﹣1或x ＝3，因此不等式|x ﹣1|＞2的解集为x ＜﹣1或x ＞3．
参考阅读材料，解答下列问题：
（1）方程|x ﹣2|＝3的解为
；
（2）解不等式：|x ﹣2|≤1．
（3）解不等式：|x ﹣4|+|x +2|＞8．
（4）对于任意数x ，若不等式|x +2|+|x ﹣4|＞a 恒成立，求a 的取值范围．
28．如图①，在平直角坐标系中，△ABO 的三个顶点为A （a ，b ），B （﹣a ，3b ），O
（0，0|b ﹣2|＝0，线段AB 与y 轴交于点C ．
（1）求出A ，B 两点的坐标；
（2）求出△ABO 的面积；
（3）如图②，将线段AB 平移至B 点的对应点B '落在x 轴的正半轴上时，此时A 点的对应点为A '，记△A B C ''的面积为S ，若24＜S ＜32，求点A '的横坐标的取值范围．
29．已知关于x 、y 的二元一次方程23,3 3.x y a x y a +=-⎧⎨-=-⎩①②
（1）若方程组的解x 、y 满足0,1x y ≤<，求a 的取值范围；
（2）求代数式638x y +-的值．
30．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC,点A 的坐标是(4，0)，点B 的坐标是(2，3)，点C 在x 轴的负半轴上,且AC=6.
(1)直接写出点C 的坐标.
(2)在y 轴上是否存在点P ，使得S △POB =
23
S △ABC 若存在,求出点P 的坐标;若不存在，请说明理由.
(3)把点C 往上平移3个单位得到点H ，作射线CH,连接BH ，点M 在射线CH 上运动(不与点C 、H 重合).试探究∠HBM ，∠BMA ，∠MAC 之间的数量关系，并证明你的结论.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、解答题
1．（1）（-2，0）；（2）①t=2；②当点P在线段BC上时，点P的坐标（-t，2），当点P在线段CD上时，点P的坐标（-3，5-t）；③能确定，z=x+y．
【分析】
（1）根据平移的性质即可得到结论；
（2）①由点C的坐标为（-3，2）．得到BC=3，CD=2，由于点P的横坐标与纵坐标互为相反数；于是确定点P在线段BC上，有PB=CD，即可得到结果；
②当点P在线段BC上时，点P的坐标（-t，2），当点P在线段CD上时，点P的坐标（-3，5-t）；
③如图，过P作PF∥BC交AB于F，则PF∥AD，根据平行线的性质即可得到结论．
【详解】
解：（1）根据题意，可得
三角形OAB沿x轴负方向平移3个单位得到三角形DEC，
∵点A的坐标是（1，0），
∴点E的坐标是（-2，0）；
故答案为：（-2，0）；
（2）①∵点C的坐标为（-3，2）
∴BC=3，CD=2，
∵点P的横坐标与纵坐标互为相反数；
∴点P在线段BC上，
∴PB=CD，
即t=2；
∴当t=2秒时，点P的横坐标与纵坐标互为相反数；
故答案为：2；
②当点P在线段BC上时，点P的坐标（-t，2），
当点P在线段CD上时，点P的坐标（-3，5-t）；
③能确定，
如图，过P作PF∥BC交AB于F，
则PF∥AD，
∠1=∠CBP=x°，∠2=∠DAP=y°，
∴∠BPA=∠1+∠2=x°+y°=z°，
∴z=x+y．
【点睛】
本题考查了坐标与图形的性质，坐标与图形的变化-平移，平行线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
2．（1）∠A+∠C+∠APC=360°；（2）见解析；（3）55°
【分析】
（1）首先过点P作PQ∥AB，则易得AB∥PQ∥CD，然后由两直线平行，同旁内角互补，即可证得∠A+∠C+∠APC=360°；
（2）作PQ∥AB，易得AB∥PQ∥CD，根据两直线平行，内错角相等，即可证得
∠APC=∠A+∠C；
（3）由（2）知，∠APC=∠PAB-∠PCD，先证∠BEF=∠PQB=110°、∠PEG=1
2
∠FEG，
∠GEH=1
2
∠BEG，根据∠PEH=∠PEG-∠GEH可得答案．
【详解】
解：（1）∠A+∠C+∠APC=360°
如图1所示，过点P作PQ∥AB，
∴∠A+∠APQ=180°，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠C+∠CPQ=180°，
∴∠A+∠APQ+∠C+∠CPQ=360°，即∠A+∠C+∠APC=360°；（2）∠APC=∠A+∠C，
如图2，作PQ∥AB，
∴∠A=∠APQ，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠C=∠CPQ，
∵∠APC=∠APQ-∠CPQ，
∴∠APC=∠A-∠C；
（3）由（2）知，∠APC=∠PAB-∠PCD，∵∠APC=30°，∠PAB=140°，
∴∠PCD=110°，
∵AB∥CD，
∴∠PQB=∠PCD=110°，
∵EF∥BC，
∴∠BEF=∠PQB=110°，
∵EF∥BC，
∴∠BEF=∠PQB=110°，
∵∠PEG=∠PEF，
∴∠PEG=1
2
∠FEG，
∵EH平分∠BEG，
∴∠GEH=1
2
∠BEG，
∴∠PEH=∠PEG-∠GEH
=1 2∠FEG-
1
2
∠BEG
=1
2
∠BEF
=55°．
【点睛】
此题考查了平行线的性质以及角平分线的定义．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
3．（1）∠APC=α+β，理由见解析；（2）∠APC=α-β或∠APC=β-α；（3）58°
【分析】
（1）过点P作PE∥AB，根据平行线的判定与性质即可求解；
（2）分点P在线段MN或NM的延长线上运动两种情况，根据平行线的判定与性质及角
的和差即可求解；
（3）过点P，Q分别作PE∥AB，QF∥AB，根据平行线的判定与性质及角的和差即可求解．
【详解】
解：（1）如图2，过点P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠APE=α，∠CPE=β，
∴∠APC=∠APE+∠CPE=α+β．
（2）如图，在（1）的条件下，如果点P在线段MN的延长线上运动时，
∵AB∥CD，∠PAB=α，
∴∠1=∠PAB=α，
∵∠1=∠APC+∠PCD，∠PCD=β，
∴α=∠APC+β，
∴∠APC=α-β；
如图，在（1）的条件下，如果点P在线段NM的延长线上运动时，
∵AB∥CD，∠PCD=β，
∴∠2=∠PCD=β，
∵∠2=∠PAB+∠APC，∠PAB=α，
∴β=α+∠APC ，
∴∠APC =β-α；
（3）如图3，过点P ，Q 分别作PE ∥AB ，QF ∥AB ，
∵AB ∥CD ，
∴AB ∥QF ∥PE ∥CD ，
∴∠BAP =∠APE ，∠PCD =∠EPC ，
∵∠APC =116°，
∴∠BAP +∠PCD =116°，
∵AQ 平分∠BAP ，CQ 平分∠PCD ，
∴∠BAQ =12∠BAP ，∠DCQ =1
2∠PCD ，
∴∠BAQ +∠DCQ =12（∠BAP +∠PCD ）=58°，
∵AB ∥QF ∥CD ，
∴∠BAQ =∠AQF ，∠DCQ =∠CQF ，
∴∠AQF +∠CQF =∠BAQ +∠DCQ =58°，
∴∠AQC =58°．
【点睛】
此题考查了平行线的判定与性质，添加辅助线将两条平行线相关的角联系到一起是解题的关键．
4．（1）20，20，//AB CD ；（2）180FMN GHF ∠+∠=︒；（3）1FPN Q ∠∠的值不变，12FPN Q
=∠∠【分析】
（1）根据2(402)|20|0αβ-+-=，即可计算α和β的值，再根据内错角相等可证//AB CD ；（2）先根据内错角相等证//GH PN ，再根据同旁内角互补和等量代换得出
180FMN GHF ∠+∠=︒；
（3）作1PEM ∠的平分线交1M Q 的延长线于R ，先根据同位角相等证//ER FQ ，得1FQM R =∠∠，设PER REB x ==∠∠，11PM R RM B y ==∠∠，得出12EPM R ∠=∠，即可得12FPN Q
=∠∠．【详解】
解：（1）2(402)|20|0αβ-+-= ，
4020α∴-=，200β-=，
20αβ∴==，
20PFM MFN ∴∠=∠=︒，20EMF ∠=︒，
EMF MFN ∴∠=∠，
//AB CD ∴；
故答案为：20、20，//AB CD ；
（2）180FMN GHF ∠+∠=︒；
理由：由（1）得//AB CD ，
MNF PME ∴∠=∠，
MGH MNF ∠=∠ ，
PME MGH ∴∠=∠，
//GH PN ∴，
GHM FMN ∴∠=∠，
180GHF GHM ∠+∠=︒ ，
180FMN GHF ∴∠+∠=︒；
（3）1FPN Q ∠∠的值不变，12FPN Q
=∠∠；理由：如图3中，作1PEM ∠的平分线交1M Q 的延长线于R ，
//AB CD ，
1PEM PFN ∴∠=∠，
112PER PEM ∠=∠ ，12
PFQ PFN =∠，PER PFQ ∴∠=∠，
//ER FQ ∴，
1FQM R ∴∠=∠，
设PER REB x ==∠∠，11PM R RM B y ==∠∠，
则有：122y x R y x EPM =+∠⎧⎨=+∠⎩
，可得12EPM R ∠=∠，
112EPM FQM ∴∠=∠，∴
112EPM FQM ∠=∠．
【点睛】
本题主要考查平行线的判定与性质，熟练掌握内错角相等证平行，平行线同旁内角互补等知识是解题的关键．
5．（1）见解析；（2）∠BAE+∠CDE=∠AED，证明见解析；（3）①∠AED-∠FDC=45°，理由见解析；②50°
【分析】
（1）根据平行线的性质及判定可得结论；
（2）过点E作EF∥AB，根据平行线的性质得AB∥CD∥EF，然后由两直线平行内错角相等可得结论；
（3）①根据∠AED+∠AEC=180°，∠AED+∠DEC+∠AEB=180°，DF平分∠EDC，可得出
2∠AED+（90°-2∠FDC）=180°，即可导出角的关系；
②先根据∠AED=∠F+∠FDE，∠AED-∠FDC=45°得出∠DEP=2∠F=90°，再根据∠DEA-
∠PEA=5
14∠DEB，求出∠AED=50°，即可得出∠EPD的度数．
【详解】
解：（1）证明：AB∥CD，
∴∠A+∠D=180°，
∵∠C=∠A，
∴∠C+∠D=180°，
∴AD∥BC；
（2）∠BAE+∠CDE=∠AED，理由如下：
如图2，过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD
∴AB∥CD∥EF
∴∠BAE=∠AEF，∠CDE=∠DEF
即∠FEA+∠FED=∠CDE+∠BAE
∴∠BAE+∠CDE=∠AED；
（3）①∠AED-∠FDC=45°；
∵∠AED+∠AEC=180°，∠AED+∠DEC+∠AEB=180°，∴∠AEC=∠DEC+∠AEB，
∴∠AED=∠AEB，
∵DF平分∠EDC
∠DEC=2∠FDC
∴∠DEC=90°-2∠FDC，
∴2∠AED+（90°-2∠FDC）=180°，
∴∠AED-∠FDC=45°，
故答案为：∠AED-∠FDC=45°；
②如图3，
∵∠AED=∠F+∠FDE，∠AED-∠FDC=45°，∴∠F=45°，
∴∠DEP=2∠F=90°，
∵∠DEA-∠PEA=5
14∠DEB=
5
7∠DEA，
∴∠PEA=2
7∠AED，
∴∠DEP=∠PEA+∠AED=9
7∠AED=90°，
∴∠AED=70°，
∵∠AED+∠AEC=180°，
∴∠DEC+2∠AED=180°，
∴∠DEC=40°，
∵AD∥BC，
∴∠ADE=∠DEC=40°，
在△PDE中，∠EPD=180°-∠DEP-∠AED=50°，
即∠EPD=50°．
【点睛】
本题主要考查平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质，角平分线的性质等知识点是解题的关键．
6．（1）70°；（2）EAF AED EDG
∠=∠+∠，证明见解析；（3）122°
【分析】
（1）过E 作//EF AB ，根据平行线的性质得到25EAF AEH ∠=∠=︒，45EAG DEH ∠=∠=︒，即可求得AED ∠；
（2）过过E 作//EM AB ，根据平行线的性质得到180EAF MEH ∠=︒-∠，180EDG AED MEH ∠+∠=︒-，即EAF AED EDG ∠=∠+∠；（3）设EAI x ∠=，则3BAE x ∠=，通过三角形内角和得到2EDK x ∠=-︒，由角平分线定义及//AB CD 得到33224x x =︒+-︒，求出x 的值再通过三角形内角和求EKD ∠．
【详解】
解：（1）过E 作//EF AB ，
//AB CD ，
//EF CD ∴，
25EAF AEH ∴∠=∠=︒，45EAG DEH ∠=∠=︒，
70AED AEH DEH ∴∠=∠+∠=︒，
故答案为：70︒；
（2）EAF AED EDG ∠=∠+∠．
理由如下：
过E 作//EM AB ，
//AB CD ，
//EM CD ∴，
180EAF MEH ∴∠+∠=︒，180EDG AED MEH ∠+∠+=︒，180EAF MEH ∴∠=︒-∠，180EDG AED MEH ∠+∠=︒-，EAF AED EDG ∴∠=∠+∠；
（3）:1:2EAP BAP ∠∠= ，
设EAP x ∠=，则3BAE x ∠=，
32302AED P ∠-∠=︒-︒=︒ ，DKE AKP ∠=∠，
又180EDK DKE DEK ∠+∠+∠=︒ ，180KAP KPA AKP ∠+∠+∠=︒，22EDK EAP x ∴∠=∠-︒=-︒，
DP 平分EDC ∠，224CDE EDK x ∴∠=∠=-︒，
//AB CD ，
EHC EAF AED EDG ∴∠=∠=∠+∠，
即33224x x =︒+-︒，解得28x =︒，
28226EDK ∴∠=︒-︒=︒，1802632122EKD ∴∠=︒-︒-︒=︒．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质和判定，正确做出辅助线是解决问题的关键．7．初步探究：（1）1
2，8;（2）C ；深入思考：（1）2
13，415，8
2
；（2）21n a -；（3）-5.【分析】初步探究：
（1）根据除方运算的定义即可得出答案；
（2）根据除方运算的定义逐一判断即可得出答案；深入思考：
（1）根据除方运算的定义即可得出答案；（2）根据（1）即可总结出（2）中的规律；
（3）先按照除方的定义将每个数的圈n 次方算出来，再根据有理数的混合运算法则即可得出答案.【详解】解：初步探究：（1）2③=2÷2÷2=1
2
（1
2）⑤=111118
22222
÷÷÷÷=（2）A ：任何非零数的圈2次方就是两个相同数相除，所以都等于1，故选项A 错误;B ：因为多少个1相除都是1，所以对于任何正整数n ，1ⓝ都等于1，故选项B 错误；C ：3④=3÷3÷3÷3=1
9，4③=4÷4÷4=14
，3④≠4③，故选项C 正确；
D ：负数的圈奇数次方，相当于奇数个负数相除，则结果是负数；负数的圈偶数次方，相当于偶数个负数相除，则结果是正数，故选项D 错误；故答案选择：C.深入思考：
（1）（-3）④=(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)=2
135⑥=5÷5÷5÷5÷5÷5=
4
15（-1
2）⑩=8111111111122222222222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷-÷-÷-÷-÷-÷-÷-÷-÷-=
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
（2）a ⓝ=a÷a÷a…÷a=
21n a -（3）原式=
()
42
52
62
11
114427
11233---÷
⨯-
÷-⎛⎫⎛⎫
-- ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
=114498127
8⎛⎫
÷⨯--÷ ⎪⎝⎭
=23--=-5【点睛】
本题主要考查了除方运算，运用到的知识点是有理数的混合运算，掌握有理数混合运算的法则是解决本题的关键.
8．初步探究：（1）12，-8；深入思考：（1）(−13)2，(15)4，82；（2）2
1n a -⎛⎫
⎪
⎝⎭
【分析】
初步探究：（1）分别按公式进行计算即可；
深入思考：（1）把除法化为乘法，第一个数不变，从第二个数开始依次变为倒数，由此分别得出结果；
（2）结果前两个数相除为1，第三个数及后面的数变为
1
a
，则1
1n a a a -⎛⎫
=⨯ ⎪
⎝⎭
ⓝ
；
【详解】
解：初步探究：（1）2③=2÷2÷2=
12
，111111-=-----222222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫÷÷÷÷ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⑤
111=1---222⎛⎫⎛⎫⎛⎫÷÷÷ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
()11-2--22⎛⎫⎛⎫
÷÷ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
=-8；
深入思考：（1）（-3）④=（-3）÷（-3）÷（-3）÷（-3）=1×(−13)2=(−1
3)2；
5⑥=5÷5÷5÷5÷5÷5=(1
5
)4；
同理可得：（﹣12
）⑩
＝82；（2）2
1n a a -⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
ⓝ
【点睛】
本题是有理数的混合运算，也是一个新定义的理解与运用；一方面考查了有理数的乘除法及乘方运算，另一方面也考查了学生的阅读理解能力；注意：负数的奇数次方为负数，负
数的偶数次方为正数，同时也要注意分数的乘方要加括号，对新定义，其实就是多个数的除法运算，要注意运算顺序．
9．（1）1
2，-2；（2）（
1
5）
4，（﹣2）8；（3）
n-2
1
a
⎛⎫
⎪
⎝⎭
；（4）
7
-2
8
.
【分析】
（1）分别按公式进行计算即可；
（2）把除法化为乘法，第一个数不变，从第二个数开始依次变为倒数，由此分别得出结果；
（3）结果前两个数相除为1，第三个数及后面的数变为1
a
，则aⓝ=a×(1a)n-1；
（4）将第二问的规律代入计算，注意运算顺序．
【详解】
解：（1）2③=2÷2÷2=12，（﹣12）③=﹣12÷（﹣12）÷（﹣12）=﹣2；
（2）5⑥=5×1
5
×
1
5
×
1
5
×
1
5
×
1
5
=（
1
5）
4，同理得；（﹣1
2
）⑩=（﹣2）8；
（3）aⓝ=a×1
a
×
1
a
×…×
n-2
11
a a
⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
；
(4)（-3）8×（-3）⑨-（﹣1
2
）9×（﹣12）⑧
=（-3）8×（1-
3）
7-（﹣1
2
）9×（-2）6
=-3-(-1
2
)3
=-3+1 8
=
7 -2 8
.
【点睛】
本题是有理数的混合运算，也是一个新定义的理解与运用；一方面考查了有理数的乘除法及乘方运算，另一方面也考查了学生的阅读理解能力；注意：负数的奇数次方为负数，负数的偶数次方为正数，同时也要注意分数的乘方要加括号，对新定义，其实就是多个数的除法运算，要注意运算顺序．
10．（1）×，√，×，×；（2）3332；1000；（3）36（个）．
【分析】
（1）根据“本位数”的定义即可判断；
（2）要想保证不进位，千位、百位、十位最大只能是3，个位最大只能是2，故最大的四位“本位数”是3332；千位最小为1，百位、十位、个位最小为0，故最小的“本位数”是1000；
（3）要想构成“本位数”，百位可以为1，2，3，十位可以为0，1，2，3，个位可以为0，1，2，所有的三位数中，“本位数”一共有34336
⨯⨯=（个）．
【详解】
解：（1）106107108321++=有进位；111112113336++=没有进位；4004014021203++=有进位；2015201620176048++=有进位；
故答案为：×，√，×，×．
（2）要想保证不进位，千位、百位、十位最大只能是3，个位最大只能是2，故最大的四位“本位数”是3332；
千位最小为1，百位、十位、个位最小为0，故最小的“本位数”是1000，故答案为：3332，1000．
（3）要想构成“本位数”，百位可以为1，2，3，十位可以为0，1，2，3，个位可以为0，1，2，所有的三位数中，“本位数”一共有34336⨯⨯=（个）．【点睛】
本题考查了新定义计算题，准确理解新定义的内涵是解题的关键．11．（1）2；32）1、2、3；（3）256，4
【分析】
（1）依照定义进行计算即可；
（2）由题可知，04x <<，则可得满足题意的整数的x 的值为1、2、3；
（3）由0=，可知，0y 是某个整数的平方，又0y 是符合条件的所有数中最大的数，则0256y =，再依次进行计算．【详解】
解：（1）由定义可得，2=，[52=，
{53∴=．
故答案为：2；3．
（2）1= ，
2∴<，即04x <<，
∴整数x 的值为1、2、3．
故答案为：1、2、3．
（3）0= ，即0=-=，
∴2t ，且t 是自然数，
0y 是符合条件的所有数中的最大数，0256y ∴=，
1[16]16y ∴===，
2[4]4y ===，
3[2]2y ===，
41y ===，
即4n =．
故答案为：256，4．
【点睛】
本题属于新定义类问题，主要考查估算无理数大小，无理数的整数部分和小数部分，理解定义内容是解题关键．
12．（1）10
21-；（2）21332-；（3）
11
1
n a a +--【分析】
（1）设式子等于s ，将方程两边都乘以2后进行计算即可；
（2）设式子等于s ，将方程两边都乘以3，再将两个方程相减化简后得到答案；（3）设式子等于s ，将方程两边都乘以a 后进行计算即可.【详解】
（1）设s=291222++++ ①，∴2s=29102222++++ ②，②-①得：s=1021-，故答案为：1021-；
（2）设s=220333+++ ①，∴3s=22021333+++ ②，②-①得：2s=2133-，
∴2133
2
s -=,故答案为：2133
2
-；
（3）设s=231n a a a a ++++ ①，∴as=231n n a a a a a +++++ ②，②-①得：（a-1）s=11n a +-，∴s=
11
1
n a a +--.【点睛】
此题考查代数式的规律计算，能正确理解已知的代数式的运算规律是难点，依据规律对于每个式子变形计算是关键.
13．（1）4-；3-；6；（2）证明见解析；（3）2BEC BCO ∠=∠，理由见解析.【详解】
分析：（1）求出CD 的长度，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解；（2）根据等角的余角相等解答即可；
（3）首先证明∠ACD=∠ACE ，推出∠DCE=2∠ACD ，再证明∠ACD=∠BCO ，∠BEC=∠DCE=2∠ACD 即可解决问题；【解答】（1）解：如图1中，
∵|a+4|+（b-a-1）2=0，
∴a=-4，b=-3，
∵点C（0，-4），D（-3，-4），∴CD=3，且CD∥x轴，
∴△BCD的面积=1
2
×4×3=6；
故答案为-4，-3，6．
（2）如图2中，
∵∠CPQ=∠CQP=∠OPB，AC⊥BC，
∴∠CBQ+∠CQP=90°，
又∵∠ABQ+∠CPQ=90°，
∴∠ABQ=∠CBQ，
∴BQ平分∠CBA．
（3）如图3中，结论：∠BEC=2∠BCO．
理由：∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCF=90°，
∵CB 平分∠ECF ，∴∠ECB=∠BCF ，∴∠ACD+∠ECB=90°，∵∠ACE+∠ECB=90°，∴∠ACD=∠ACE ，∴∠DCE=2∠ACD ，
∵∠ACD+∠ACO=90°，∠BCO+∠ACO=90°，∴∠ACD=∠BCO ，
∵C （0，-4），D （-3，-4），∴CD ∥AB ，
∠BEC=∠DCE=2∠ACD ，∴∠BEC=2∠BCO ，
点睛：本题考查了坐标与图形性质，三角形的角平分线，三角形的面积，三角形的内角和定理，三角形的外角性质等知识，熟记性质并准确识图是解题的关键．14．（1）90°；（2）见解析；（3）不变，180°【分析】
（1）根据邻补角的定义及角平分线的定义即可得解；
（2）根据垂直的定义及邻补角的定义、角平分线的定义即可得解；
（3）180BPC BQC ∠+∠=︒，过Q ，P 分别作//QG AB ，//PH AB ，根据平行线的性质及平角的定义即可得解．【详解】
解（1）CN ，CM 分别平分BCE ∠和BCD ∠，
1
2BCN BCE ∴=
∠，12
BCM BCD ∠=∠，180BCE BCD ∠+∠=︒ ，111
()90222
MCN BCN BCM BCE BCD BCE BCD ∴∠=∠+∠=
∠+∠=∠+∠=︒；（2）CM CN ⊥ ，
90MCN ∴∠=︒，即90BCN BCM ∠+∠=︒，
22180BCN BCM ∴∠+∠=︒，
CN 是BCE ∠的平分线，
2BCE BCN ∴∠=∠，2180BCE BCM ∴∠+∠=︒，
又180BCE BCD ∠+∠=︒ ，
2BCD BCM ∴∠=∠，
又CM 在BCD ∠的内部，
CM ∴平分BCD ∠；
（3）如图，不发生变化，180BPC BQC ∠+∠=︒，过Q ，P 分别作//QG AB ，//PH AB ，。