人教版高中数学必修2《四章 圆与方程 4.3空间直角坐标系 4.3.2 空间两点间的距离公式》公开课教案_13

数学思想专题
第二讲 数形结合思想
考纲解读：
理解数形结合是高中数学的重要思想方法．会运用数形结合思想方法解决问题． 考情分析：
纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决数学问题，往往事半功倍．数形结合的重点是研究“以形助数”，其中主要有两种主要的应用方向：第一是直接将代数问题转化为几何问题，解决几何问题后将其还原为代数问题的答案；第二是在解题过程中，画出图形，并依据图形信息的直观启示，探索修正解题思路与解题过程．
数形结合作为一种重要的思想方法，已经渗透至数学的每一分支中．在高考试题中，大部分问题都可以用到这种思想方法，无论是选择题、填空题还是解答题．它属于高考重点考查的内容，
高考试题对数形结合的考查主要涉及：
(1)考查集合及其运算问题(韦恩图与数轴)．
(2)考查用函数图象解决有关问题(如方程、不等式、函数的有关性质等)． (3)考查运用向量解决有关问题． (4)考查三角函数的图象及其应用．
(5)解析几何、立体几何中的数形结合．
真题试做
1.(2015·重庆)已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为 ( ) A.52－4 B.17－1 C.6－2 2 D.17
2.（2015·湖南）已知a ，b 单位向量，a ·b ＝0,若向量c 满足｜a +b +c ｜＝1，则｜c ｜的取值范围是( )
A.1⎤⎦
B. 2⎤⎦
C. 1⎡⎤⎣⎦
D. 2⎡⎤⎣⎦
3. 如图，在边长为2的菱形ABCD 中，60BAD ∠=， E 为BC 中点，则AE BD ⋅=
(A)-3 (B)0 (C)-1
(D)1
4.（2012·上海联考）设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，则不等式f (x )－f (－x )
x
<0的解集为( ) A ．(－1,0)∪(1，＋∞)
B ．(－∞，－1)∪(0,1)
C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
D ．(－1,0)∪(0,1)
类型一 数形结合思想解方程的根、函数的零点
例1 (2014·福建)对于实数a 和b ，定义运算“*”：a *b ＝⎩⎨⎧
a 2
－ab ，a ≤b ，
b 2
－ab ，a >b .
设f (x )
＝(2x －1)*(x －1)，且关于x 的方程f (x )＝m (m ∈R)恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1x 2x 3的取值范围是________.
变式训练1
已知函数f (x )满足下面关系：①f (x ＋1)＝f (x －1)；②当x ∈[－1,1]时，f (x )＝x 2，则方程f (x )＝lg x 解的个数是 ( )
A.5
B.7
C.9
D.10
题型二 数形结合解不等式问题
例2 设有函数f (x )＝a ＋－x 2－4x 和g (x )＝4
3
x ＋1，已知x ∈[－4,0]时恒有f (x )≤g (x )，
求实数a 的取值范围.
变式训练2
(2013·课标全国Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－x 2
＋2x ，x ≤0，
ln （x ＋1），x ＞0.
若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范
围是 ( )
A.(－∞，0]
B.(－∞，1]
C.[－2,1]
D.[－2,0]
题型三 数形结合解决有明显几何意义的式子(概念)问题
例3 已知函数f (x )＝ax 2＋bx －1(a ，b ∈R 且a >0)有两个零点，其中一个零点在区间(1,2)
内，则
b
a ＋1
的取值范围为 ( )
A.(－∞，1)
B.(－∞，1]
C.(－2,1]
D.(－2,1)
变式训练3
已知点P (x ，y )的坐标x ，y 满足⎩⎨
⎧
x －2y ＋1≥0，
|x |－y －1≤0，
则x 2＋y 2－6x ＋9的取值范是
( )
A.[2,4]
B.[2,16]
C.[4,10]
D.[4,16]
题型四 数形结合解几何问题 例4 （2013·浙江联考）已知P 为抛物线y 2=4x 上一个动点，Q 为圆x 2＋(y -4)2＝1上一
个动点，那么点P 到点Q 的距离与P 到y 轴距离之和的最小值是( )
1221
变式训练4
已知P 是直线l ：3x ＋4y ＋8＝0上的动点，PA 、PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，A 、B 是切点，C 是圆心，求四边形PACB 面积的最小值.
课堂反思：
课堂检测
1、(2013·高考重庆卷)设P 是圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝4上的动点，Q 是直线x ＝－3上的动点，则|PQ |的最小值为( )
A ．6
B ．4
C ．3
D ．2 2、(2013·长春调研)设函数f (x )＝|x ＋a |，g (x )＝x －1，对于任意的x ∈R ，不等式f (x )≥g (x )恒成立，则实数a 的取值范围是________．
3、(2012·天津)已知函数y ＝|x 2
－1|
x －1
的图象与函数y ＝kx －2的图象恰有两个交点，则实数k 的取
值范围是_____________.
4、(2013·高考四川卷)已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x ，那么，不等式f (x ＋2)<5的解集是__________________.
5、(2013·高考天津卷)函数f (x )＝2x |log 0.5x |－1的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
6、(2013·云南联考) 设函数f (x )＝⎩⎨⎧
x 2
＋bx ＋c ，x ≤0，
2， x >0.
若f (－4)＝f (0)，
f (－2)＝－2，则关于x 的方程y ＝x 的解的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
7、[2013·辽宁卷改编] 若x ∈[0，1]，则x 与sin x 的关系为________。