高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学必修1 2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法》

《》教学设计
一、教材分析
“”是《普通高中课程标准实验教科书·数学必修1》（人教B版）第二章“函数”中第四节“函数与方程”的第二部分，属于数学方法范畴，本节课是在学习了“函数的零点”的基础上引入的，主要任务是探究二分法的基本思想方法，体会逼近思想，根据具体函数的图象，能够借助计算器用二分法求给定精确度的方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的基本方法，并在总结“用二分法求函数零点的步骤”中渗透算法思想，为学生后续学习算法做铺垫
二、学情分析
本节课是以上节课的“连续函数的零点存在定理”为依据，从求方程近似解这个侧面来体现“方程与函数的关系”；而且在“用二分法求函数零点的步骤”中渗透了算法的思想，学生已经学习了函数，理解函数零点和方程根的关系，初步掌握函数与方程的转化思想但是对于求函数零点所在区间，只是比较熟悉求二次函数的零点，对于高次方程和超越方程对应函数零点的寻求会有困难另外算法程序的模式化和求近似解对他们是一个全新的问题运用“二分法”进行区间缩小的依据、总结出“运用二分法求方程的近似解，的步骤、将“二分法”，运用到生活实际，是需要学生“跳跳”才能摘到的“桃子”
三、设计思想
倡导积极主动、勇于探索的学习精神和合作探究式的学习方式；注重提高学生的数学思维能力，发展学生的数学应用意识；应用从生活实际——理论——实际应用的过程，应用数形结合、图表、信息技术，采用教师引导—学生探索相结合的教学方法，注重提高学生数学的提出问题、分析问题和解决问题的能力
四、课时安排：1课时
五、课型：新授课
六、教学目标
1、知识与技能目标：
（1）通过实例的探究，学生能了解二分法的概念；
（2）体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识；
（3）能够借助计算器或计算机用二分法求方程的近似解
2、过程与方法目标：
（1）通过经历“用二分法求方程近似解”的探索过程，初步体会数形结合思想、逼近思想等；
（2）培养学生能够探究问题的能力、严谨的科学态度和创新能力
3、情感、态度、价值观目标：
（1）在具体的问题情境中感受无限逼近的过程，感受精确与近似的相对统一；
（2）在探究解决问题的过程中，培养学生与人合作的态度、表达与交流的意识和勇于探索的精神
七、教学重难点
重点：二分法原理及其探究过程，用二分法求方程的近似解
难点：对二分法原理的探究，对精确度、近似值的理解
八、教学过程
（一）创设情境，提出问题
问题1：CCTV2的一档娱乐节目，要求选手在有限的时间内猜出某一物品的售价现在有这样一个信封，里面装着0元至100元，只给大家七次机会，猜这个信封里究竟有多少元？
【设计意图：以实际问题为背景，以学生感觉较简单的问题入手，激活学生的思维，形成学生再创造的欲望让学生独立思考，给出猜价方案让学生初步体会二分法的算法思想与方法，说明二分法原理源于现实生活，并在现实生活中广泛应用】
（二）引出课题
我们把这种不断取中点来解决问题的方法称为——二分法
（三）师生探究，构建新知
探究：请找出方程062ln =-+x x 的根的大致范围
转化：方程062ln =-+x x 的根⇔函数62ln )(-+=x x x f 的零点
问题2：你能找出函数)(x f 的零点落在下列哪个区间吗（ C ）
A )2,1(
B )3,2( A )4,3( A )5,4(
分析：通过具体的函数帮助学生理解闭区间上的连续函数，如果两个端点的函数值是异号的，那么函数图象就一定与x 轴相交，即方程0)(=x f 在区间内至少有一个解（即上节课的函数零点存在性定理，为下面的学习提供理论基础）引导学生从数的角度去体会函数零点的意义，掌握常见函数零点的求法
问题3：你能继续缩小零点所在的区间的范围吗？
步骤一：取区间)3,2(的中点5.2，用计算器算得0084.0)5.2(<-≈f 由0)3(>f ，得知0)3()5.2(<⋅f f ，所以零点在区间)3,5.2(内
步骤二：取区间)3,5.2(的中点75.2，用计算器算得0512.0)75.2(>≈f 因为0)75.2()5.2(<⋅f f ，所以零点在区间)75.2,5.2(内
结论：由于)75.2,5.2()3,5.2()3,2(⊃⊃，所以零点所在的范围确实越来越小了如果重复上述步骤，在一定精确度下，我们可以在有限次重复上述步骤后，将所得的零点所在区间内的任一点作为函数零点的近似值特别地，可以将区间端点作为函数零点的近似值
【设计意图：引导学生把上述方法推广到一般的函数，经历归纳方法的一般性过程之后得出二分法及用二 分法求函数)(x f 的零点近似值的步骤】
（四）概念的生成
对于在区间],[b a 上连续不断且0)()(<⋅b f a f 的函数)(x f y =，通过不断地把函数)(x f 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法
精确度：近似解和真实解的误差不超过某个数，我们称精确度是多少
【设计意图：用自然语言表述二分法求方程近似解的步骤，有利于学生将知识进行内化让思维更清晰，明确二分法的使用范围】
（五）总结二分法的解题步骤
给定精确度ε，用二分法求函数)(x f 零点的近似值的步骤如下：
1给定区间],[b a ，验证0)()(<⋅b f a f ，给定精确度ε；
2求区间),(b a 的中点c ；
3计算)(c f ；
（1）若0)(=c f ，则c 就是函数的零点；
（2）若0)()(<⋅c f a f ，则令c b =（此时零点),(0c a x ∈）；
（3）若0)()(<⋅b f c f ，则令c a =（此时零点),(0b c x ∈）
4判断是否达到精确度ε：即若ε<-b a ，则得到零点近似值a （或b ）；否则重复2~4
（六）二分法的Ece 实验
第一步：借助Ece 图表功能绘制函数大致图像，估计函数近似解的区间范围由函数零点定理，可构造函数62ln )(-+=x x x f ，利用Ece 绘制函数62ln )(-+=x x x f 的大致图像，操作如图1、图2:
图1 图2
具体操作：
（1）图1第1行各单元格符号为直接输入，x 表示变量的值，)(x f 表示对应的函数值；
（2）第1列先在32A A 、中分别输入2,1，然后选中32A A 、鼠标变成黑十字星后拖拽到11A ；
（3）在2B 中输入“62*2)2ln(-+=A A ”，选择2B 鼠标变成黑十字星后拖拽到11B ，即得到对应的 )2(),1(f f
（4）选中数据单元格区域，点击工具栏中“插入图表”，进人图表绘制对话框（图2），选择“XY 散点图”，并选择连线，点击下一步，设置y x ,的刻度及图形样式后，点击完成即得如图3的函数大致图像
图3
第二步，利用Ece 软件实现二分法实验根据图3可以估计函数62ln )(-+=x x x f 的零点在区间]3,2[，Ece 实验如图4：
图4
具体操作：
（1）第一行的各单元格中的符号是直接输入的，第一列的序号也是直接输入的，代表二分次数；
（2）2B ，2D 中的3,2是直接输入的，在2C 中输入“2/)22(D B +=”，在2E 中输入“62*2)2ln(-+=B B ”，选中2E 鼠标变成黑十字星后拖拽到2F ，2G 即得到相当于)(),(b f c f 的值；
（3）在2H 中输入“)"""",01
.0)22((继续运算，结束运算<-=B D ABS if ”； （4）在3B 中输入“)2,2,02*2(C B F E if <=”，在3D 中输入“)2,2,02*2(C D G F if <=”；
（5）其余单元格可由关系复制得到，直到在H 列中出现了“结束计算”时，不再继续拖拽此时a 与b 之间的范围就是方程的近似解
【设计意图：二分法借助计算机常用的Ece 软件实验，学生本身具备一定的Ece 软件应用基础，可操作性强在整个实验过程中，首先利用图表功能作出函数大致图像，体现“数”与“形”的转化思想，更好的说明了二分法建构的理论基础，为后面算法渗透服务，有助于学生进一步理解函数零点存在性定理;其次，在利用Ece 表格实验二分法的过程中，则是“形”与“数”的转化，其中包括图像、数轴、表格的转化，最终在学生脑海里抽象成“数”的算法流程，这一“数形”与“抽象”相结合的数学实验过程，就是学生实现知识自我建构的过程，加深了学生对二分法核心思想及其算法思想的理解同时培养学生运用高新科技解决问题的意识，提升学生核心素养，我们要学会迎合社会的高速发展】
（七）小结
（1）二分法的概念；
（2）二分法求近似解步骤；
（3）本节课涉及的数学思想方法
（八）作业
作业：借助计算器用二分法求方程022=-x 的近似解（精确度）
解：原方程即022=-x ，令2)(2-=x x f
2)2(,1)1(=-=∴f f ，0)2()1(<⋅∴f f ，说明这个函数在区间)2,1(内有零点0x
再取区间)2,1(的中点5.11=x ，用计算器算得25.0)5.1(=f 因为0)5.1()1(<⋅f f ，所以取)5.1,1(0∈x 再取区间)5.1,1(的中点25.12=x ，用计算器算得4375.0)25.1(-≈f 因为0)5.1()25.1(<⋅f f ，所以取)5.1,25.1(0∈x
同理可得，)5.1,375.1(0∈x ，)4375.1,375.1(0∈x ，)4375.1,40625.1(0∈x ，)421875.1,40625.1(0∈x ，)421875.1,4140625.1(0∈x 由于01.00078125.04140625.1421875.1<=-，
所以，方程的近似解可取为4140625.1 【设计意图：明确用二分法求解方程近似解的过程，同时明白2是如何计算出来的】
（九）思考
思考：现在有16枚硬币，其中有一枚是假币，已知假币的质量比真币的质量轻，现在只有一个天平，请你设计一个实验方案，要求用尽可能少的步骤找出这枚假币。

请问至少需要多少次称量能确保找出这枚假币？
【设计意图：学生会用二分法解决此问题，但二分法并不是解决此问题的最佳方法，形成思维冲击】。