2011届高考数学对数与对数函数第二轮重点特破专题复习

lg2(1lg2)1.
（3）原式 = 1(l3g 2lg4)94lg 81 21lg245
2
32
1 (5 l2 g 2 l7 g ) 4 3 l2 g 1 (2 l7 g l5 g )
2
32 2
5 l2 g l7 g 2 l2 g l7 g 1 l5 g 1 l2 g 1 l5 g
综上，使|f(x)|≥1对任意x∈［3，+∞）都成立的a的取值范
围是：1,3
1 3
,1
探究拓展 本题属于函数恒成立问题，即在x∈［3，+∞）时， 函数f(x)的绝对值恒大于等于1.恒成立问题一般有两种思路： 一是利用图象转化为最值问题；二是利用单调性转化为最值 问题.这里函数的底数为字母a,因此需对参数a分类讨论.
（2）方法一 ∵0<0.7<1,1.1<1.2, ∴0>log0.71.1>log0.71.2,
1 1 , lo0g.71.1 lo0g.71.2
即由换底公式可得log1.10.7<log1.20.7.
方法二 作出y=log1.1x与y=log1.2x的图象.
如图所示两图象与x=07相交可知log1.10.7<log1.20.7.
§ 2.7 对数与对数函数
要点梳理
1.对数的概念 （1 一般地，如果 ax=N(a>0且a≠1),那么数x叫做以a为底N 的对数，记作 x=loga ,其中 a 叫做对数的底数,
N 叫做真数N. （2
对数形式
特点
记法
一般对数 底数为a(a>0且a≠1)
常用对数
底数为 10 .
logaN . lgN .
3
4
解析 由条件知log3(log2x)=1,∴log2x=3,
Cx=8, ∴
x
1 2
2.
4
4.(2009·新郑调研 )若f(x)=logax在［2，+∞）上恒有
f(x)>1,则实数a的取值范围是
（C
A.( 1 ,1 ) 2
C.（1，2）
解析 据题意a>1,f(x)
B.
(0,
1)
(1,2)
2
D.
(0,
是logaM时，要特别注意条件，在无M
＞l0o的ga条b件 下lo应1gb为a logaMn=nloga|M|(n∈Nl*o且m agnb为n 偶m n数•)l.oagb,
3.注意对数恒等式、对数换底公式及等式
1.指数函数y=ax与对数函数y=logax（a＞0，且a≠1）互为反 函数，要能从概念、图象和性质三个方面理解它们之间的 联系与区别.
OD的斜率为
k2
lo2gx2 x2
3lo8gx2, x2
由此可知k1=k2,即O、C、D在同一直线上.
(2)解 由于BC平行于x轴，知log2x1=log8x2，
即得 lo2gx11 3lo2gx2,x2x13,
代入x2log8x1=x1log8x2，得
由于x1>1,知log8x1≠0,
x1 3lo8x g 13x1lo8x g 1,
2.在解决问题的思路和方法上，要注意与指数进行比较. 3.比较两个幂值的大小是一种常见的题型，也是一类容易做
错的题目.解决这类问题时，首先要分清是底数相同还是指 数相同.如果底数相同，可利用指数函数的单调性；如果指 数相同，可利用图象（如下表）
同一坐标系下的图象关系
底的关系
a＞b＞1
图
象
y=ax与y=bx
x13 3x1,
又因x1>1,解得x1
于是点A的坐标为
3,
( 3,log8 3).
探究拓展 本题是典型的在知识交汇点处的命题，若用传统
方法设直线方程，解方程组求交点必然思路受阻，而充分利
用函数图象和性质及解析几何的思想方法会使问题迎刃而解.
方法与技巧 1.指数式ab=N与对数式logaN=b的关系以及这两种形式的互 化
自然对数
底数为 e .
lnN .
2. （1
a ① loga N N ;②logaaN= N (a>0且a≠1).
（2
①②(3lo换)ga底b 公lo式1gb a:,lo推ga N广llloooggagaNbab·(alo,gbb均c·大l于og零cd且=lo不ga等d 于.1)；
如果a>0且a≠1,M>0,N>0, ①②③lollgooaggMaaN(MMn=Nn)l=lolNogogaMgaMaM-l+olg(oanNg∈a ;R);;
题型二 利用对数函数的性质比较大小
比较下列各组数的大小. （（12））lolgo3g321.与 10.l7o与g5 l56o;g1.20.7；
（3）已知
比较2b,2a,2c的大小关系.
lo1b glo1a glo1c g ,
【思维启迪】（2 1
2
2
（2
（3）利用对数函数、指数函数的单调性求解.
解 （1） lo3g32lo3g10, 而 lo 55 6 g lo 5 g 10 , lo 33 2 g lo 55 6 g .
62t3 t3lo2g 6;
t1+t2=1+log23=log26=t3,故⑤正确.
题型一 对数的运算
计算（1）log2 3(2 3);
（2）
2 (l2 g )2 lg 2 l5 g (l2 g )2 l2 g 1 ;
（3） 1lg324lg8lg24.5 2 493
【思维启迪】①利用对数定义求值;②利用对数的运算性质.
的 增 函数
的 减 函数
4.反函数 象指数函数yy==axx与对数函数y=logax互为 反函数 ,它们的图
关于基直础线自测 对称.
1.(2008·全国Ⅱ理,4)若x∈(e-1,1),a=lnx,b=2lnx,Cc=ln3x，
则
（
A.a<b<c
B.c<a<b
C解.析b<a<c1e
x
D.b<c<a ∴1-,1<lnx<0.
题型四 对数函数的综合应用
已知过原点O的一条直线与函数y=log8x的图象交 于
A、B两点，分别过A、B作y轴的平行线与函数y=log2x的 图
象交于C、D两点. （1）证明：点C、D和原点O （2）当BC平行于x轴时，求点A的坐标. 【思维启迪】（1）证明三点在同一条直线上只需证明 kOC=kOD;(2)解方程组得x1,x2，代入解析式即可求解. （1）证明 设点A、B的横坐标分别为x1、x2, 由题设知x1>1,x2>1, 则点A、B的纵坐标分别为log8x1、log8x2.
令t=lnx,则-1<t<0.
∴a-b=t-2t=-t>0.∴a>b.
c-a=t3-t=t(t2-1)=t(t+1)(t-1),
又∵-1<t<0,∴0<t+1<1,-2<t-1<-1,
∴c-a>0, ∴ c>a.∴c>a>b.
2.已知3a=5b=A,且 1 1 2, 则A的值是
（B
ab
A.15
所以,|f(x)|=f(x),而f(x)=logax在［3，+∞）上为增函数， ∴对于任意x∈［3，+∞），有f(x)≥loga3. 4 因此，要使|f(x)|≥1对于任意x∈［3，+∞）都成立.
只要loga3≥1=logaa即可，∴1<a≤3.
6
当0<a<1时，对于x∈［3，+∞），有f(x)<0,
解 （1）方法一 利用对数定义求值
设 log2 3(2 3)x,
(23)x23 1 (23) 1,
∴x=-1
23
方法二 利用对数的运算性质求解
log(23)log 1
23
232 3
（2l）o2 原g3式(2 l3)g 1 2 ( 2 1 l. g 2 l5 g )(l2 g ) 2 2 lg 2 1 lg2(l2g lg 5)1lg211
2
222
1lg2(5)1lg101.
2
22
探究拓展 （1）在对数运算中，先利用幂的运算把底数或 真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简， 然后再运用对数运算法则化简合并，在运算中要注意化同底 和指数与对数互化. （2）熟练地运用对数的三个运算性质并配以代数式的恒等 变形是对数计算、化简、证明常用的技巧.
1)(2,)
2
∴当x∈［2，+∞）时，f(x)≥loga2. 故要使f(x)>1
只需f(x)min=loga2>1,∴1<a<2.
5.如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积y (m2)与
时间t(月）的关系：y=at,有以下叙述:①这个
指数函数的底数为2；②第5个月时，浮萍
面积就会超过30m2;③浮萍从4m2蔓延
到12m2需要经过1、5个月；④浮萍每月增加的
面积都相等；⑤若浮萍蔓延到2m2、3m2、6m2所经过的时
间分别为t1、t2、t3,则t1+t2=t3.其中正确的是
（D ）
A.
B.
C.②③④⑤
D.
解析 t=1时，y=2,则2=a1,所以a=2,①正确.
y2 = 22 5t1 = 32t1 > 31 ; 03 , 故2 ②t2 正t确2 . lo 2 3 ;g
题型三 对数函数的图象与性质
（12分）已知函数f(x)=logax (a>0,a≠1)，如果对于 任意x∈［3，+∞）都有|f(x)|≥1成立，试求a的取值范围.
【思维启迪】当x∈［3，+∞）时，必有|f(x)|≥1成立,可
以理解为函数|f(x)|在区间［3，+∞）上的最小值不小于1.
解 当a>1时，对于任意x∈［3，+∞），都有f(x)>0.
lom agMn m nloagM.
3.对数函数的图象与性质
a>1 图 象
0<a<1
(1)定义域（: 0，+∞）
(2)值域:R
(3)过点 (1,0) ,即x= 1 时，y= 0 .
性 质
(4)当x>1时, y>0 当0<x<1时, y<0
(4)当x>1时, y<0 当0<x<1时, y>0
（5）是（0，+∞）上 (5)是（0，+∞）上
y=logax与logbx
底的关系
1＞a＞b＞0
图
象
y=ax与y=bx
y=logax与logbx
当底大于1时，底越大，图象越靠近坐标轴；当底小于1大于0
时，底越小，图象越靠近坐标轴，如果底数、指数都不同，
则要利用中间变量.
1.化简求值.
（1）lo2g478lo21 g2 1 2lo2g 42 1; （2）(lg2)2+lg2·lg50+lg25；
∴|f(x)|=-f(x).
8
∵f（x）=logax在［3，+∞ ∴-f（x）在［3，+∞）上为增函数.
∴对于任意x∈［3，+∞）都有
|f(x)|=-f(x)≥-loga3.
10
因此，要使|f(x)|≥1对于任意x∈［3，+∞
只要-loga3≥1
lo a3 g 1 lo a1 a ,g 即 1 a 3 , 1 3 a 1 .
B. 15
C.
15
D.225
解析 ∵3a=5b=A,∴a=log3A,b=log5A,
1 ab 1lo A 3 g lo A 5 g lo A 1 g 5 2 ,
∴A2=15,A或15 A（舍去1）5.
3.已知log7［log3(log2x)］=0
A. 1
B. 3
3
6
x
1 2
等于
（C
C. 2
D. 3
（3）（log32+log92）·(log43+log83).
解 （1）原式lo2g4 78 lo21 g 2lo2g42 lo22 g
lo2g4 8 74 1 2 22lo22 g2 3
3. 2
（2）原式=lg2(lg2+lg50)+lg25
=2lg2+lg25=lg100=2.
(3）原式
(lg 2lg 2)•(lg 3lg 3) lg 3 2lg 3 2lg 2 3lg 2
(3 ) ylo 为减1 2gx函数，且
lo1 2b g lo1 2a g lo1 2c g ,
∴b>a>c,而y=2x是增函数，∴2b>2a>2c.
探究拓展 比较对数式的大小，或证明等式问题是对数中常 见题型，解决此类问题的方法很多，①当底数相同时可直接 利用对数函数的单调性比较；②若底数不同，真数相同，可 转化为同底（利用换底公式）或利用对数函数图象，数形结 合解得；③若不同底，不同真数，则可利用中间量进行比较.
所以 log8 x1 log8 x2 ,
x1
x2
点C、D的坐标分别为(x1,log2x1)、(x2,log2x2),
由于lo 2x 1 g llo o 8 8x 2 1 g g 3 lo 8x 1 g ,lo 2x 2 g 3 lo 8x 2 g ,
OC的斜率为 k1
lo2gx1 x1
3lo8gx1, x1
3lg2•5lg35. 2lg3 6lg2 4
2.已知0＜a＜1，b＞1，ab＞1,则log
a
1, b
loga b,
log
b
1 b
关系是
的大小 （C ）
A.loagb 1loagblobgb 1 C.loagblobgb 1loagb 1
B. loagbloagb1lobgb1 loDbgb1. loagb1loagb