2022高考数学文人教A版一轮复习学案：4.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数 【含解析】

第四章 三角函数、解三角形
4.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数
必备知识预案自诊
知识梳理
1.角的概念的推广
(1)角的定义:一条射线绕着它的 旋转所成的图形.
(2)角的分类{
按旋转方向不同分为 、 和 .
按终边位置不同分为 和轴线角.
(3)终边相同的角:所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=α+k ·360°,k ∈Z },即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整数个周角的和.
2.弧度制的定义和公式
(1)定义:长度等于 的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.弧度单位用符号rad 表示,读作弧度.
(2)公式:
3.任意角的三角函数
有向线段
为正弦线
有向线段 为余弦线
有向线段 为正
切线
1.象限角
2.轴线角
考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”. (1)小于90°的角是锐角.
( ) (2)三角函数线的方向与坐标轴同向的三角函数值为正. ( ) (3)若sin α>0,则α是第一、第二象限的角.
( ) (4)相等的角终边一定相同,终边相同的角也一定相等.
( )
(5)若角α为第一象限角,则sin α+cos α>1;若α∈(0,π
2),则tan α>cos α>sin α.
( )
2.已知扇形的半径为12 cm,弧长为18 cm,则扇形圆心角的弧度数是( ) A.2
3
B.3
2
C.2
3π
D.3
2π
3.sin 2cos 3tan 4的值( ) A.小于0 B.大于0 C.等于0 D.不存在
4.设角α的终边与单位圆相交于点P 35,-4
5,则sin α-cos α的值是( )
A.-7
B.-1
C.1
D.7
5.(2020北京东城一模,12)已知角α的顶点在坐标原点,始边与x 轴的正半轴重合,将角α的终边按逆时针方向旋转π
6后经过点(-1,√3),则sin α= .
关键能力学案突破
考
点
角的表示及象限的判定
【例1】(1)(2020江西九江一模)若sin α<0,且sin(cos α)>0,则角α是( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角
(2)终边在直线y=√3x 上的角的集合为 .
(3)若角θ的终边与6π7角的终边相同,则在[0,2π)内终边与θ
3角的终边相同的角
为 .
解题心得1.角的终边在一条直线上比在一条射线上多一种情况.
2.判断角β所在的象限,先把β表示为β=2k π+α,α∈[0,2π),k ∈Z ,再判断角α的象限即可.
3.确定角k α,α
k (k ≥2,且k ∈N *)的终边的位置:先用终边相同角的形式表示出角α的范围,再写出k α或αk 的范围,最后根据k 的可能取值讨论确定k α或αk
的终边所在位置.
对点训练1(1)设集合M=x |x =k 2·180°+45°,k ∈Z ,N=x |x =k
4·180°+45°,k ∈Z ,那么( )
A.M=N
B.M ⊆N
C.N ⊆M
D.M ∩N=N
(2)(2020陕西榆林一中检测,3)若角θ满足sin θ>0,tan θ<0,则θ2
是( ) A.第二象限角 B.第一象限角 C.第一或第三象限角 D.第一或第二象限角 (3)已知角α为第三象限角,则2α的终边所在的位置范围为 .
考
点
三角函数定义的应用 (多考向探究)
考向1 利用定义求三角函数值
【例2】(1)(2020山东潍坊一模,3)在平面直角坐标系xOy 中,点P (√3,1),将向量OP
⃗⃗⃗⃗⃗ 绕点O 按逆时针方向旋转π2后得到向量OQ
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则点Q 的坐标是( )
A.(-√2,1)
B.(-1,√2)
C.(-√3,1)
D.(-1,√3)
(2)已知角α的终边在直线3x+4y=0上,则5sin α+5cos α+4tan α= . 解题心得用三角函数定义求三角函数值的两种情况:
(1)已知角α终边上一点P 的坐标,则直接用三角函数的定义求解三角函数值;
(2)已知角α的终边所在的直线方程,注意终边位置有两个,对应的三角函数值有两组. 对点训练2(2020陕西宝鸡一中检测)已知角α的顶点为坐标原点,始边为x 轴的正半轴.若角α的终边过点P 35,-4
5,则cos αtan α的值是( )
A.-45
B.45
C.-35
D.35
考向2 利用定义求参数的值
【例3】已知角α终边上一点P (m ,4),且cos α=√2
6m ,则m 的值为 .
解题心得利用三角函数的定义求参数的值应用的方程思想,由已知条件及三角函数的定义得到关于参数的一个方程,解方程得参数的值.
对点训练3已知角α的终边过点P (-8m ,-6sin 30°),且cos α=-4
5,则m 的值为( ) A.-1
2
B.1
2
C.-√3
2
D.√3
2
考向3 利用定义判定三角函数值的符号
【例4】若角α的终边落在直线y=-x 上,则sinα
|cosα|+|sinα|
cosα 0(填“>”“<”或“=”). 解题心得判定三角函数值的符号,先搞清三角函数中的角是第几象限角,再根据正弦、余弦函数值在各象限的正负情况确定.如果不知角所在象限,需要分类讨论求解.
对点训练4若θ是第二象限角,则
sin (cosθ)
cos (sinθ)
0.(填“>”“<”或“=”)
考向4 利用三角函数线解三角不等式
【例5】(1)已知点P (sin α-cos α,tan α)在第一象限,且α∈[0,2π],则角α的取值范围是( ) A.(π2,3π
4)∪(π,5π
4) B.(π4,π2)∪(π,5π
4) C.(π2,3π
4)∪(5π4,3π
2)
D.(π4,π
2)∪(3π
4,π)
(2)函数y=sinx -√3
2
的定义域为
.
解题心得三角函数线是三角函数的几何表示,正弦线、正切线的方向同y 轴一致,向上为正,向下为负;余弦线的方向同x 轴一致,向右为正,向左为负.
对点训练5函数y=lg(3-4sin 2x )的定义域为 .
考
点
扇形弧长、面积公式的应用
【例6】(1)如图2,在半圆O中作出两个扇形OAB和OCD,用扇环形ABDC(图中阴影部分)制作折叠扇的扇面.记扇环形ABDC的面积为S1,扇形OAB的面积为S2,当S1与S2的比值
为√5-1
2
时,扇面的形状较为美观,则此时扇形OCD的半径与半圆O的半径之比为()
A.√5+1
4B.√5-1
2
C.3-√5
D.√5-2
(2)已知扇形的周长为c,则当扇形的圆心角(正角)α=弧度时,其面积最大,最大面积是.
解题心得求扇形面积的最值常用的思想方法是转化法.一般从扇形面积公式出发,在弧度制下先使问题转化为关于α的函数,再利用基本不等式或二次函数求最值.
对点训练6(1)一个半径为r的扇形,若它的周长等于弧所在的半圆的弧长,则扇形的圆心角(正角)是弧度,扇形的面积是.
(2)已知在半径为10的圆O中,弦AB的长为10,则弦AB所对的圆心角α的大小为,α所在的扇形弧长l为,弧所在的弓形的面积S为.
1.在三角函数定义中,点P可取终边上任意一点,但|OP|=r一定是正值.
2.在解简单的三角不等式时,利用三角函数线是一个小技巧.
3.三角函数也是一种函数,它可以看成是从一个角(弧度制)的集合到一个比
值的集合的函数.
1.相等的角终边一定相同,但终边相同的角却不一定相等.
2.在同一个式子中,不能同时出现角度制与弧度制.
3.已知三角函数值的符号求角的终边位置时,不要遗忘终边在坐标轴上的情
况.
4.三角函数线的长度表示三角函数值的绝对值,方向表示三角函数值的正负.
【例】如图,在平面直角坐标系xOy中,某单位圆的圆心的初始位置在点(0,1)处,此时圆上一点P的位置在点(0,0)处,圆在x轴上沿正向滚动,当圆滚动到圆心位于(2,1)时,OP
⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标为.
已知条件:滚动后的圆心坐标为(2,1)和圆的半径长为1;(2)隐含条件:点P转动的弧长是2;(3)等量关系:P转动的弧长等于弧长所对的圆心角;(4)解题思路:求点P坐标可借助已知坐标(2,1),通过构造直角三角形,并在直角三角形中利用三角函数定义求出.
-sin 2,1-cos 2)
,作CQ∥x轴,PQ⊥CQ,Q为垂足.
根据题意得劣弧DP
⏜的长为2,故∠DCP=2.
则在△PCQ中,∠PCQ=2-π
2,|CQ|=cos(2-π
2
)=sin2,|PQ|=sin(2-π
2
)=-cos2,所以点P的横坐
标为2-|CQ|=2-sin2,点P的纵坐标为1+|PQ|=1-cos2,所以点P的坐标为(2-sin2,1-cos2).
故OP
⃗⃗⃗⃗⃗ =(2-sin2,1-cos2).
反思提升1.解决本例应抓住在旋转过程中角的变化,结合弧长公式、解直角三角形等知识来解决.
2.审题的关键是在明确已知条件的基础上,寻找出隐含条件;解题的关键是依据已知量寻求未知量,通过未知量的转化探索解题突破口.
第四章三角函数、解三角形
4.1任意角、弧度制及
任意角的三角函数
必备知识·预案自诊
知识梳理
1.(1)端点 (2)正角 负角 零角 象限角
2.(1)半径长 (2)|α|r
3.MP OM AT
考点自诊
1.(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√
2.B 由题意知l=|α|r ,∴|α|=l r
=1812
=32
.
3.A ∵sin2>0,cos3<0,tan4>0,
∴sin2cos3tan4<0.
4.A 由题意知sin α=-4
5,cos α=3
5,所以sin α-cos α=-4
5−3
5=-7
5.故选A . 5.1 由题意,α+π6
为第二象限角.tan α+
π6
=√3-1=-√3,所以α+π
6
=2π
3
,此时α=π2
,故sin α=1.
关键能力·学案突破
例1(1)D (2)α|α=π
3+k π,k ∈Z (3)2π7,
20π21,34π
21
(1)∵-1≤cos α≤1,且sin(cos α)>0,∴0<cos α≤1,又sin α<0,
∴角α为第四象限角,故选D .
(2)∵在(0,2π)内终边在直线y=√3x 上的角是π3,
4π3,与角π3,4π
3
终边相同的角分别为2k π+π
3,2k π+4π
3=(2k+1)π+π
3,k ∈Z ,∴终边在直线y=√3x 上的角的集合为{α|α=π
3+kπ,k ∈Z}.
(3)∵θ=6π
7+2k π(k ∈Z ), ∴θ
3
=
2π7+2kπ3
(k ∈Z ). 依题意,0≤2π7+2kπ3<2π,k ∈Z ,解得-37≤k<187,k ∈Z .∴k=0,1,2,即在[0,2π)内终边与θ
3相同的角为
2π7,20π21,34π21
. 对点训练1(1)B (2)C (3)第一或第二象限或y 轴的非负半轴 (1)由于M 中,x=k 2·180°+45°=k·90°+45°=(2k+1)45°,2k+1是奇数;而N
中,x=k
4·180°+45°=k·45°+45°=(k+1)45°,k+1是整数,因此必有M ⊆N.
(2)由sin θ>0,tan θ<0,知θ为第二象限角,∴2k π+π2
<θ<2k π+π(k ∈Z ), ∴k π+π4<θ2<k π+π
2(k ∈Z ), ∴θ
2为第一或第三象限角.
(3)由α是第三象限角,得π+2k π<α<3π
+2k π(k ∈Z ),则2π+4k π<2α<3π+4k π(k ∈Z ).故角2α的终边在第一或第二象限或y 轴的非负半轴.
例2(1)D (2)-2或-4 (1)设向量OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 与x 轴的夹角为α,向量OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与x 轴的夹角为β,点Q 的坐标为(x ,y ).由三角函数的定义得tan α=√3
3,所以α=π6.由题意β=π2+π
6,|OP|=2,所以sin β=sin
π2+π
6
=y
2,得y=√3;cos β=cos
π2+π
6
=x
2,得x=-1.故选D .
(2)设α终边上任意一点为P (-4a ,3a ),r=|5a|.当a>0时,r=5a ,sin α=3
5,cos α=-4
5,tan α=-3
4, 5sin α+5cos α+4tan α=3-4-3=-4;
当a<0时,r=-5a ,sin α=-3
5,cos α=4
5,tan α=-3
4,5sin α+5cos α+4tan α=-3+4-3=-2. 综上可知,5sin α+5cos α+4tan α=-4或5sin α+5cos α+4tan α=-2. 对点训练2A 由三角函数的定义知
cos α=3
5
,tan α=-4535
=-4
3,故cos αtan α=35×-
43
=-45
.
例30或±√2 由三角函数定义,cos α=2=
√2
6
m ,解得,m=0或m=±√2.故m 的值为0
或±√2. 对点训练3B
∵r=√64m 2
+9,∴cos α==-45
,∴4m 2
64m 2+9
=125,且m>0,∴m=1
2.
例4= 因为角α的终边落在直线y=-x 上,所以角α的终边位于第二或第四象限.当角α的终边位于第二象限时,sinα
|cosα|+|sinα|cosα
=sinα-cosα+sinα
cosα=0;当角α的终边位于第四象限
时,sinα
|cosα|+
|sinα|cosα
=sinα
cosα+-sinαcosα=0.所以sinα
|cosα|+
|sinα|
cosα
=0. 对点训练4< ∵θ是第二象限角,
∴-1<cos θ<0,0<sin θ<1. ∴sin(cos θ)<0,cos(sin θ)>0.
∴sin (cosθ)
cos (sinθ)<0.
例5(1)B (2)[2kπ+π
,2kπ+
2π] (k ∈Z ) (1)因为点P 在第一象限,
所以{sinα-cosα>0,tanα>0,即{sinα>cosα,
tanα>0.
由tan α>0可知角α为第一或第三象限角,画出单位圆.
又sin α>cos α,用正弦线、余弦线得满足条件的角α的终边在如图所示的阴影部分(不包括边界),即
π4,π
2
∪(π,
5π
4
).
(2)由题意,得sin x ≥√3
2,作直线y=√3
2交单位圆于A ,B 两点,连接OA ,OB ,则OA 与OB 围成的区域(图中阴影部分)即为角x 的终边的范围,故满足条件的角x 的集合为{x |2kπ+
π3≤x ≤2k π+2π
3
,k ∈Z}. 对点训练5k π-π
3,k π+
π3
(k ∈Z )
∵3-4sin 2x>0,∴sin 2x<3
4. ∴-√3
2<sin x<√3
2.
利用三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影部分所示),
故x ∈(kπ-π
3,kπ+π
3)(k ∈Z ). 例6(1)B (2)2
c 216 (1)设∠AOB=θ,半圆O 的半径为r ,扇形OCD 的半径为r 1,依题意,有
12θr 2-12θr 12
12
θr 2=√5-12,即r 2-r 12
r 2=√5-12,故r 12r 2=3-√52=6-2√54=√5-122
,得r 1r =
√5-1
2
.
(2)设扇形的半径为r ,弧长为l ,面积为S. (方法1)∵c=2r+l ,∴r=c -l
2(l<c ), ∴S=1
2rl=1
2×c -l 2×l=-14
l-c
22+c 2
16,∴当l=c
2时,S max =c 2
16,r=c 4,此时α=l
r =2.
(方法
2)S=12rl=14(c-l )l ≤1
4c -l+l 2
2=c 2
16,当且仅当c-l=l ,即l=c
2时等号成立,此时
S max =c 2
16,r=c
4,α=l
r =2.
对点训练6(1)π-2 12(π-2)r 2 (2)π
3 10π
3
50
π3−√3
2
(1)设扇形的圆心角为θ,则扇形的
周长是2r+r θ.
由题意知2r+r θ=πr ,∴θ=π-2. ∴扇形的面积S=12r 2θ=1
2(π-2)r 2. (2)在△AOB 中,AB=OA=OB=10, 故△AOB 为等边三角形.
因此弦AB 所对的圆心角α的大小为π3.故α所在的扇形弧长为l=π
3×10=
10π
3
,S 弓=S 扇-S △AOB
=1
2×
10π3×10-12×102
×sin π3
=
503π-50√32=50π3−√3
2
.。