参数方程] · [基础] · [知识点+典型例题]

参数方程
知识讲解
一、参数
定义：在平面直角坐标系中，若曲线C 上的点
(,)P x y 满足()
()
x f t y f t =⎧⎨=⎩，该方程叫曲线C 的参数方程，变量t 是参变数，简称参数．
二、参数方程与普通方程的互化
1.参数方程化为普通方程
代入消元或加减消元消去参数化为普通方程，不要忘了参数的范围！
2.普通方程化为参数方程
注：普通方程化为参数方程需要引入参数，选择的参数不同，所得的参数方程也不一样．
三、常见参数方程
1.直线l 的常用参数方程为：cos sin x m t y n t θ
θ=+⎧⎨=+⎩
，t ∈R 为参数，其中θ为直线的倾斜角，
(,)m n 为直线上一点．
2.圆2
2
2
()()x a y b r -+-=的常用参数方程为：cos ,[0,2π)sin x a r y b r θ
θθ=+⎧∈⎨
=+⎩
为参数； 3.椭圆22
221x y a b +=的常用参数方程为：cos ,[0,2π)sin x a y b θθθ=⎧∈⎨
=⎩
为参数． 【引申】：参数方程和之前我们讲过的还原法有一个相同的“易错点”，就是一定要注意：新引进的参数的范围！
【重点】：参数方程最主要的是抓住到底“参数是谁”！
典型例题
一．选择题（共11小题）
1．（2018•朝阳区一模）直线l的参数方程为（t为参数），则l的倾斜角大小为（）
A．B．C．D．
2．（2018•大兴区一模）直线（t为参数）与曲线（θ为参数）相交的弦长为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2018•奉贤区二模）已知曲线的参数方程为（0≤t≤5），则曲线为（）
A．线段B．双曲线的一支C．圆弧D．射线
4．（2017秋•天心区校级期末）直线的参数方程为（t为参数），M0（﹣1，2）和M（x，y）是该直线上的定点和动点，则t的几何意义是（）A．有向线段M0M的数量B．有向线段MM0的数量
C．|M0M|D．以上都不是
5．（2018春•郑州期末）若P（2，﹣1）为圆（θ为参数且0≤θ＜2π）的弦的中点，则该弦所在的直线方程为（）
A．x﹣y﹣3=0 B．x+2y=5 C．x+y﹣1=0 D．2x﹣y﹣5=0
6．（2017秋•天心区校级期末）已知曲线（θ为参数，0≤θ≤π）上一点P，原点为O，直线PO的倾斜角为，则P的坐标是（）
A．（3，4） B．， C．（﹣3，﹣4）D．，
7．（2017秋•东湖区校级期末）曲线C1：（t为参数），曲线C2：（θ为参数），若C1，C2交于A、B两点，则弦长|AB|为（）
A．B． C．D．4
8．（2017秋•天心区校级期末）已知椭圆的参数方程为（θ为参数），则它的离心率为（）
A．B．C．D．
9．（2018春•海珠区期末）若曲线C的参数方程为（t为参数），则下列说法正确的是（）
A．曲线C是直线且过点（﹣1，2） B．曲线C是直线且斜率为
C．曲线C是圆且圆心为（﹣1，2） D．曲线C是圆且半径为|t|
10．（2018春•青山区校级期末）参数方程（t为参数）表示什么曲线（）
A．一个圆B．一个半圆C．一条射线D．一条直线
11．（2018春•桑珠孜区校级期中）点（1，2）在圆的（）A．内部B．外部C．圆上D．与θ的值有关
二．填空题（共5小题）
12．（2017•松江区二模）直线（t为参数）对应的普通方程是．
13．（2017•闵行区校级模拟）已知直线l的参数方程是（t为参数），则它的普通方程是．
14．（2017•徐汇区二模）参数方程为（t为参数）的曲线的焦点坐标为．
15．（2016春•淮安校级期末）参数方程（t为参数）化为普通方程为．
16．（2016春•无锡期末）直线（t为参数）的倾斜角为．
三．解答题（共4小题）
17．（2012•天山区校级模拟）已知在直角坐标系xOy内，直线l的参数方程为（t为参数）．以Ox为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为
．
（1）写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；
（2）判断直线l和圆C的位置关系．
18．求椭圆（θ为参数）的左焦点坐标．
19．（1）在直角坐标系中，曲线C1：（其中θ为参数），直线C2：（其中t为参数）．点F（﹣4，0），曲线C1与直线C2相交于点A、B，求|FA|•|FB|的值．
（2）在极坐标系中，直线l：ρcos（θ﹣）=2，与以点M（4，π）为圆心，以5为半径的圆相交于P、Q两点，求|PQ|的值．
20．已知极坐标的极点在平面直角坐标的原点O处，极轴与x轴的正半轴重合，且长度单位相同，若点P为曲线C：（θ为参数）上的动点，直线l 的极坐标方程为ρcos（θ+）=m（m＞2）
（1）将曲线C的参数方程化为普通方程，直线l的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）若曲线C上有且只有一点P到直线l的距离为2，求实数m的值和点P的坐标．。