2024年山东省烟台市福山区九年级中考一模数学试题(含答案)

2024年初四数学诊断性测试
注意事项：
1.本试卷共8页，共120分；考试时间120分钟.考试结束后，请将答题卡上交.
2.答题前，务必用0.5毫米黑色的签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号填写在试卷和答题卡规定的位置上.
3.选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.
4.非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带.
5.写在试卷上或答题卡指定区域外的答案无效.
一、选择题(本题共10个小题，每小题3分，满分30分)每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的.
1.下列说法中，不正确的是
互为倒数
A. 3 与-3 互为相反数
B. -3与1
3
C. -1的立方根是一】
D. —1的绝对值是1
2.下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的有
A. 4个
B. 3个
C. 2个
D. 1个
3.如图所示的这个几何体，下列图形不是这个几何体的三视图的是
4.下列运算结果正确的是
A.m⁶+m³=m²
B.−m(n−m)=−mn−m²
C.−(3m)²=−9m²
D.(m−1)²=m²−2m−1
5.党的二十大报告指出，我国建成世界上规模最大的教育体系、社会保障体系、医疗卫生体系，教育普及水平实现历史性跨越，基本养老保险覆盖十亿四千万人，基本医疗保险参保率稳定在百分之九十
五.将数据十亿四千万用科学记数法表示为
A.104×10⁷
B.10.4×10⁸
C.1.04×10⁹
D.0.104×10¹⁰
6. 已知数轴上的点A, B分别表示数a, b, 其中-1<a<0,0<b<1. 若a×b=c, 数c在数轴上用点C表示，则点A，B，C在数轴上的位置可能是
7.某中学开展“读书节活动”，该中学某语文老师随机抽样调查了本班10名学生平均每周的课外阅读时间，统计如表：
每周课外阅读时间(小时)2468
学生数(人)2341
下列说法错误的是
A. 众数是1
B. 平均数是4.8
C. 样本容量是10
D. 中位数是5
8. 如图, 四边形ABCD 内接于⊙O,BC∥AD,AC⊥BD.若.∠AOD=120∘,AD=3,则∠CAO的度数与BC的长分别为
A. 15° , 1
B. 15° , 2
C. 10° , 1
D.10∘,2
9.如图, 将矩形ABCD 折叠, 使点 D落在AB上点D'处, 折痕为AE; 再次折叠, 使点C落在ED'上点C'处, 连接FC' 并延长交 AE 于点 G. 若AB=8, AD=5. 则FG长为
A.52
B.29
C.20
D. 4
3
10.如图是抛物线.y=ax²+bx+c(a≠0)的图象，其对称轴为x=-1，且该图象与x轴的一个交点在
点(-3,0)和(-4,0)之间, 并经过点(-2.3, y₁) 与点(1.5, y₂), 则下列结论:①abc>0;②3a+c>0:③y₁>y₂;
④对于任意实数m, 都有am²+bm<a+b.
其中正确结论有
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，满分18分)
11. 在函数中，自变量x的取值范围是 .
12.如图, 五边形ABCDE是正五边形, 若l₁∥l₂ , 则∠1-∠2= .
13. 如图, 在Rt△ABC中, ∠ACB=90°,∠B=30°, AB=8。

以点C为圆心、以AC的长为半径画弧，分别交AB，BC于点 D，E，则图中阴影部分的面积为 .
14. 如图, 平行四边形OABC的顶点A, B在函数y=6
(x⟩0)的图象上，边 BC与y轴交于点D, AE⊥x
x
轴于点E. 若△AOB的面积为8, 则.AE
的值为 .
OD
15. 如图, 在四边形 ABCD 中, ∠B=∠D=90°,∠DAB=140°, M, N 分别是边 DC,BC 上的动点, 当△AMN的周长最小时, ∠MAN= .
16.如图，礼盒的上下底面为全等的正六边形，其主视图与左视图均由矩形构成，主视图中大矩形边长如图所示，左视图中包含两全等的矩形，如果用彩色胶带如图包扎礼盒，所需胶带长度至少为厘米.
三、解答题(本大题共9个小题，满分72分)
17. (本题满分9分)
(1)先化简,再求值: ÷m2−2m+1
m2−m
,其中m=tan60°-1.
(2)解不等式组,<3(x+1)
5x+1
2
≤1,并将解集在数轴上表示出来.
18.(本题满分6分)
如图, AM∥BC , 且 AC 平分∠BAM。

(1) 用尺规作∠ABC的平分线 BD交 AM于 D,连接CD(保留
作图痕迹，不写作法)；
(2) 求证: (1) 中的四边形ABCD是菱形.
19.(本题满分6分)
某中学对1000名学生就“冰壶比赛规则”的了解程度进行了抽样调查(参与调查的同学只能选择其中一项)，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图表，请根据统计图表回答下列问题：
类别频数频率
不了解10m
了解很少160.32
基本了解b
很了解4n
合计a1
(1) 根据以上信息可知: a= , b= , m= , n= ;
(2)请补全条形统计图：
(3) 请估计该校1000名学生中“基本了解”的人数；
(4)若“很了解”的4名学生是三男一女，现从这4人中随机抽取两人去参加 “冰壶比赛规则”知识竞赛，请用画树状图或列表的方法说明，抽到两名学生均为男生和抽到一男一女的概率是否相同.
20.(本题满分7分)
如图，正比例函数y=kx(k≠0)与反比例函数y=m
(m≠0)的图象交于A、B两点，A的横坐标为-4，
x
B的纵坐标为-6.
(1)求反比例函数的表达式.
的解集.
(2)观察图象，直接写出不等式kx<m
x
(3)将直线AB向上平移n个单位，交双曲线于C、D两点，交坐标轴
于点E、F, 连接OD、BD, 若△OBD的面积为20,求直线CD的表达式.
21.(本题满分7分)
为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于
社区居民休憩.
如图，在侧面示意图中，遮阳篷AB长为5米，与水平面的夹角为16°,且靠墙端离地高BC为4米，
当太阳光线AD与地面CE的夹角为45°时，求阴影CD的长.(结果精确到0.1米；参考数据：
sin16°≈0.28,cos16°≈0.96,tan16°≈0.29)
22.(本题满分8分)
音乐节期间某店铺打算购进A，B两种文创饰品对游客销售.已知1400 元采购A种的件数是630元采购B种件数的2倍，A种的进价比 B种的进价每件多1元，两种饰品的售价均为每件15元；计划采购这两种饰品共600件，采购B种的件数不低于390件，不超过A种件数的4倍.
(1)求A，B饰品每件的进价分别为多少元?
(2)若采购这两种饰品只有一种情况可优惠，即一次性采购A种超过150件时，A种超过的部分按进价
打6折.设购进A种饰品x件，
①求x的取值范围；
②设计能让这次采购的饰品获利最大的方案，并求出最大利润.
23.(本题满分8分)
如图, AB 是⊙O的弦, C 为⊙O上一点,过点 C 作 AB 的垂线与AB 的延长线交于点 D,连接BO 并延长与⊙O交于点 E, 连接 EC, ∠ABE=2∠E.
(1) 求证: CD 是⊙O的切线:
,BD=1,求弦 AB 的长.
(2)若tan E=1
3
24.(本题满分10分)
如图①,在正方形ABCD中,点N、M分别在边BC、CD上,连结AM、AN、MN.∠MAN=45°,将△AMD绕点A 顺时针旋转90°, 点D与点B重合, 得到△ABE.易证: △ANM≌△ANE,从而得 DM+BN=MN.
【实践探究】
(1) 在图①条件下, 若CN=6, CM=8, 则正方形ABCD的边长是 .
(2)如图②,点M、N分别在边CD、AB上, 且BN=DM. 点E、F分别在BM、DN上,∠EAF=45°,连接EF, 猜想三条线段EF、BE、DF之间满足的数量关系, 并说明理由.
【拓展应用】
(3)如图③,在矩形ABCD中,AB=6,AD=8,点M、N分别在边DC、BC上,连结AM,AN, 已知∠MAN=45°, BN=2, 求DM的长.
25.(本题满分11分)
如图1，抛物线 y =−x²+bx 与x 轴交于点A ，与直线y=-x 交于点 y =−x B (4,−4),点 C (0,
−4)在y 轴上.点 P 从点 B 出发，沿线段BO 方向匀速运动，运动到点O 时停止.
(1)求抛物线 y =−x²+bx 的表达式；
(2) 当 BP =22时，请在图1中过点 P 作 PD ⊥OA 交抛物线于点 D, 连接PC, OD, 判断四边形OCPD 的形状，并说明理由；
(3)如图2，点P 从点 B 开始运动时，点Q 从点O 同时出发，以与点P 相同的速度沿x 轴正方向匀速运动，点P 停止运动时点Q 也停止运动.连接 BQ ，PC ，求 CP +BQ 的最小值.
2024年初四数学诊断性测试
参考答案及评分意见
本试题答案及评分意见，供阅卷评分使用。

考生若写出其它正确答案，可参照评分意见相应评分。

一、选择题(本题共10个小题，每小题3分，满分30分)
题号12345678910答案
B
D
B
C
C
B
A
A
C
C
二、填空题 (本大题共6个小题，每小题3分，满分18分)
11. x>-4; 12. 72° 13.43−43π 14. 3
8 15.100° 16.(1803+120)
三、解答题 (本大题共9个小题，满分72分)17. (本题满分9分)解：原式 =m +1−2m +1
÷
(m−1)2m (m−1)
=m−1
m +1×
m (m−1)(m−1)2
=m m +1.………………………………………………………………………………………3分当 m =tan60∘−1=3−1时,…………………4分原式 =3−13−1+1
=3−13
=
3−3
3
.……………………………………………………………………5分
(2)解:解不等式①得x<2…………………………………………………………………………………6分解不等式②得x≥-1…………………………………………………………………………………………7分在同一条数轴上表示不等式①②解集(略)……………………………………………………………………8分
∴原不等式组的解集为-1≤x<2………………………………………………………………………………9分
18.(本题满分6分)
解:(1)共有作图痕迹4个,……………………………共2分;
(2) ∵ AM∥BC,
∴∠DAC=∠ACB,……………………………………………3分AC 平分∠BAM ,
∠BAC=∠DAC,……………………………………………4分∠BAC =∠ACB,
∴AB=BC,………………………………………………………………………………………………5分
同理可得 AB=AD ,
∴四边形ABCD是菱形…………………………………………………………………………………6分
19.(本题满分6分)
解: (1)a=16÷0.32=50,
b=50-(10+16+4)=20,
m=10÷50=0.2,
n=4÷50=0.08;…………………………………………………………………………………2分
(2)补全条形图如下：
…………………………………………………………3分
(3)估计该校1000名初中学生中“基本了解”的人数约有1000×20
50
=400 (人),
答案:400;…………………………………………………………………………………………4分
(4)记4名学生中3名男生分别为A₁, A₂, A₃, 一名女生为B, 列表如下:
A₁A₂A₃B
A₁(A₁, A₂)(A₁, A₃)(A₁, B)
A₂(A₂, A₁)(A₂, A₃)(A₂, B)
A₃(A₃, A₁)(A₃, A₂)(A₃, B)
B(B, A₁)(B, A₂)(B, A₃)
从4人中任取两人的所有机会均等结果共有12种，抽到两名学生均为男生包含：A₁A₂、A₁A₃、A₂A₁、A₂A₃、A₃A₁、A₃A₂共6种等可能结果.…………………………………………………………………………5分
∴P(抽到两名学生均为男生)=6
12=1
2
,
抽到一男一女包含: A₁B、A₂B、A₃B、BA₁、BA₂、BA₃共六种等可能结果.
∴P (抽到一男一女)=6
12=1
2
,
故抽到两名学生均为男生和抽到一男一女的概率相同.…………………………………………………6分20.(本题满分7分)
解: (1) ∵正比例函数y=kx(k≠0)与反比例函数y=m
x
(m≠x)的图象交于A、B两点，∴A、
B关于原点对称，
∵A的横坐标为-4, B的纵坐标为-6,
∴A(-4,6),B(4,-6),………………………………………………………………………………………1分∵点A(-4, 6) 在反比例函数 y =m x (m ≠0)的图象上，
∴6=m −4,
∴m=-24,
∴反比例函数的表达式为 y =−24x ; ……………………………2分
(2)观察函数图象,可知:当-4<x<0或x>4时,正比例函数 y =kx 的图象在反比例函数 y =m x (m ≠x )的图象下方，
∴不等式 kx <m x 的解集为-4<x<0或x>4;……………………………………………………4分
(3) 方法1: 连接BE, 作BG⊥y 轴于点G,
∵A(-4, 6) 在直线y=kx 上,
∴6=-4k, 解得 k =−32,
∴直线AB 的表达式为 y =−32x,…………………………………5分
∵CD∥AB,
∴S OBD =S OBE =20,
∵B(4, -6),
∴BG=4,
∴S OBE =12OE ⋅BG =20,
∴OE=10, ·6分
. E(0, 10),
∴直线CD 为 y =−32x +10. ……7分
方法2:
连接BF, 作BH⊥x 轴于H,
∵A(-4, 6) 在直线y=kx 上,
∴k =−32,
∴直线AB 的表达式为 y =−32x,…………………………………5分
∵CD∥AB,
∴S OBD =S OBF =20,
∵B(4, -6),
∴12OF ⋅6=20,
∴OF =
203,∴
0, …………………………………6分
设直线CD 的表达式为 y =−32x +b,
代入F点的坐标得，−3
2×20
3
+b=0
解得b=10,
∴直线CD为y=−3
2
x+10. ………………………………………………………7分21.(本题满分 7分)
解:过A作AT⊥BC于T,AK⊥CE于K,如图:………………………1分
在Rt△ABT中,
BT=AB⋅sin∠BAT=5×sin16°≈1.4(米),………………………2分
AT=AB·cos∠BAT=5×cos16°≈4.8(米),……………………………3分
∵∠ATC=∠C=∠CKA=90° ,
∴四边形ATCK 是矩形,
∴CK=AT=4.8米,AK=CT=BC-BT=4-1.4=2.6(米),……………5分在Rt△AKD
中,
∵∠ADK=45° ,
∴DK=AK=2.6米,………………………………………………………6分
∴CD=CK-DK=4.8-2.6=2.2 (米),
∴阴影CD的长约为2.2米.……………………………………………7分
22. (本题满分8分)
解：(1)设A种饰品每件的进价为a元，则B种饰品每件的进价为(a-1)元，
由题意得：1400
a =630
a−1
×2,……1分
解得: a=10,
经检验，a=10是所列方程的解，且符合题意，
a-1=9,………………………………………………………………………………………………………2分答：A种饰品每件的进价为10元，则B种饰品每件的进价为9元；………………………………………3分
(2) ①由题意得: 600−x≥390 600−x≤4x,
解得: 120≤x≤210,
∴购进A种饰品件数x的取值范围为:120≤x≤210,且x为整数;………………………………………5分②设采购A 种饰品x件时的总利润为w元，
当120≤x≤150时, w=15×600-10x-9(600-x) =-x+3600,
∵--1<0,∴w随x的增大而减小,
∴当x=120时,w有最大值是:-120+3600=3480,……………………………………………………6分
当150<x≤210时, w=15×600-[10×150+10×60%(x-150)]-9(600-x) =3x+3000,
∵3>0,
∴w随x的增大而增大，
∴当x=210时,w有最大值是:3×210+3000=3630,……………………………………………………7分
∵3630>3480,
∴w的最大值是3630, 此时600-x=600-210=390,
即当采购A种饰品210件，B种饰品390件，商铺获利最大，最大利润为3630元.…………………8分
23.(本题满分 8分)
(1)证明:连接OC,………………………………………………1分
∵OE=OC,
∴∠E=∠OCE.
∵∠BOC=∠E+∠OCE.
∴∠BOC=2∠E ,
∵∠ABE=2∠E,
∴∠BOC=∠ABE.
∴AB∥OC.…………………………………………………………2分
∴∠OCD+∠ADC= 180°.
∵AB⊥CD于点 D,
∴∠ADC=90°.
∴∠OCD=90°.
∴OC⊥CD.………………………………………………………3分
∴CD是⊙O的切线.………………………………………4分
(2) 方法不唯一。

方法1:连接AC,BC,…………………………………………5分
∵ BE 是⊙O的直径, ∴∠BCE=90°.
∴∠OBC+∠E=90°.
∵∠OCD=90°,
∴∠OCB+∠BCD=90°.
∵ OB=OC, ∴∠OCB=∠OBC.
∴∠E=∠BCD.………………………………………………………6分
.
∴tan∠BCD=tan∠E=1
3
=3.
∴在Rt△BCD中,CD=BD
tan∠BCD
∵∠A=∠E,
=9. …7分
∴在Rt△ACD中, AD=CD
tan A
∴ AB = AD--BD = 8 . …………………………………………8分
方法2:过点O作OH⊥AB于H,设⊙O的半径为r.………5分同方法 1 可得∠BCD=∠E , CD=3.
∵OH⊥AB,
∴∠OHD=90°=∠OCD=∠ADC.
∴四边形OHDC是矩形.…………………………………………6分
∴ OH=CD=3 , HD=OC=r,
∴ HB = HD - BD = r - 1 .
∵Rt△OHB中,OH²+HB²=OB²,
∴3²+(r−1)²=,².解得:r=5.………7分
∴ HB = 4 .
∴由垂径定理,AB=2HB=8.…………………………………8分
24.(1)12…… ………………………………2分
解法提示：∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB=BC=CD=AD,∠BAD=∠ABC=∠C=∠D=90°.
由旋转得△ABE≌△ADM,
∴AE=AM,BE=DM,∠ABE=∠D=90°,∠EAB=∠MAD,
∴∠ABE+∠ABC=180°,
∴E,B,N在同一条直线上.
∵∠MAN=45°,∠BAD=90°,
∴∠BAN+∠MAD=45°,
∴∠BAN+∠EAB=45°,
∴∠EAN=45°,
∴∠EAN=∠MAN.
在△ANM与△ANE中,
∴△ANM≌△ANE,
∴MN=EN.
∵EN=BE+BN=DM+BN,
∴MN=DM+BN,
∴MN+CM+CN=DM+BN+CM+CN=CD+BC=2BC.
在Rt△CMN中, 由勾股定理得MN=CN2+CM2=62+82=10
∴10+8+6=2BC.
∴BC=12.
(2) 三条线段EF，BE，DF 之间满足的数量关系为BE²+DF²=EF².……………………………3分理由如下：
如图(1),过点D作DP⊥DF,且DP=BE,连接PF,AP,……………………………4分则
∠PDA+∠ADF=90°=∠ADF+∠NDM,
∴∠PDA=∠NDM.
∵四边形 ABCD 是正方形,
∴BN∥DM,
又∵BN=DM,
∴四边形BNDM 是平行四边形，
∴∠EBA=∠NDM,
∴∠PDA=∠EBA.
在△APD 与△AEB 中, PD =EB,
∠PDA =∠EBA,AD =AB,
∴△APD≌△AEB,
∴AP=AE,∠PAD=∠EAB.
∵∠EAP=∠EAD+∠PAD=∠EAD+∠EAB=∠BAD=90°, ∠EAF=45°,
∴∠PAF =45°=∠EAF.
在△APF 和△AEF 中, AP =AE,
∠PAF =∠EAF,AF =AF,
∴△APF≌△AEF,
∴EF=FP…………………5分
在 Rt△PDF 中, 由勾股定理得 PD²+DF²=FP²,
∴BE²+DF²=EF².…………………………………………………………………………………6分
(3)如图(2), 把矩形ABCD 补成正方形 AEFD, 延长AN 交 EF 于 G, 连接GM, 则AE=EF=DF=AD=8.∵四边形ABCD 是矩形,
∴BN∥EG,
∴△ABN∽△AEG,
∴BNAB EG
AE =68, ∴EG =43BN =83, ·7分
∴FG =EF−EG =163.…… ··8分
设 DM=x, 则 FM=DF-DM=8-x.
∵四边形AEFD 是正方形, ∠GAM=45°,
∴由(1)中证明知, GM =EG +DM =83+x.………………9分
在 Rt△GMF 中, 由勾股定理得 FM²+FG²=GM²,
即 (8−x )2+=+x 2,
解得x=4,
∴DM 的长为4.…………………………………………………………………10分
25. (本题满分 11分)
解: (1)∵抛物线 y =−x²+bx 过点 B (4, - 4),
∴--16+4b=-4,
∴b=3,
∴y =−x²+3x.
答：抛物线的表达式为 y =−x²+3x.………………………………………………………………3分
(2)四边形 OCPD 是平行四边形,理由如下:
如图1, 作PD⊥OA 交x 轴于点H, 连接PC 、OD,
∵点 P 在y=-x 上,
∴OH=PH, ∠POH=45° ,
连接BC,……………………………………………………………4分
∵OC=BC=4,
∴OB =42.
∴BP =22,
∴OP =OB−BP =22,
∴OH =PH =22OP =2
2×22=2,
当xD=2时,DH=yD=-4+3×2=2,
∴PD=DH+PH=2+2=4,
∵C(0, -4),
∴OC=4,
∴PD=OC,…………………………………………………………5分
∵OC⊥x 轴, PD⊥x 轴,
∴PD∥OC,…………………………………………………………6分
∴四边形OCPD 是平行四边形.……………………………………………………………………………7分
(3) 如图2, 由题意得, BP=OQ, 连接BC,
在OA 上方作△OMQ,使得∠MOQ=45°,OM=BC,…………8分
∵OC=BC=4, BC⊥OC,
∴∠CBP=45° ,
∴∠CBP=∠MOQ,
∵BP=OQ, ∠CBP=∠MOQ, BC=OM,
∴△CBP≌△MOQ (SAS),
∴CP=MQ,……………………………………………………9分
∴CP+BQ=MQ+BQ≥MB(当M, Q, B 三点共线时最短),
∴CP+BQ 的最小值为MB,…………………………………………10分
∵∠MOB=∠MOQ+∠BOQ=45°+45° =90°,
∴MB =OM 2+OB 2=42+(42)2=43
即CP+BQ的最小值为43.
答: CP+BQ的最小值为43.………………………………………11分。