2019届北京市房山区高三上学期期末考试数学文试卷(word版)

房山区2018-2019学年度第一学期期末检测试卷
高三数学（文科）
本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.已知集合，，若,则实数的取值可以为（）
A. B. C. 1 D. 2
【答案】A
2.下列函数中，既是奇函数又在上单调递增的是
A. B. C. D.
【答案】A
3.已知复数在复平面内对应的点分别为，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
4.执行如图所示的程序框图，输出的值为（）
A. 15
B. 37
C. 57
D. 120
【答案】B
5.若满足则的最小值等于
A. B. C. D.
【答案】B
6.设，则“”是“”的
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件【答案】C
7.改革开放四十年以来，北京市居民生活发生了翻天覆地的变化.随着经济快速增长、居民收入稳步提升，消费结构逐步优化升级，生活品质显著增强，美好生活蓝图正在快速构建.北京市城镇居民人均消费支出从1998年的7 500元增长到2017年的40 000元.1998年与2017年北京市城镇居民消费结构对比如下图所示：
1998年北京市城镇居民消费结构 2017年北京市城镇居民消费结构
则下列叙述中不正确
．．．的是（）
A. 2017年北京市城镇居民食品支出占比．．同1998年相比大幅度降低
B. 2017年北京市城镇居民人均教育文化娱乐类支出同1998年相比有所减少
C. 2017年北京市城镇居民医疗保健支出占比．．同1998年相比提高约
D. 2017年北京市城镇居民人均交通和通信类支出突破 5 000元，大约是1998年的14倍
【答案】B
【
8.为数列的前项和,其中表示正整数的所有因数中最大的奇数，例如：的因数有，则
；的因数有，则.那么
A. B. C. D.
【答案】C
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

9.双曲线的一个焦点坐标为，则实数___.
【答案】；
10.已知向量，则___；与夹角的大小为___.
【答案】(1). (2). ；
11.在平面直角坐标系中，角的终边过点，则___；将射线（为坐标原点）按逆时针方向
旋转后得到角的终边，则___.
【答案】(1). (2). ；
12.如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则此三棱锥的最长的棱长
等于___.
【答案】3；
13.能够说明“若在上是单调函数，则的值域为”为假命题的一个函数是___．
【答案】，,…
14.设函数.①若，则的极小值为___；②若存在使得方程无实根，则的取值范围是___．
【答案】(1). (2).
三、解答题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

15.已知等比数列满足公比，前项和. 等差数列满足，.
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）设是的前项和，求的最大值.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）
【解析】
【分析】
（Ⅰ）利用等比数列前项和公式可解得，根据可得结果；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，结合
可求出的通项公式，求出，利用二次函数的性质可得结果.
【详解】（Ⅰ）由公比得
解得，
所以的通项公式为
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
设等差数列的公差为
则解得
所以当或时取到最大值12
【点睛】本题考查等比数列、等差数列的性质，关键是掌握等比数列、等差数列的通项公式，属于基础题．
16.在锐角三角形中，.
（Ⅰ）求的大小；
（Ⅱ）若，求△的面积.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由正弦定理化简已知可得，可求，结合A的范围可得结果；（Ⅱ）由余弦定理可解得的值，利用三角形的面积公式即可计算得解．
【详解】（Ⅰ）由正弦定理
得，整理得，
因为为锐角三角形内角
所以
（Ⅱ）余弦定理
得
整理得
解得，（舍）
所以
【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算
能力和转化思想，属于基础题．
17.为节能环保，推进新能源汽车推广和应用，对购买纯电动汽车的用户进行财政补贴. 某地补贴政策如下（表示纯电续航里程）：
有三个纯电动汽车4s店分别销售不同品牌的纯电动汽车，在一个月内它们的销售情况如下：（每位客户只能购买一辆纯电动汽车）
（Ⅰ）从上述购买纯电动汽车的客户中随机选一人，求此人购买的是店纯电动汽车且享受补贴不低于 3.5万元的概率；
（Ⅱ）从购买店纯电动汽车的客户中按分层抽样的方法随机选6人，再从这6人中随机选2人，进行使用满意度的调查，求这两人享受补贴恰好相同的概率；
（Ⅲ）分别用表示购买店和店纯电动汽车客户享受补贴的平均值，比较的大小.（只需写出结论）
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由题意可知，购买纯电动汽车的客户共70人，此人购买的是店纯电动汽车且享受补贴不低于 3.5万元的结果共16个，由此能求出结果；（Ⅱ）按分层抽样的方法任选6人，购买三种型号纯电动汽车的人
数分别为1，3，2，用列法列出基本事件总数，这两人享受补贴恰好相同包含的基本事件个数为4，由此能结果；（Ⅲ）结合表格可知．
【详解】（Ⅰ）由题意可知，从三个纯电动汽车店购买纯电动汽车的客户共70人，购买型号Ⅰ，型号Ⅱ，型号Ⅲ纯电动汽车享受补贴分别为 2.5万元，3.5万元，5万元.
从上述购买纯电动汽车的客户中任选一人共70个等可能的结果，此人购买的是店纯电动汽车且享受补贴
不低于 3.5万元（购买型号Ⅱ或型号Ⅲ）的结果共16个
所以所求概率为.
（Ⅱ）店客户中购买Ⅰ，型号Ⅱ，型号Ⅲ纯电动汽车的人数为，按分层抽样的方法任选6人，则6人中购买型号Ⅰ，型号Ⅱ，型号Ⅲ纯电动汽车的人数为，记做.从这6人中任选2人的结
果为
共15种，其中两人享受补贴恰好相同（即购买同型号汽车）的结果为共4种，所以所求概率为.
（Ⅲ）
【点睛】本题主要考查概率、平均数的求法，考查古典概型、分层抽样等基础知识，考查运算求解能力，
是基础题．
18.如图,在三棱柱中, ⊥底面，底面为等边三角形，,, ,分别为,
的中点.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求证：平面平面；
（Ⅲ）求四棱锥的体积.
【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析（Ⅲ）
【解析】
【分析】
（Ⅰ）取的中点，连结，，推导出四边形为平行四边形，从而，由此能证明平面；（Ⅱ）推导出，，从而平面，由，得平面，由
此能证明结论；（Ⅲ）设为中点，连结，则是棱锥的高，由此能求出四棱锥的体积．【详解】（Ⅰ）取中点，连接，
则且，
又且
所以四边形为平行四边形，所以
又平面，平面
所以平面.
（Ⅱ）因为底面，底面
所以
因为三角形为等边三角形，所以
又，，
所以平面
又，所以平面
而底面
所以平面平面
（Ⅲ）设为中点，连接
易证平面
所以为四棱锥的高
所以.
【点睛】本题考查线面平行、面面垂直的证明，考查四棱锥的体积的求法，证明线面平行中常见的方式有：1、利用三角形的中位线（相似三角形）；2、构造平行四边形得到面面平行；3、利用面面平行等；在垂直过程中应始终抓住线线垂直这条主线.
19.已知椭圆：过点，且一个焦点坐标为．
（Ⅰ）求椭圆的方程及离心率；
（Ⅱ）过点且与x轴不垂直的直线与椭圆C交于两点，若在线段上存在点，使得以MP, MQ为邻边的平行四边形是菱形，求m的取值范围.
【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由题意可得，，根据，即可求出，再椭圆方程可求，即可求出离心率；（Ⅱ）把直线方程与椭圆的方程联立求出与、两点的坐标有关的等量关系，进而求出的中点坐标，再利用菱形的对角线互相垂直即可求出的取值范围．
【详解】（Ⅰ）由椭圆过点，一个焦点坐标为，可知
所以
所以椭圆的方程为.
离心率
（Ⅱ）设，，
代入椭圆，得：
，所以，
所以中点的坐标为
因为以为邻边的平行四边形是菱形，所以
所以，即
因为，所以.
又点在线段上，所以.
综上，
【点睛】本题主要考查椭圆的方程及离心率的求法，直线与圆锥曲线的综合应用能力，韦达定理，斜率公
式，属于中档题.
20.已知函数
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）若对恒成立，求的取值范围；
（Ⅲ）证明：若存在零点，则在区间上仅有一个零点.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）见解析
【解析】
【分析】
（Ⅰ）求得时的导数，可得切线的斜率和切点，可得切线方程；（Ⅱ）若对恒成立，即为对恒成立，设，求得导数和单调性、极大值即最大值，可得的范围；（Ⅲ）若存在零点，即关于的方程有解，可得有解，由的单调性，即可得证．
【详解】（Ⅰ）当时，，
所以，
所以切线方程为
（Ⅱ）对恒成立
等价于，即恒成立
设，则
由解得
与在区间上的情况如下
增极大减
所以函数的单调增区间是，单调减区间是.
函数在处取得极大值（也是最大值）
所以，即的取值范围是
（Ⅲ）若函数存在零点，则关于的方程有解，
即方程有解，
由（Ⅱ）可知函数的单调增区间是，单调减区间是，
因为，所以当时，，
又因为当时，，
所以若方程有解，则在上仅有一个解，
即若存在零点，则在上仅有一个零点.
【点睛】本题考查导数的运用：求切线方程和单调性、极值和最值，考查恒成立问题，正确分离参数是关
键，也是常用的一种手段．通过分离参数可转化为或恒成立，即或即可，利用导数知识结合单调性求出或即得解.。