2020届高三数学一轮复习课时作业 (40)直线、平面垂直的判定与性质 理 新人教B版

课时作业(四十) [第40讲直线、平面垂直的判定与性质]
[时间：45分钟分值：100分]
基础热身
1．已知p：直线a与平面α内无数条直线垂直，q：直线a与平面α垂直．则p是q 的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．[2020·温州十校联考] 若m、n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则以下命题正确的是( )
A．若m∥α，n∥α，则m∥n
B．若m∥n，m⊥α，则n⊥α
C．若m∥β，α∥β，则m∥α
D．若α∩β＝m，m⊥n，则n⊥α
3．给定下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；
②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；
③垂直于同一直线的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．
其中，为真命题的是( )
A．①和② B．②和③ C．③和④ D．②和④
4．给出下列条件(其中l和a为直线，α为平面)：①l垂直于α内一凸五边形的两条边；②l垂直于α内三条不都平行的直线；③l垂直于α内的无数条直线；④l垂直于α内正六边形的三条边；⑤a⊥α，l⊥a.其中是l⊥α的充分条件的所有序号是________．能力提升
5．[2020·浙江卷] 下列命题中错误
．．的是( )
A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β
B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ
D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β
6．正方体ABCD－A′B′C′D′中，E为A′C′的中点，则直线CE垂直于( ) A．A′C′ B．BD C．A′D′ D．AA′
7．如图K40－1，已知△ABC为直角三角形，其中∠ACB＝90°，M为AB的中点，PM垂直于△ABC所在平面，那么( )
A．PA＝PB>PC
B．PA＝PB<PC
C．PA＝PB＝PC
D．PA≠PB≠PC
8．[2020·西安模拟] 在三棱柱ABC－A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D
是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
9．[2020·淮南一模] 给出命题：
(1)在空间里，垂直于同一平面的两个平面平行；
(2)设l，m是不同的直线，α是一个平面，若l⊥α，l∥m，则m⊥α；
(3)已知α，β表示两个不同平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的充要条件；
(4)a，b是两条异面直线，P为空间一点，过P总可以作一个平面与a，b之一垂直，与另一个平行．
其中正确命题个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
10．[2020·扬州模拟] 已知直线l，m，n，平面α，m⊂α，n⊂α，则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”之一)
11．已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，下面有三个命题：①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β.则真命题的个数为________．
12．如图K40－2所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M 是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)
图K40－2
13．a、b表示直线，α、β、γ表示平面．
①若α∩β＝a，b⊂α，a⊥b，则α⊥β；
②若a⊂α，a垂直于β内任意一条直线，则α⊥β；
③若α⊥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，则a⊥b；
④若a不垂直于平面α，则a不可能垂直于平面α内无数条直线；
⑤若a⊥α，b⊥β，a∥b，则α∥β.
上述五个命题中，正确命题的序号是________．
14．(10分)[2020·广州统考] 如图K40－3，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD＝2AD＝4，AB＝2DC＝2 5.
(1)求证：BD⊥平面PAD；
(2)求三棱锥A－PCD的体积．
15．(13分)如图K40－4，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F分别是A1B，A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C.求证：
(1)EF∥平面ABC；
(2)平面A1FD⊥平面BB1C1C.
难点突破
16．(12分)[2020·九江六校联考] 在如图K40－5所示的几何体中，AE⊥平面ABC，CD ∥AE，F是BE的中点，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，AE＝2CD＝2.
(1)求证：DF∥平面ABC；
(2)求证：DF⊥平面ABE；
(3)求三棱锥D－BCE的体积．
课时作业(四十)
【基础热身】
1．B [解析] 由线面垂直的定义，知q ⇒p ；反之，直线a 与平面α内无数条直线垂直，则直线a 与平面α不一定垂直，故选B.
2．B [解析] B 选项为直线与平面垂直的判定方法：若两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，则另一条直线也垂直于这个平面．
3．D [解析] 当两个平面相交时，一个平面内的两条直线可以平行于另一个平面，故①不对；由平面与平面垂直的判定可知②正确；空间中垂直于同一条直线的两条直线可以相交也可以异面，故③不对；若两个平面垂直，只有在一个平面内与它们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直，故④正确．
4．①②④ [解析] ①中凸五边形的任意两边所在直线相交；②中三条不都平行的直线中至少有两条是相交的；③中l 垂直于α内无数条直线，当这无数条直线平行时，不能说明l ⊥α；④正六边形三条边所在直线中总能有两条相交；⑤中，a ⊥α，l ⊥a 时，a ∥α或a ⊂α.
【能力提升】
5．D [解析] 若平面α⊥平面β，在平面α内与交线不相交的直线平行于平面β，故A 正确；B 中若α内存在直线垂直于平面β，则α⊥β，与题设矛盾，所以B 正确；由面面垂直的性质知选项C 正确．由A 正确可推出D 错误．
6．B [解析] 连接B ′D ′，
∵B ′D ′⊥A ′C ′，B ′D ′⊥CC ′，且A ′C ′∩CC ′＝C ′，
∴B ′D ′⊥平面CC ′E .而CE ⊂平面CC ′E ，∴B ′D ′⊥CE .
又∵BD ∥B ′D ′，∴BD ⊥CE .
7．C [解析] ∵M 为AB 的中点，△ACB 为直角三角形，∴BM ＝AM ＝CM .
又PM ⊥平面ABC ，∴Rt △PMB ≌Rt △PMA ≌Rt △PMC ，故PA ＝PB ＝PC .
8．C [解析] 如图，取BC 中点E ，连接DE 、AE ，依题意知三棱柱为正三棱柱，易得
AE ⊥平面BB 1C 1C ，故∠ADE 为AD 与平面BB 1C 1C 所成的角．设棱长为1，则AE ＝32，DE ＝12
，tan ∠ADE ＝AE DE ＝3212
＝3，∴∠ADE ＝60°.
9．B [解析] (1)错；(2)⊥β”的必要条件，命题错误；
(4)只有当异面直线a ，b 垂直时可以作出满足要求的平面，命题错误．
10．充分不必要 [解析] 若l ⊥α，则l 垂直于平面α内的任意直线，故l ⊥m 且l ⊥n ，但若l ⊥m 且l ⊥n ，不能得出l ⊥α.
11．2 [解析] 对于①，由直线l ⊥平面α，α∥β，得l ⊥β，又直线m ⊂平面β，故l ⊥m ，故①正确；对于②，由条件不一定得到l ∥m ，还有l 与m 垂直和异面的情况，故②错误；对于③，显然正确．故正确命题的个数为2.
12．DM ⊥PC (或BM ⊥PC 等) [解析] 连接AC ，则BD ⊥AC ，由PA ⊥底面ABCD ，可知BD ⊥PA ，
∴BD ⊥平面PAC ，则BD ⊥PC .
∴当DM ⊥PC (或BM ⊥PC )时，即有PC ⊥平面MBD ，
而PC ⊂平面PCD ，∴平面MBD ⊥平面PCD .
13．②⑤ [解析] 对①可举例，需b ⊥β才能推出α⊥β.对③可举反例说明，当γ不与α，β的交线垂直时，即可得到a ，b 不垂直；对④a 只需垂直于α内一条直线便可以垂直α内无数条与之平行的直线．只有②⑤是正确的．
14．[解答] (1)证明：在△ABD 中，
∵AD ＝2，BD ＝4，AB ＝25，∴AD 2＋BD 2＝AB 2.
∴AD ⊥BD .
又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，BD ⊂平面ABCD ，
∴BD ⊥平面PAD .
(2)过P 作PO ⊥AD 交AD 于O .
又平面PAD ⊥平面ABCD ，∴PO ⊥平面ABCD .
∵△PAD 是边长为2的等边三角形，∴PO ＝ 3.
由(1)知，AD ⊥BD ，在Rt △ABD 中，
斜边上的高为h ＝AD ·BD AB ＝455
. ∵AB ∥DC ，∴S △ACD ＝12CD ·h ＝12×5×455
＝2. ∴V A －PCD ＝V P －ACD ＝13S △ACD ·PO ＝13×2×3＝233.
15．[解答] 证明：(1)由E 、F 11EF ∥BC .
因为EF ⊄平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，
所以EF ∥平面ABC .
(2)由三棱柱ABC －A 1B 1C 1为直三棱柱知CC 1⊥平面A 1B 1C 1.
又A 1D ⊂平面A 1B 1C 1，故CC 1⊥A 1D .
又因为A 1D ⊥B 1C ，CC 1∩B 1C ＝C ，
CC 1、B 1C ⊂平面BB 1C 1C ，故A 1D ⊥平面BB 1C 1C ，
又A 1D ⊂平面A 1FD ，所以平面A 1FD ⊥平面BB 1C 1C .
【难点突破】
16．[解答] (1)证明：如下图，取AB 的中点M ，
连接FM ，CM ，
在△ABE 中，F ，M 分别是EB ，AB 的中点，
∴FM 綊12
AE . 又∵CD ∥AE ，CD ＝12
AE ，∴FM 綊CD ， ∴四边形FMCD 为平行四边形，
∴DF ∥CM .
∵CM ⊂平面ABC ，DF ⊄平面ABC ，
∴DF ∥平面ABC .
(2)证明：∵AC ＝BC ，M 为AB 的中点，∴CM ⊥AB . 又AE ⊥平面ABC ，CM ⊂平面ABC ，
∴CM ⊥AE .又AE ∩AB ＝A ，∴CM ⊥平面ABE . 由(1)得DF ∥CM ，∴DF ⊥平面ABE .
(3)∵CD ∥AE ，AE ⊥平面ABC ，
∴CD ⊥平面ABC ，∴CD ⊥AC ，CD ⊥BC ，
又∠ACB ＝90°，∴AC ⊥平面BCD .又由CD ∥AE 得 V 三棱锥D －BCE ＝V 三棱锥E －BCD ＝V 三棱锥A －BCD ，
∴V 三棱锥D －BCE ＝13S △BCD ·AC ＝13×12×1×1×1＝16
.。