2020年泉州市数学高二(下)期末教学质量检测试题含解析

2020年泉州市数学高二(下)期末教学质量检测试题
一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）
1．若非零向量a v ，b v 满足||a b v v |=|，向量2a b +v v 与b v 垂直，则a v 与b v 的夹角为（ ）
A ．150︒
B ．120︒
C ．60︒
D ．30°
【答案】B
【解析】
∵||||a b =r r ，且2a b +r r 与b r 垂直，∴(2)0a b b +⋅=v v v ，即220a b b ⋅+=v v v ， ∴2||2b a
b ⋅=-v v v ，∴2||12cos ,2b a b a b a b b b
-⋅===-⋅⋅v v v v v v v v v ，∴a r 与b r 的夹角为120︒． 故选B ．
2．我国古代数学名著《九章算术》对立体几何也有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥．现有一如图所示的“堑堵”即三棱柱111ABC A B C -，其中AC BC ⊥，若11AA AB ==，当“阳马”即四棱锥11B A ACC -体积最大时，“堑堵”即三棱柱111ABC A B C -的表面积为
A 21
B 31
C ．232
D ．332
【答案】C
【解析】 分析：由四棱锥11B A ACC -的体积是三棱柱体积的23
，知只要三棱柱体积最大，则四棱锥体积也最大，求出三棱柱的体积后用基本不等式求得最大值，及取得最大值时的条件，再求表面积．
详解：四棱锥11B A ACC -的体积是三棱柱体积的23
，11111122ABC A B C V AC BC AA AC BC -=⋅⋅=⋅222111()444AC BC AB ≤+==，当且仅当22AC BC ==时，取等号．
∴122222(1)12S =⨯
++⨯322+= 故选C ．
点睛：本题考查棱柱与棱锥的体积，考查用基本不等式求最值．解题关键是表示出三棱柱的体积．
3．已知非零向量a b r r ，满足2a b r r =，且b
a b ⊥r r r （–），则a r 与b r 的夹角为 A ．π6 B ．π3 C ．2π3 D ．5π6
【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学
素养．先由()a b b -⊥r r r 得出向量,a b r r 的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角．
【详解】
因为()a b b -⊥r r r ，所以2()a b b a b b -⋅=⋅-r r r r r r =0，所以2a b b ⋅=r r r ，所以cos θ=22||122||
a b b b a b ⋅==⋅r r r r r r ，所以a r 与b r 的夹角为3
π，故选B ． 【点睛】
对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为[0,]π．
4．现对某次大型联考的1.2万份成绩进行分析，该成绩ξ服从正态分布2(520,)N δ，已知
(470570)0.8P ξ≤≤=，则成绩高于570的学生人数约为（ ）
A ．1200
B ．2400
C ．3000
D ．1500
【答案】A
【解析】
【分析】
根据正态分布的对称性，求得(570)P ξ>的值，进而求得高于570的学生人数的估计值.
【详解】 10.8(570)0.12
P ξ->=
=，则成绩高于570的学生人数约为40.1 1.2101200⨯⨯=.故选A. 【点睛】 本小题主要考查正态分布的对称性，考查计算正态分布指定区间的概率，属于基础题.
5．已知函数224,0()4,0
x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-<⎩，若()22()f a f a ->，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(2,1)-
B ．(1,2)-
C ．(,1)(2,)-∞-+∞U
D ．(,2)(1,)-∞-+∞U
【解析】
【分析】
代入特殊值对选项进行验证排除，由此得出正确选项.
【详解】
若0a =，()()()20212,00,120f f f -===>符合题意，由此排除C,D 两个选项.若1a =，则()()2211f f -=不符合题意，排除B 选项.故本小题选A.
【点睛】
本小题主要考查分段函数函数值比较大小，考查特殊值法解选择题，属于基础题.
6．曲线1x y xe =+在点()0,1处的切线方程是( )
A ．10x y -+=
B ．210x y -+=
C ．10x y --=
D ．220x y -+=
【答案】A
【解析】
【分析】
求出函数的导数，求出切线方程的斜率，即可得到切线方程．
【详解】
曲线1x y xe =+，解得y′=e x +xe x ，所以在点(2,1)处切线的斜率为1．
曲线1x y xe =+在点（2，1）处的切线方程是：y ﹣1=x ．
即x ﹣y +1=2．
故选A ．
【点睛】
本题考查曲线的切线方程的求法，考查计算能力
7．设x ∈R ，则“213x -≤”是“10x +≥”的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 【答案】A
【解析】
【分析】
首先解这两个不等式，然后判断由题设能不能推出结论和由结论能不能推出题设，进而可以判断出正确的选项.
213x -≤12x ⇒-≤≤，10x +≥ 1x ⇒≥-，显然由题设能推出结论，但是由结论不能推出题设，因此“213x -≤”是“10x +≥”的充分不必要条件，故本题选A.
【点睛】
本题考查了充分条件、必要条件的判断，解决本问题的关键是正确求出不等式的解集.
8．观察下列各式：5678953125,515625,578125,5390625,51953125,=====L ，则20205的末四位数字为（ ）
A ．3125
B ．5625
C ．0625
D ．8125
【答案】C
【解析】
【分析】
根据5678953125,515625,578125,5390625,51953125,=====L ，分析次数与末四位数字的关系，归纳其变化规律求解.
【详解】
因为5678953125,515625,578125,5390625,51953125,=====L ，
观察可知415k +的末四位数字3125， 425k +的末四位数字5625，
435k +的末四位数字8125，
445k +的末四位数字0625，
又202045044=⨯+，则20205的末四位数字为0625.
故选：C
【点睛】
本题主要考查数列中的归纳推理，还考查了理解辨析推理的能力，属于中档题.
9．函数()ln f x x x =的大致图象是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据特殊位置的x 所对应的()f x 的值，排除错误选项，得到答案.
【详解】
因为()ln f x x x =
所以当01x <<时，()0f x <，故排除A 、D 选项，
而()ln ln f x x x x x -=--=-，
所以()()f x f x -=-
即()f x 是奇函数，其图象关于原点对称，故排除B 项，
故选C 项.
【点睛】
本题考查根据函数的解析式判断函数图象，属于简单题.
10．从装有4粒大小、形状相同，颜色不同的玻璃球的瓶中，随意一次倒出若干粒玻璃球（至少一粒），则倒出奇数粒玻璃球的概率比倒出偶数粒玻璃球的概率（ ）
A ．小
B ．大
C ．相等
D ．大小不能确定
【答案】B
【解析】
试题分析：四种不同的玻璃球，可设为,,,A B C D ，随意一次倒出一粒的情况有4种，倒出二粒的情况有6种，倒出3粒的情况有4种，倒出4粒的情况有1种，那么倒出奇数粒的有8种，倒出偶数粒的情况有7种，故倒出奇数粒玻璃球的概率比倒出偶数粒玻璃球的概率大.
考点：古典概型.
11．如图，某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是（ ）
A ．72
B ．73
C ．76
D ．7
【答案】C
【解析】
【分析】
根据三视图知几何体为上下底面为等腰直角三角形，高为1的三棱台，计算体积得到答案.
【详解】
根据三视图知：几何体为上下底面为等腰直角三角形，高为1的三棱台，
故1117111223226
V ⎛=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯+= ⎝. 故选：C .
【点睛】
本题考查了三视图求体积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
12．函数()1sin 2=
-f x x x 在[0,]2π上的最小值和最大值分别是
A ．62π-
B ．1,04π-
C ．,1624ππ--
D ．1122
,- 【答案】A
【解析】
【分析】
求出f （x ）的导数，利用导函数的正负，求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值和最小值即可．
【详解】
函数()12f x x sinx =-，()f x '12
=-cosx ， 令()f x '＞0，解得：
2π≥x 3＞π，令()f x '＜0，解得：0≤x 3π＜， ∴f （x ）在[0，3π）递减，在（3π，2
π]递增，
∴f （x ）min ＝f （3π）62
π=-，而f （0）＝0，f （2π）4π=-1，
故f （x ）在区间[0，
2π]上的最小值和最大值分别是：62π-0． 故选：A ．
【点睛】
本题考查了利用导数研究函数的单调性、最值问题，考查函数值的运算，属于基础题．
二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）
13．中医药是反映中华民族对生命、健康和疾病的认识，具有悠久历史传统和独特理论及技术方法的医药
学体系，是中华文明的瑰宝.某科研机构研究发现，某品种中成药的药物成份A 的含量x （单位：g ）与药物功效y （单位：药物单位）之间具有关系：(20)y x x =-.检测这种药品一个批次的5个样本，得到成份A 的平均值为8g ，标准差为2g ，估计这批中成药的药物功效的平均值为__________药物单位．
【答案】92
【解析】
【分析】
由题可得1234540x x x x x ++++=，()()()222
12520x x x x x x -+-++-=L
进而可得222125340x x x +++=L ，再计算出125y y y +++L ，从而得出答案． 【详解】
5个样本12345,,,,x x x x x 成份A 的平均值为8g ，标准差为2g ，所以1234540x x x x x ++++=，()()
()22212520x x x x x x -+-++-=L ， 即()22221251252520x x x x x x x x +++-++++=L L ，解得222125340x x x +++=L
因为2(20)20y x x x x =-=-，
所以()()
22212512512520460y y y x x x x x x +++=+++-+++=L L L 所以这批中成药的药物功效的平均值460925
y =
=药物单位 【点睛】 本题考查求几个数的平均数，解题的关键是求出222125x x x +++L ，属于一般题．
14．若变量x ，y 满足约束条件102800x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩
则3z x y =+的最大值为______． 【答案】9.
【解析】
分析：画出可行域，然后结合目标函数求最值即可.
详解：作出如图所示可行域：可知当目标函数经过点A （2,3）时取得最大值，故最大值为9.
点睛：考查简单的线性规划的最值问题，准确画出图形，画出可行域确定最优解是解题关键，属于基础题.
15．已知三棱锥D ABC -的所有顶点都在球O 的表面上，AD ⊥平面ABC ，3AC =1BC =，cos 3ACB ACB ∠=∠，2AD =，则球O 的表面积为__________．
【答案】8π
【解析】
分析：根据三棱锥的结构特征，求得三棱锥外接球半径，由球表面积公式即可求得表面积。

详解：由cos 3sin ACB ACB ∠=∠，根据同角三角函数关系式得
22sin cos 1ACB ACB ∠+∠= ，解得1sin 2
ACB ∠= 所以6C π
= ，因为3AC =1BC =，由余弦定理2222cos AB AC BC AC BC C =+-⋅
代入得 331231AB =+-= 所以△ABC 为等腰三角形，且120B =o ，由正弦定理得△ABC 外接圆半径R 32R = ，解得1R = 设△ABC 外心为'O ，'OO h = ，过'O 作'O M AD ⊥
则在'O OA ∆ 中2221h R +=
在'O MD ∆中()22221h R -+= 解得2R = 所以外接球面积为224428S R πππ===
点睛：本题综合考查了空间几何体外接球半径的求法，通过建立空间模型，利用勾股定理求得半径；结合球的表面积求值，对空间想象能力要求高，综合性强，属于难题。

16．在ABC V 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，
且()2cos cos 0a b C c B ++=，则sin sin A B ⋅的最大值为_________． 【答案】14 【解析】 【分析】 ()2cos cos 0a b C c B ++=利用正弦定理边化角化简可求得23C π=,则有3
A B π+=,则11sin sin sin sin sin 23264A B A A A ππ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭借助正弦函数图象和性质即可求出. 【详解】
因为()()2cos cos 2sin cos sin 20a b C c B A C B C R ++=++⋅=⎡⎤⎣⎦，
所以1cos 2C =-，所以23
C π=． 所以11sin sin sin sin sin 23264A B A A A ππ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭， 因为03A π<<
，所以当6A π=时，sin sin A B ⋅取得最小值14． 故答案为:
14
. 【点睛】
本题考查正弦定理,三角函数的图象和性质,属于常考题.
三、解答题（本题包括6个小题，共70分）
17．某快递公司（为企业服务）准备在两种员工付酬方式中选择一种现邀请甲、乙两人试行10天两种方案如下：甲无保底工资送出50件以内（含50件）每件支付3元，超出50件的部分每件支付5元；乙每天保底工资50元，且每送出一件再支付2元分别记录其10天的件数得到如图茎叶图，若将频率视作概率，回答以下问题：
（1）记甲的日工资额为X （单位：元），求X 的分布列和数学期望；
（2）如果仅从日工资额的角度考虑请利用所学的统计学知识为快递公司在两种付酬方式中作出选择，并说明理由．
【答案】（1）分布列详见解析，数学期望为151.5元；（2）推荐该公司选择乙的方案，理由详见解析.
【解析】
【分析】
（1）首先根据茎叶图得到X 的所有可能取值为：144，147，150，155，160，并计算其概率，再列出分布列求数学期望即可.（2）根据题意求出乙的日均工资额，再比较甲乙的日工资额即可.
【详解】
（1）设甲日送件量为a ，则
当48a =时，483144X =⨯=，当49a =时，493147X =⨯=，
当50a =时，503150X =⨯=，当51a =时，5035155X =⨯+=，
当52a =时，50352160X =⨯+⨯=，
所以X 的所有可能取值为：144，147，150，155，160． 1(144)10P X ==，3(147)10P X ==，1(150)5
P X ==， 1(155)5P X ==，1(160)5
P X ==. X 的分布列为
X
144 147 150 155 160 P 110 310 15 15 15
()144147150155160151.51010555
E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元）. （2）乙的日均送件量为：480.2490.1500.2510.3520.250.2⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=
乙的日均工资额为：5050.221504+⨯=⋅（元），
而甲的日均工资额为：151.5元， 150.4元151.5<元，
因此，推荐该公司选择乙的方案．
【点睛】
本题主要考查了离散型随机变量的分布列和数学期望，同时考查了茎叶图和数学期望在决策中的作用，属于中档题.
18．如图所示，已知ABCD 是直角梯形，90ABC ∠=︒，
//,2,1,AD BC AD AB BC PA ABCD 平面===⊥．
（1）证明：PC CD ⊥；
（2）若3PA =，求三棱锥B PCD -的体积．
【答案】（1）见解析；（2）
12 【解析】
【分析】
（1）由题可得：AC =CD =，可得：222AC CD AD +=，即可证得AC CD ⊥，再利用PA ABCD ⊥平面证得PA CD ⊥，即可证得CD ⊥平面PAC ，问题得证．
（2）利用B PCD P BCD V V --=及锥体体积公式直接计算得解．
【详解】
（1）由题可得：AC =CD =
所以222AC CD AD +=
所以AC CD ⊥
又PA ABCD ⊥平面
所以PA CD ⊥，又PA AC A =I
所以CD ⊥平面PAC ，又PC ⊂平面PAC
所以PC CD ⊥
（2）11111133322B PCD P BCD BCD V V S PA --∆==
⨯⨯=⨯⨯⨯⨯= 【点睛】
本题主要考查了线线垂直的证明，考查了转化能力及线面垂直的定义，还考查了锥体体积公式及计算能力，属于中档题．
19．已知函数()f x x a =+．
（1）当5a =-时，解不等式()112f x x ≤+-；
（2）若()()4f x f x +-<存在实数解，求实数a 取值范围．
【答案】（1）5|33x x x ⎧⎫≤-≥
⎨⎬⎩⎭或（2）-22a << 【解析】
分析：（1）对x 分类讨论，转化为三个不等式组，最后取交集即可；（2）()()4f x f x +-<存在实数解等价于()min 4x a x a ++-<.
详解：（1）5211x x ---≤ 当12
x ≤
时，51213x x x --+≤∴≤- 当152x <<时，5521153x x x --+≤∴≤< 当5x ≥时 5211x x --+≤ 55x x ∴≥-∴≥
综上：不等式解集为 5{|3}3x x x ≤-≥或 （2）存在x 使得4x a x a ++-< 成立()min 4x a x a ∴++-<，24-22a a ∴<∴<<
点睛：1．研究含有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，将原函数转化为分段函数，然后利用数形结合解决问题，这是常用的思想方法．
2．f(x)＜a 恒成立⇔f(x)max ＜a. f(x)>a 恒成立⇔f(x)min ＞a.
20．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，3BAD π
∠=，2AB =，
27PC =，,E F 分别是棱,PC AB 的中点.
（1）证明：//EF 平面PAD ；
（2）求二面角P BD A --的余弦值.
【答案】（1）见解析（2）
57 【解析】
【分析】
（1）依据线面平行的判定定理，在面PAD 中寻找一条直线与EF 平行，即可由线面平行的判定定理证出；
(2)建系，分别求出平面PBD ，平面ABD 的法向量，根据二面角的计算公式即可求出二面角P BD A --的余弦值．
【详解】
（1）证明：如图，取PD 中点为G ，连结,EG AG ，
则11//,,//,22
EG CD EG CD AF CD AF CD ==， 所以EG 与AF 平行与且相等，所以四边形AGEF 是平行四边形，
所以//,EF AG AG ⊂平面PAD ，EF ⊄平面PAD ，
所以//EF 平面PAD .
（2）令AC BD O =I ，因为E 是PC 中点，所以OE ⊥平面ABCD ，
以O 为原点，,,OA OB OE 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，
在菱形ABCD 中，2,60AB BAD ︒
=∠=， 所以，2,23BD AC ==，在Rt PAC △中，
224PA PC AC =-=，则()3,0,0A ，()3,,0,4P ，
()0,1,0B ，()0,1,0D -，()0,2,0DB =u u u r ，()
3,1,4DP =u u u v 设平面PBD 的法向量为(),,n x y z =r ，
所以20340
y x y z =⎧⎪⎨++=⎪⎩，所以可取()
4,0,3n =-v ， 又因平面ABD 的法向量()0,0,1m =u r ， 所以57cos ,m n m n m n ⋅==-v v v v v v . 由图可知二面角为锐二面角，
所以二面角P BD A --的余弦值为
5719
. 【点睛】
本题主要考查线面平行的判定定理应用以及二面角的求法，常见求二面角的方法有定义法，三垂线法，坐标法．
21．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如表： 零件的个数x （个） 2
3 4 5 加工的时间y （小
时） 2.5
3 4 4.5
参考公式：()()()
1122211n n
i i i i
i i n n i i i i x x y y x y nxy b x x x nx ====----==--∑∑∑∑，a y bx =-，残差µµi i
i e y y =- （1）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；
（2）求出y 关于x 的线性回归方程y bx a =+；
（3）求第二个点的残差值，并预测加工10个零件需要多少小时？
【答案】（1）见解析；（2）0.7 1.05y x =+；（3）0.15-；8.05个小时
【解析】
【分析】
按表中信息描点．
利用所给公式分别计算出ˆb
和ˆa 残差222ˆˆe
y y =-，计算出10ˆy 即为预测值． 【详解】
（1）作出散点图如下：
（2）()12345 3.54x =+++=，()1 2.534 4.5 3.54
y =+++= 42154i i x
==∑，41
52.5i i i x y ==∑ 252.54 3.5 3.50.7544 3.5
b -⨯⨯∴==-⨯， 3.50.7 3.5 1.05a =-⨯= ∴所求线性回归方程为：0.7 1.05y x =+
（3）20.73 1.05 3.15ˆy
=⨯+=Q 2223 3.150.1ˆˆ5e
y y ∴=-=-=- 当10x =代入回归直线方程，得0.710 1.058.05y =⨯+=（小时）
∴加工10个零件大约需要8.05个小时
【点睛】
本题考查线性回归直线，考查学生的运算能力，属于基础题．
22．已知复数Z 满足23z i z i -=++（其中i 为虚数单位）
（1）求z ；
（2）若
2a i z
+为纯虚数，求实数a 的值． 【答案】（1）34z i =+；（2）83a =-. 【解析】
【分析】
(1) 设(),z x yi x y R =+∈
，可得2040x y -=-=⎪⎩
，解得34x y =⎧⎨=⎩从而可得结果；(2) 由（1）知()3864225a a i a i z ++-+=，利用2a i z +为纯虚数可得380640a a +=⎧⎨-≠⎩
，从而可得结果. 【详解】
（1）设(),z x yi x y R =+∈， 由于23z i z i -=++
23i x yi i -=-++
()240x y i -+-=
2040x y -=∴-=⎪⎩
解得：34
x y =⎧⎨=⎩ 34z i ∴=+
（2）由（1）知()()()()
23422343434a i i a i a i z i i i +-++==++- ()386425a a i ++-=
又2a i z
+为纯虚数， 380640
a a +=⎧∴⎨-≠⎩ 83
a ∴=- 【点睛】
本题主要考查的是复数的分类、复数的乘法、除法运算，属于中档题．解题时一定要注意21i =-和
()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++以及()()()()
a bi c di a bi c di c di c di +-+=++- 运算的准确性，否则很容易出现错误.。