2023-2024学年福建省龙岩市一级高三(上)期中数学试卷【答案版】

2023-2024学年福建省龙岩市一级高三（上）期中数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合P ＝{x ∈Z |﹣3＜x ＜3}，Q ＝{x |x 2﹣x ﹣6≥0}，则P ∩Q ＝（ ） A ．{x |2≤x ＜3} B ．{x |﹣3＜x ≤﹣2}
C ．{2}
D ．{﹣2}
2．设z =
2+i
1+i 3+i 6
，则z ＝（ ）
A ．﹣1+2i
B ．1﹣2i
C ．﹣1﹣2i
D ．1+2i
3．在△ABC 中，BD →
=13
BC →
，点E 是AD 的中点，记AB →=a →，AC →=b →，则BE →=（ ）
A ．−13a →+13b →
B ．−23a →+16b →
C ．−13a →−13
b →
D ．23a →−16
b →
4．若要得到函数f(x)=sin(2x +π6)的图象，只需将函数g(x)=cos(2x +π
3)的图象（ ）
A ．向左平移π
6
个单位长度
B ．向右平移π
6
个单位长度
C ．向左平移π
3
个单位长度
D ．向右平移π
3
个单位长度
5．若直线x ﹣y +a ＝0与曲线y ＝x +cos x 相切，则实数a 的值可以是（ ） A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
6．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，其中a 1=1，a n+1={a n +2，n 为奇数，
a n +3，n 为偶数，则下列结论不正确的是（ ）
A ．a 10＝23
B ．a 13＝31
C ．S 13＝174
D ．S 10＝120
7．已知−π2＜α−β＜π4，sinα+2cosβ=√2，cosα−2sinβ=1，则sin(β+π
3
)=（ ）
A ．
√33
B ．
√63
C ．
√36
D ．
√66
8．现有下列不等式关系：①3ln 2＞2ln 3；②32cos 14＞31；③π＜sin4+4；④(1e )45＞ln 6
5
．其中成立的个数为
（ ） A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．下列叙述正确的是（ ） A ．不等式1
x
＜1的解集为{x |x ＞1}
B ．已知a ＞0，b ＞0，且a +b ＝1，则log 2a +log 2b ≤﹣2
C ．“−1
2
＜x ＜3”是“不等式2x 2﹣7x +6＜0成立”的必要不充分条件
D ．已知集合M ＝{x |x ＝4k ﹣1，k ∈Z }，N ＝{x |x ＝4k +1，k ∈Z }，U ＝{x |x ＝2k +1，k ∈Z }，则∁U M ＝N 10．已知函数f(x)=sinxcosx −√3sin 2x +√3
2
，则（ ）
A ．f （x ）的最小正周期为2π
B ．点(π
3
，0)为f （x ）图象的一个对称中心
C ．函数y ＝2f （x ）在区间[−
π12，π6
]上的值域为[1，2] D ．若f （x ）的图象在区间[0，a ]上只有一条对称轴和一个对称中心，则π3
≤a ≤
7π12
11．已知函数f （x ）及其导函数f ′（x ）的定义域均为R ，记g （x ）＝f ′（x ），若f （2﹣2x ），g （3+x ）均为奇函数，则以下结论一定正确的是（ ） A ．f （0）＝0 B ．f(−12)=−f(9
2)
C ．g （0）＝0
D ．g(−12)=g(17
2
)
12．已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1且a n+12=S n 2
−S n +a 1(n ∈N ∗)，则下列说法正确的是（ ）
A ．长度分别为a n +1，S n ，1的三条线段可以围成一个内角为2π3
的三角形
B ．a n+1=√3
2sin
π
3×2
n−1
C ．S n =
√3
2tan π3×2
n−1
+12
D ．S n ＜2+√3(2n−2−1)
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知函数f(x)={log 12x +2x ，x ≥4，
f(x +2)，x ＜4，
则f （﹣2）＝ ．
14．已知向量a →
=(3，m)，b →
=(n ，1)，若a →
−2b →
=(3，−3)，则cos〈b →
，a →
−b →
〉= ． 15．已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）的图象如图所示，M ，N 是直线y ＝﹣1与曲线y ＝f （x ）的两个交点，其横坐标分别为x 1，x 2，且|MN |=
2π
9
，则f （3x 1+3x 2）＝ ．
16．已知x＞0，y＞0且x2+3y2+4xy＝8，则3x+5y的最小值为．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知函数f(x)=cosx(cosx+√3sinx)．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f(A)=−1
2
，a=2，求b+2c的取值范围．
18．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，数列{S n
n
}为等差数列，a1＝1，S7＝28．（1）求{a n}的通项公式；
（2）记b n＝[lga n]，其中[x]表示不小于x的最小整数，如[1.9]＝2，[lg999]＝3，求数列{b n}的前2023项和．
19．（12分）如图，在正三棱锥P﹣ABC中，D，E，M，N分别为PC，P A，AB，BC的中点．（1）求证：四边形DEMN为矩形．
（2）若四边形DEMN为正方形，求直线BC与平面P AC所成角的正弦值．
20．（12分）中国政府一直鼓励国内企业加强自主研发和技术创新，并为此提供了大量的资金和政策支持．这些政策措施为国内科技企业提供了良好的发展环境，使得它们能够在短时间内取得显著的突破．现某企业研发出一种新产品，计划生产投入市场．已知该产品的固定研发成本为280万元，此外，每生产一台该产品需另投入550元．设该企业一年内生产该产品x（0＜x≤50）万台并委托一家销售公司全部售完．根据销售合同，当0＜x≤2时，销售公司按零售价支付货款给该企业；当2＜x≤50时，销售公司按批发价支付货款给该企业．已知该企业每销售1万台该产品的收入为M（x）万元，满足M(x)=
{2(x−1)e x−2+2，0＜x≤2，540+
2050
x
−
9000
x2
，2＜x≤50.
（1）写出该企业的年利润P （x ）（单位：万元）关于年产量x （单位：万台）的函数关系式．（利润＝销售收入﹣固定研发成本﹣产品生产成本）
（2）当年产量为多少万台时，该企业的利润最大？求出此时的最大利润．
21．（12分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且acosA +acos(B −C)=2√3bcos(π−A)sinC ．
（1）求角A 的大小；
（2）若点M 为BC 的中点，点N 满足AN →=13
AC →
，AB =2，AC =6，点P 为AM 与BN 的交点，求∠
MPN 的余弦值．
22．（12分）设函数f （x ）＝ax 2+2ax ﹣ln （x +1）． （1）讨论f （x ）的单调性； （2）若f(x)+e −x ＞
1
x+1
在区间（0，+∞）内恒成立，求实数a 的取值范围． 2023-2024学年福建省龙岩市一级高三（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合P ＝{x ∈Z |﹣3＜x ＜3}，Q ＝{x |x 2﹣x ﹣6≥0}，则P ∩Q ＝（ ） A ．{x |2≤x ＜3}
B ．{x |﹣3＜x ≤﹣2}
C ．{2}
D ．{﹣2}
解：由题意得P ＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，Q ＝{x |（x ﹣3）（x +2）≥0}＝（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞）， 所以P ∩Q ＝{﹣2}． 故选：D ． 2．设z =
2+i
1+i 3+i 6
，则z ＝（ ）
A ．﹣1+2i
B ．1﹣2i
C ．﹣1﹣2i
D ．1+2i
解：z =
2+i 1−i−1=(2+i)⋅i
−i⋅i
=−1+2i ．
故选：A ．
3．在△ABC 中，BD →
=13
BC →
，点E 是AD 的中点，记AB →=a →，AC →=b →，则BE →=（ ）
A ．−13a →+13b →
B ．−23a →+16b →
C ．−13a →−13
b →
D ．23a →−16
b →
解：画出图形，如图所示：
∴BE →
=12(BA →+BD →)=−12AB →+12BD →=−12AB →+12×13BC →=−12AB →+16（AC →−AB →）=−23AB →+16AC →
=
−23a →+16
b →
． 故选：B ．
4．若要得到函数f(x)=sin(2x +π6)的图象，只需将函数g(x)=cos(2x +π
3)的图象（ ）
A ．向左平移π
6个单位长度
B ．向右平移π
6个单位长度
C ．向左平移π
3
个单位长度
D ．向右平移π
3
个单位长度
解：函数f(x)=sin(2x +π6)=cos （π2−2x −π6）＝cos （2x −π3）＝cos[2（x −π3）+π
3]，
所以只需将函数g(x)=cos(2x +π
3)的图象向右平移π3个单位长度，
即可得到函数f(x)=sin(2x +π
6
)的图象．
故选：D ．
5．若直线x ﹣y +a ＝0与曲线y ＝x +cos x 相切，则实数a 的值可以是（ ） A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
解：设直线x ﹣y +a ＝0与曲线y ＝x +cos x 相切的切点为P （x 0，y 0）， 由函数y ＝x +cos x ，可得y ′＝1﹣sin x ，可得y ′|x=x 0=1−sinx 0， 所以1﹣sin x 0＝1，可得sin x 0＝0，解得x 0＝k π，k ∈Z ，
则y 0＝x 0+cos x 0＝k π+cos k π，k ∈Z ，即切点为（k π，k π+cos k π）k ∈Z ， 将切点（k π，k π+cos k π）k ∈Z 代入x ﹣y +a ＝0，
可得k π﹣k π﹣cos k π+a ＝0，所以a ＝cos k π，k ∈Z ，当k ＝0时，可得a ＝1． 故选：B ．
6．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，其中a 1=1，a n+1={a n +2，n 为奇数，a n +3，n 为偶数，则下列结论不正确的是（ ）
A ．a 10＝23
B ．a 13＝31
C ．S 13＝174
D ．S 10＝120
解：根据递推关系，可得数列的项为a1＝1，a2＝a1+2＝3，a3＝a2+3＝6，a4＝a3+2＝8，a5＝a4+3＝11，进而可得数列的前13项分别为：1，3，6，8，11，13，16，18，21，23，26，28，31，
所以a10＝23，a13＝31，
S10＝1+3+6+8+11+13+16+18+21+23＝120，
S13＝S10+26+28+31＝205，
故ABD正确，C错误，
故选：C．
7．已知−π
2＜α−β＜π
4
，sinα+2cosβ=√2，cosα−2sinβ=1，则sin(β+π
3
)=（）
A．√3
3
B．
√6
3
C．
√3
6
D．
√6
6
解：因为sinα+2cosβ=√2，则sin2α+4sinαcosβ+4cos2β＝2，因为cosα﹣2sinβ＝1，则cos2α﹣4cosαsinβ+4sin2β＝1，
两式相加可得5+4sin（α﹣β）＝3，则sin(α−β)=−1 2，
又−π
2
＜α−β＜π
4
，所以α−β=−
π
6
，即α=β−
π
6
，
代入sinα+2cosβ=√2，可得sin(β−π
6
)+2cosβ=√2，
则√3
2
sinβ−
1
2
cosβ+2cosβ=√2，即√
3
2
sinβ+
3
2
cosβ=√2，
所以√3sin(β+π
3
)=√2，则sin(β+
π
3
)=√
6
3
．
故选：B．
8．现有下列不等式关系：①3ln2＞2ln3；②32cos1
4＞31；③π＜sin4+4；④(1
e
)
4
5＞ln
6
5
．其中成立的个数为
（）
A．0B．1C．2D．3
解：3ln2＞2ln3⇔ln2
2
＞ln3
3
⇔
ln4
4
＞ln3
3
，
构造函数y=lnx
x
，则y′=
1−lnx
x2
，当x＞e，y′＜0，
故y=lnx
x
在（e，+∞）上单调递减，所以①错误．
由于y＝x﹣sin x，y′＝1﹣cos x＞0，所以y＝x﹣sin x在(0，π
2
)单调递增，
故x﹣sin x＞0，所以32cos 1
4
=32(1−2sin2
1
8
)＞32×[1−2×(18)2]=32−1=31，所以②正确．
由于4−π∈(0，π
2
)，所以sin （4﹣π）＜（4﹣π），
故sin4＝sin （π﹣4）＝﹣sin （4﹣π）＞﹣（4﹣π）＝π﹣4，π＜sin4+4，所以③正确． 设n （x ）＝e x ﹣x ﹣1，n ′（x ）＝e x ﹣1
当x ＞0，n ′（x ）＞0，n （x ）单调递增，当x ＜0，n ′（x ）＜0，n （x ）单调递减， 所以n （x ）≥n （1）＝0，故e x ≥x +1，当且仅当x ＝0时等号成立． 设m （x ）＝lnx ﹣x +1，则当x ＞1时m ′(x)=
1
x
−1＜0，m(x)单调递减， 当0＜x ＜1时，m ′（x ）＞0，m （x ）单调递增，
故当m （x ）≤m （1）＝0，故lnx ≤x ﹣1，进而可得ln （x +1）≤x （x ＞﹣1），
当且仅当x ＝0时等号成立，故(1e )45=e −
45＞1−45=15＞ln(1+15)=ln 65
，所以④正确．
故选：D ．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．下列叙述正确的是（ ） A ．不等式1
x
＜1的解集为{x |x ＞1}
B ．已知a ＞0，b ＞0，且a +b ＝1，则log 2a +log 2b ≤﹣2
C ．“−1
2
＜x ＜3”是“不等式2x 2﹣7x +6＜0成立”的必要不充分条件
D ．已知集合M ＝{x |x ＝4k ﹣1，k ∈Z }，N ＝{x |x ＝4k +1，k ∈Z }，U ＝{x |x ＝2k +1，k ∈Z }，则∁U M ＝N 解：对于A 中，由不等式1
x −1=1−x
x ＜0，
解得x ＜0或x ＞1，所以A 不正确；
对于B 中，由log 2a +log 2b =log 2ab ≤log 2(
a+b 2
)2
=−2， 当且仅当a =b =1
2
时，等号成立，所以B 正确；
对于C 中，由不等式2x 2﹣7x +6＝（x ﹣2）（2x ﹣3）＜0，解得3
2
＜x ＜2，
所以“−1
2
＜x ＜3”是“不等式2x 2﹣7x +6＜0成立”的必要不充分条件，所以C 正确；
对于D 中，由集合U ＝{x |x ＝2k +1，k ∈Z }，可得集合U 表示奇数构成的集合， 因为M ＝{x |x ＝4k ﹣1，k ∈Z }，可得∁U M ＝{x |x ＝4k +1，k ∈Z }， 所以∁U M ＝N ，所以D 正确．
故选：BCD ．
10．已知函数f(x)=sinxcosx −√3sin 2x +√3
2
，则（ ）
A ．f （x ）的最小正周期为2π
B ．点(π
3
，0)为f （x ）图象的一个对称中心
C ．函数y ＝2f （x ）在区间[−
π12，π6
]上的值域为[1，2] D ．若f （x ）的图象在区间[0，a ]上只有一条对称轴和一个对称中心，则
π3
≤a ≤
7π12
解：f(x)=12sin2x +√32cos2x =sin(2x +π3)，T =2π
2
=π，故A 错；
f(π3)=sin(2π3+π3)=sinπ=0，所以(π
3
，0)是f （x ）的一个对称中心，故B 正确； 由−
π12≤x ≤π6得π
6≤2x +π3≤2π3，所以12
≤f(x)≤1，2f （x ）∈[1，2]，故C 正确； 令2x +π3=π2+kπ，k ∈Z ，解得x =π12+kπ2，k ∈Z ，所以x =π12+kπ
2，k ∈Z 是f （x ）的对称轴， 令2x +
π3=kπ，k ∈Z ，解得x =−π6+kπ2，k ∈Z ，所以(−π6+kπ
2
，0)k ∈Z 是f （x ）的对称中心， 因为f （x ）在区间[0，a ]上只有一条对称轴和一个对称中心， 所以{ π
12≤a π3≤a 7π12＞a
5π6＞a
，解得π3≤a ＜7π12，故D 错．
故选：BC ．
11．已知函数f （x ）及其导函数f ′（x ）的定义域均为R ，记g （x ）＝f ′（x ），若f （2﹣2x ），g （3+x ）均为奇函数，则以下结论一定正确的是（ ） A ．f （0）＝0 B ．f(−12)=−f(9
2)
C ．g （0）＝0
D ．g(−12)=g(17
2
)
解：对于选项A ：f （2﹣2x ）为奇函数，故f （2﹣2x ）＝﹣f （2+2x ），则f （2+x ）+f （2﹣x ）＝0， 故f （2+2）+f （2﹣2）＝0，即f （0）+f （4）＝0，所以f （0）不一定为0，即选项A 错误； 对于选项B ：令x =52，得f(2+52)+f(2−52)=0，即f(92)+f(−1
2
)=0，即选项B 正确；
对于选项C ：f （2+x ）+f （2﹣x ）＝0，故f ′（2+x ）﹣f ′（2﹣x ）＝0，则g （2+x ）﹣g （2﹣x ）＝0， 所以g （2+x ）＝g （2﹣x ），又g （3+x ）为奇函数，所以g （3+x ）+g （3﹣x ）＝0，
故g （3+x ）+g （3﹣x ）＝0，则g （2+x ）＝﹣g （4+x ）， 又g （x ）＝﹣g （2+x ）＝g （x +4）， 所以g （x ）的周期为4． 又g （﹣x ）＝g （4+x ）＝g （x ）， 所以g （x ）为偶函数， 则g （0）不一定为0， 即选项C 错误；
对于选项D ：g(−12)=g(12)=g(8+12)=g(172
)，
即选项D 正确． 故选：BD ．
12．已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1且a n+12=S n 2
−S n +a 1(n ∈N ∗)，则下列说法正确的是（ ）
A ．长度分别为a n +1，S n ，1的三条线段可以围成一个内角为2π3
的三角形
B ．a n+1=√3
2sin
π
3×2
n−1
C ．S n =
√3
2tan π3×2
n−1
+12
D ．S n ＜2+√3(2n−2−1)
解：对于选项A ：因为a n+12=S n 2
+12−2⋅S n ×1×cos π3，
可以构造边长分别为S n ，1，a n +1，且一个内角为π
3
的三角形，
即内角不可能为
2π3
，故A 错误；
对于选项BC ：设△A n BC ，其中BC ＝a 1＝1，A n B ＝S n ，A n C ＝a n +1，
则A n +1A n ＝A n +1B ﹣A n B ＝S n +1﹣S n ＝a n +1＝A n C ，可知∠BA n+1C =∠A n+1CA n =1
2∠BA n C ，
设∠BA n C ＝θn ，即θn+1=1
2
θn ，
当n ＝1时，S 1，1，a 2构成等边三角形，记作△A 1BC ，此时θ1=∠BA 1C =π
3
，
可知数列{θn }是以π3为首项，公比为12的等比数列，可得∠BA n C =θn =π3×(12)n−1=π
3×2
n−1， 在等边△A 1BC 中，可知边A 1B 上的高为
√3
2
，
在△A n BC ，可得A n C =
√3
2
sin∠BA n C =
√3
2sin
π3×2
n−1， 利用等面积可得
12
×S n ×
√32=12×√32sin π3×2
n−1×1×sin(π3×2n−1+π3)=12×√32sin π3×2
n−1
×(12sin π3×2n−1+√3
2cos π3×2n−1
)， 整理得S n =
1
2sin
π3×2n−1+√32cos π3×2
n−1sin π3×2
n−1
=
√3
2tan π3×2
n−1
+1
2
，故B 、C 正确； 对于选项D ：由选项C 知：当n ＝2时，S 2=12+√32tan π6=12+32
=2＝2+√3（22﹣2﹣1），故D 错误． 故选：BC ．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知函数f(x)={log 12x +2x ，x ≥4，
f(x +2)，x ＜4，则f （﹣2）＝ 14 ．
解：f(−2)=f(0)=f(2)=f(4)=log 12
4+24=−2+16=14．
故答案为：14．
14．已知向量a →
=(3，m)，b →
=(n ，1)，若a →
−2b →
=(3，−3)，则cos〈b →
，a →
−b →
〉= −2√13
13
． 解：由a →
=(3，m)，b →
=(n ，1)得a →
−2b →
=(3−2n ，m −2)=(3，−3)， 所以3﹣2n ＝3，m ﹣2＝﹣3，故n ＝0，m ＝﹣1，故a →
−b →
=(3，−2)， 故cos〈b →
，a →
−b →
〉=
b →⋅(a →−b →
)
|b →||a →−b →
|
=
−2√13
=−2√13
13．
故答案为：−
2√13
13
． 15．已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）的图象如图所示，M ，N 是直线y ＝﹣1与曲线y ＝f （x ）的两个交点，其横坐标分别为x 1，x 2，且|MN |=
2π
9
，则f （3x 1+3x 2）＝ −√3 ．
解：由图象得A＝2，设x2＞x1，因为|MN|=2π
9
，所以x2−x1=
2π
9
，
令2sin（ωx+φ）＝﹣1，即sin(ωx+φ)=−1 2，
结合图象可得ωx1+φ=−5π
6
，ωx2+φ=−
π
6
，则ω(x2−x1)=
2π
3
，
又x2−x1=2π
9
，所以ω＝3，3x1+3x2＝﹣π﹣2φ，
将(−4π
9
，0)代入f（x）中得2sin(−4π
9
×3+φ)=0，
由图可知，−4π
9
×3+φ＝﹣π+2kπ，k∈Z，解得φ=
π
3
+2kπ，k∈Z，
所以f(3x1+3x2)=2sin(−3π−6φ+φ)=2sin(−3π−5π
3
−10kπ)=2sin(−
2π
3
)=−√3．
故答案为：−√3．
16．已知x＞0，y＞0且x2+3y2+4xy＝8，则3x+5y的最小值为8．解：由x2+3y2+4xy＝8，得x2+4xy+4y2﹣y2＝8，
即（x+2y）2﹣y2＝8，所以（x+3y）（x+y）＝8，令{a=x+y
b=x+3y，得{
x=
3a−b
2
y=
b−a
2
，
所以ab＝8，3x+5y=2a+b≥2√2ab=8，
当且仅当2a＝b，即x＝y＝1时，等号成立．
故答案为：8．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知函数f(x)=cosx(cosx+√3sinx)．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f(A)=−1
2
，a=2，求b+2c的取值范围．
解：（1）化简得f(x)=1+cos2x
2
+√
3
2
sin2x=sin(2x+
π
6
)+
1
2
．
令2kπ−π
2
≤2x+
π
6
≤2kπ+
π
2
，得kπ−
π
3
≤x≤kπ+
π
6
，k∈Z，
所以f（x）的单调递增区间为[kπ−π
3
，kπ+π
6
]，k∈Z．
（2）由f(A)=−1
2
，得sin(2A+
π
6
)=−1，
因为π
6
＜2A+
π
6
＜
13π
6
，所以2A+
π
6
=
3π
2
，得A=
2π
3
，所以B+C=
π
3
，
所以b+2c=
a
sinA
(sinB+2sinC)=
4√3
3
[sinB+2sin(
π
3
−B)]=4cosB，
因为0＜B＜π
3
，所以b+2c＝4cos B∈（2，4）．
18．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，数列{S n
n
}为等差数列，a1＝1，S7＝28．（1）求{a n}的通项公式；
（2）记b n＝[lga n]，其中[x]表示不小于x的最小整数，如[1.9]＝2，[lg999]＝3，求数列{b n}的前2023项和．
解：（1）{S n
n
}为等差数列，公差d=
S7
7
−S1
1
7−1
=
1
2
，
所以S n
n
=1+
1
2
(n−1)=
n+1
2
，即S n=
n(n+1)
2
，
所以a n=S n−S n−1=n(n+1)
2
−
(n−1)n
2
=n(n≥2)，上式对n＝1仍然成立，
所以a n＝n．
（2）由题意可知b n=[lga n]=
{0，n=1
1，1＜n≤10
2，10＜n≤100
3，100＜n≤1000
4，1000＜n≤10000
，
记{b n}的前n项和为T n，则T2023＝0+9×1+90×2+900×3+1023×4＝6981．
19．（12分）如图，在正三棱锥P﹣ABC中，D，E，M，N分别为PC，P A，AB，BC的中点．（1）求证：四边形DEMN为矩形．
（2）若四边形DEMN为正方形，求直线BC与平面P AC所成角的正弦值．
解：（1）证明：因为D，E，M，N分别为PC，AB，BC的中点，
所以DE∥AC，MN∥AC，
所以DE ∥MN ，
又DE ＝MN =12
AC ， 所以四边形DEMN 为平行四边形，
取AC 的中点O ，连接PO ，BO ，
因为P ﹣ABC 为正三棱锥，
所以PO ⊥AC ，BO ⊥AC ，
又因为PO ∩BO ＝O ，PO ⊂面POB ，BO ⊂面POB ，
所以AC ⊥面POB ，
所以AC ⊥PB ，
又因为EM ∥PB ，MN ∥AC ，
所以EM ⊥MN ，
所以四边形DEMN 为矩形．
（2）如图，以O 为原点，OB ，OC 所在直线分别为x 轴，y 轴建立空间直角坐标系：
不妨设正方形DEMN 的边长为1，则A （0，﹣1，0），B （√3，0，0），C （0，1，0），P （√33，0，2√63
）， 所以AP →
=（√33，1，2√63），AC →=（0，2，0），BC →=（−√3，1，0）， 设平面P AC 的法向量为n →
=（x ，y ，z ），
则{n →⋅AP →=
√33x +y +2√63z =0n →⋅AC →=2y =0
，令z ＝﹣1，则x ＝2√2，y ＝﹣1，所以n →=（2√2，0，﹣1），
设直线BC 与平面P AC 所成的角为θ，
则sin θ＝|cos ＜n →，BC →＞|＝|n →⋅BC →
|n →||BC →|||√2，√3√(2√2)2+(−1)2⋅√(−√3)2+12|√63． 20．（12分）中国政府一直鼓励国内企业加强自主研发和技术创新，并为此提供了大量的资金和政策支持．这些政策措施为国内科技企业提供了良好的发展环境，使得它们能够在短时间内取得显著的突破．现某企
业研发出一种新产品，计划生产投入市场．已知该产品的固定研发成本为280万元，此外，每生产一台该产品需另投入550元．设该企业一年内生产该产品x （0＜x ≤50）万台并委托一家销售公司全部售完．根据销售合同，当0＜x ≤2时，销售公司按零售价支付货款给该企业；当2＜x ≤50时，销售公司按批发价支付货款给该企业．已知该企业每销售1万台该产品的收入为M （x ）万元，满足M(x)={2(x −1)e x−2+2，0＜x ≤2，540+2050x −9000x 2，2＜x ≤50. （1）写出该企业的年利润P （x ）（单位：万元）关于年产量x （单位：万台）的函数关系式．（利润＝销售收入﹣固定研发成本﹣产品生产成本）
（2）当年产量为多少万台时，该企业的利润最大？求出此时的最大利润．
解：（1）当0＜x ≤2时，P （x ）＝x [2（x ﹣1）e x ﹣2+2]﹣（280+550x ）＝2x （x ﹣1）e x ﹣
2﹣548x ﹣280， 当2＜x ≤50时，P(x)=x(540+
2050x −9000x 2)−(280+550x) =540x +2050−9000x −280−550x =−10x −9000x
+1770， 所以P(x)={2x(x −1)e x−2−548x −280，0＜x ≤2−10x −9000x
+1770，2＜x ≤50； （2）当0＜x ≤2时，M （x ）＝2（x ﹣1）e x ﹣2+2，M ′（x ）＝2xe x ﹣
2＞0， M （x ）在（0，2]上单调递增，M （x ）的最大值为M （2），
即当x ＝2时，M （x ）取得最大值4万元，此时销售收入远小于投入，企业亏损，
所以最大利润一定在2＜x ≤50时取得，
此时P(x)=−10x −
9000x +1770=−(10x +9000x )+1770 ≤−2√10x ⋅9000x
+1770=−600+1770=1170， 当且仅当10x =
9000x ，即x ＝30（负值舍去）时，等号成立， 此时P （x ）取得最大值，且最大值为1170万元，
所以当年产量为30万台时，该企业的利润最大，且此时的最大利润为1170万元．
21．（12分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且acosA +acos(B −C)=2√3bcos(π−A)sinC ．
（1）求角A 的大小；
（2）若点M 为BC 的中点，点N 满足AN →
=13AC →，AB =2，AC =6，点P 为AM 与BN 的交点，求∠MPN 的余弦值．
解：（1）∵在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，acosA +acos(B −C)=2√3bcos(π−A)sinC ，
∴−acos(B +C)+acos(B −C)=−2√3bcosAsinC ，
∴a （cos B cos C +sin B sin C ﹣cos B cos C +sin B sin C ）＝﹣2√3b cos A sin C ，
∴a sin B sin C =−√3b cos A sin C ，
∴sinAsinBsinC =−√3sinBcosAsinC ，
∵sin B ≠0，sin C ≠0，
∴可得sin A =−√3cos A ，
∴可得tanA =−√3，
又∵A ∈（0，π），
∴可得A =2π3
； （2）∵点N 满足AN →=13
AC →，AB =2，AC =6，点P 为AM 与BN 的交点， 设AN →=a →，AB →=b →
，
∴AC →=3a →，
∵M 为BC 的中点，
∴AM →
=12AB →+12AC →=32a →+12b →， 又∵BN →=a →−b →，
由（1）及已知可知A =
2π3，AB ＝2，AC ＝6， ∴|a →|=2，|b →|=2，
∴可得a →⋅b →=|a →|⋅|b →|cos
2π3=2×2×（−12）＝﹣2， ∴AM →⋅BN →=32a →2−32a →⋅b →+12a →⋅b →−12
b →2=6+2﹣2＝6， |AM →
|=√AM →2=√(32a →+12b →)2=√94a →2+32a →⋅b →+14b →2=√7， |BN →|=√(a →−b →)2=√a →2−2a →⋅b →+b →2=√12=2√3，
∴cos ∠MPN =cos〈AM →，BN →〉=
AM →⋅BN →|AM →||BN →|=7×23=√217， ∴∠MPN 的余弦值为
√217． 22．（12分）设函数f （x ）＝ax 2+2ax ﹣ln （x +1）．
（1）讨论f （x ）的单调性；
（2）若f(x)+e −x ＞1x+1
在区间（0，+∞）内恒成立，求实数a 的取值范围． 解：（1）f ′(x)=2ax +2a −
1x+1=2ax 2+4ax+2a−1e x (x+1)(x ＞−1)， 当a ≤0时，f ′（x ）＜0，f （x ）在（﹣1，+∞）内单调递减；
当a ＞0时，由f ′（x ）＝0，得x =−1+
1√2a ， 所以当x ∈(−1，−1+
1√2a )时，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减； 当x ∈(−1+12a
+∞)时，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增． （2）令g(x)=1x+1−1e x ，则g(x)=e x −x−1e x (x+1)， 当a ≤0，x ＞0时，f （x ）＝a （x 2+2x ）﹣ln （x +1）＜0．
故当f （x ）＞g （x ）在区间（0，+∞）内恒成立时，必有a ＞0， 当0＜a ＜12时，−12a
0． 由（1）可知，函数f （x ）在(0，−1+
√2a )上单调递减， 即x ∈(0，−1+1√2a
)时，f （x ）＜f （0）＜g （x ），不符合题意； 当a ≥12
时，令h （x ）＝f （x ）﹣g （x ），x ＞0， 则ℎ′(x)=2ax +2a −1x+1+1(x+1)2−1e x ≥2ax +2a −x (x+1)2−1x+1 =2a(x+1)2−2(x+1)+1(x+1)2≥(x+1)2−2(x+1)+1(x+1)
2＞0， 所以h （x ）在x ＞0时单调递增，所以h （x ）＞h （0）＝0恒成立， 即f （x ）＞g （x ）恒成立，满足题意．
综上，a 的取值范围为[12
，+∞)．。