佛山市普通高中高二教学质量检测文科数学试题参考答案定稿

第16题答案图
E
P
B
A M
C
H
第16题
P
B
A M
D
C
2013年佛山市普通高中高二教学质量检测
数学试题（文科）参考答案和评分标准
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.
11．3π 12．8
13．2-
14．12 三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(
本小题满分12分)如图,已知四边形OABC 是矩形,O 是坐标原点,
O 、A 、B 、C 按逆时针排列,A
的坐标是
)
,4AB =.
(Ⅰ) 求点C 的坐标； （Ⅱ）求BC 所在直线的方程.
解: (Ⅰ)因为四边形OABC 是矩形,OA
所在直线的斜率OA k =
…2分 所以OC 的斜率为3-,OC
所在的直线方程为y =,…4分 因为4OC AB ==,设()
,C x ,
则24OC x =
==, ……………………6分
所以2x =-或2x =(舍去),所以点C 的坐标为(2,-.…………………………………………8分 （Ⅱ）因为OA 与BC , 所以BC 所在直线的斜率BC OA k k ==10分 所以BC 所在直线的方程为()23
3
32+=
-x y ,即80x +=.…………………………12分 给分说明:第 （Ⅱ）问中的直线若正确地写成一般式或斜截式均给满分.
16.(本小题满分13分)如图,在四棱锥P ABCD -中,四边形ABCD 为直角梯形,//AD BC ,90BAD ∠=︒,
PA ⊥ 底面ABCD ,且2PA AD ==,1AB BC ==,M 为PD 的中点.
(Ⅰ) 求证://CM 平面PAB ； （Ⅱ）求证:CD ⊥平面PAC .
解:(Ⅰ) 取PA 的中点E ,连结,ME BE ,…………1分 因为M 为PD 的中点,所以1//
2EM AD ,又1
//2
BC AD …………3分 所以//EM BC ,所以四边形BCME 为平行四边形, 所以//CM BE ,………………………………………5分 又BE ⊂平面PAB ,CM ⊄平面PAB ,
所以//CM 平面PAB .………………………………6分 （Ⅱ）在直角梯形ABCD 中,//AD BC ,90BAD ∠=︒,
1AB BC ==,2AD =,过C 作CH AD ⊥于H ,
由平几知识易得AC
=CD =所以222
AC CD AD +=,所以AC CD ⊥……………………9分
又PA ⊥ 底面ABCD ,CD ⊂底面ABCD , 所以PA CD ⊥…………………11分 又PA
AC A =,所以CD ⊥平面PAC .…………………13分
17.(本小题满分13分)已知圆C 经过点(0,3)A 和(3,2)B ,且圆心C 在直线y x =上. (Ⅰ) 求圆C 的方程；
（Ⅱ）若直线2y x m =+被圆C 所截得的弦长为4,求实数m 的值.
解:(Ⅰ)解法一:设圆心(,)C a a ,因为AC BC =,
=
解得1a =……………………………………………………………………………………………………4分 所以圆心(1,1)C ,
半径r AC == ……………………………………………………………………6分 所以圆C 的方程为22
(1)(1)5x y -+-= ………………………………………………………………7分
解法二:设圆C 的方程为()()()2
2
2
0x a y a r r -+-=>, ……………………………………………2分
依题意得()()()222222
332a a r a a r
⎧+-=⎪
⎨-+-=⎪⎩,………………………………………………………………………5分
解得21,5a r ==,所以圆C 的方程为22
(1)(1)5x y -+-= ………………………………………7分 解法三:依题意易得线段AB 的中垂线方程为32y x =-,……………………………………………2分
联立方程组32y x y x =⎧⎨=-⎩,解得1
1x y =⎧⎨=⎩
,所以圆心(1,1)C ,……………5分 下同解法一.
（Ⅱ）因为直线2y x m =+被圆C 所截得的弦长为4,
所以圆心(1,1)C 到直线2y x m =+
的距离1d == ……………………………10分
1=，解得
1m =-……………………………………………………………………13分
18.(本小题满分14分)
已知曲线C 上的任意一点到定点(1,0)F 的距离与到定直线1x =-的距离相等. (Ⅰ) 求曲线C 的方程；
（Ⅱ）若曲线C 上有两个定点A 、B 分别在其对称轴的上、下两侧,且||2FA =，||5FB =,求原点O 到
直线AB 的距离.
解:(Ⅰ) 因为曲线C 上的任意一点到定点(1,0)F 的距离与到定直线1x =-的距离相等.
由抛物线定义可知,C 的轨迹T 是以()1,0F 为焦点,直线1x =-为准线的抛物线,…………………4分 所以动圆圆心C 的轨迹T 的方程为24y x =.……………………………………………………………6分 （Ⅱ）由已知得)0,1(F ,设A ),(11y x (其中10y >),
由2=FA 得1,2111==+x x ,所以()1,2A …………………………………………………………9分 同理可得()4,4B -,所以直线AB 的方程为042=-+y x . ………………………………………12分 则原点O 到直线AB
的距离d =
=14分 19.(本小题满分14分)如图,在底面为平行四边形的四棱柱1111ABCD A BC D - 中,1D D ⊥底面ABCD ,1AD =,2CD =,60DCB ∠=︒. (Ⅰ) 求证:平面11A BCD ⊥平面11BDD B ； （Ⅱ）若1D D BD =,求四棱锥11D A BCD -的体积. 解: (Ⅰ) 在ABD ∆中,由余弦定理得
BD = 所以222
AD BD AB +=,所以90ADB ∠=︒,即AD BD ⊥
又四边形ABCD 为平行四边形,所以BC BD ⊥…………………………………2分 又1D D ⊥底面ABCD ,BC ⊂底面ABCD ,所以1D D BC ⊥ 又1D D
BD D =,所以BC ⊥平面11BDD B ,………………………………5分
又BC ⊂平面11A BCD ,所以平面11A BCD ⊥平面11BDD B .……6分 （Ⅱ）解法一：连结1BD
，∵1DD BD =
1BD =∵BC ⊥平面11BDD B ，所以1BC BD ⊥……………8分 所以四边形11A BCD
的面积1111
22
A BCD S BC BD =⨯
⋅⋅=取1BD 的中点M ，连结DM ，则1DM BD ⊥
，且2
DM =
又平面11A BCD ⊥平面1BDD ,平面11A BCD 平面1BDD 1BD =，
所以DM ⊥平面11A BCD ……………12分 所以四棱锥11D A BCD -的体积111
13
A BCD V S DM =
⋅⋅=……14分 第19题解法一图
D C A
A 1
B 1
C 1
D 1
M
第19题解法二图
D C A
A 1
B 1
C 1
D 1
第19题图
B
D C
A
A 1
B 1
C 1
D 1
解法二: 四棱锥11D A BCD -的体积111D A BD D BCD V V V --=+……8分 而三棱锥11D A BD -与三棱锥1D BCD -底面积和高均相等 所以11112D A BD D BCD D BCD V V V V ---=+=
111
2213
D BCD BCD V S DD -==⨯⋅⋅=………………14分
20.(本小题满分14分)已知椭圆C 的中心在原点,焦点在坐标轴上,短轴的一个端点为()0,4B ,离心率
3
5
e =.
(Ⅰ) 求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）若()0,0O 、()2,2P ,在椭圆上求一点Q 使OPQ ∆的面积最大.
解:(Ⅰ) 设椭圆C 的方程为()22
2210x y a b a b
+=>>,
依题意得3
4,
5
c b a ==,又222a b c =+,…………………………3分 所以5,4,3a b c ===, 所以椭圆C 的方程为
22
1
2516
x y +=.…5分 （Ⅱ）依题意OP =直线OP 的方程为y x =,………7分 设与OP 平行的直线l 的方程为y x m =+(0m ≠),
当l 与椭圆相切时,切点为所求的点Q ,此时OPQ ∆的面积最大. ……………………………9分
由方程组2212516
y x m
x y =+⎧⎪⎨+
=⎪⎩消元得22
4150254000x mx m ++-=(*)
由2
25004414000m ∆=+⨯⨯=
得m =12分
将m =(*)式,
解得
41
x =±
, 此时对应切点的坐标为
⎛
⎝
⎭,
⎝⎭, 易知此两点到直线
OP 的距离相等,满足题意, 从而所求点Q 的坐标为
4141⎛
-
⎝
⎭或4141⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭…………………………14分。