冀教版初中八年级上册数学课件 《反证法》

B
C B'
C'
a
a
证明：假设△ABC与△A'B'C'不全等，即
BC≠B'C'.不妨设BC<B'C'.如图，在上截取A
A
C在'D△=ACBBC，和连△A接'DACD'中. ，
'
∵AC=A'C'，∠C=∠C'， C'D=CB，∴△ABC≌△A'DC'.
c bc b
∴AB=A'D（全等三角形的对
应边相等）.
练一练 写出下列各结论的反面： （1）a//b；
a∥b
（2）a≥0； a<0
（3）b是正数；
（4）a⊥b
b是0或负 数
a不垂直 于b
【跟踪训 练】
利用反证法证明“直角三角形中至少
有一个
C
锐角不小于45°”，应先假设()
A.直角三角形的两个锐角都小于45°
B.直角三角形有一个锐角大于45°
C.直角三角形的两个锐角都大于45°
B
∴这∠与A+“三∠B角+形∠C的>内18角0°和. 等于180°证”相，题矛得的盾出结.矛论
因此，三角形有两个（或三个）盾直的是角结正的果确假.的设.不成立.
故如果三角形含有直角，那么它只能有一个直角.
反证法的步 骤：
1.提出 假设
2.推理 论证
3.得出 矛盾
4.结论 成立
假设待证命题不成立，或是命题 的反面成立.
∠Ａ＿＜＿60°，
Ａ
∠Ｂ＿＜＿60°，
∠Ｃ＿＜＿60°
Ｂ Ｃ
则 ∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ ＜ 1800
这于三＿角＿形＿三＿个＿内＿角＿的＿和＿等＿于＿＿＿＿＿ 矛盾180°不成
立 所以假设＿＿＿＿＿＿，
5.已知：a是整数，2能整除a2. 求证：2能整除a.
证明：假设命题的结论不成立，即“2 不能整除a”,因为a是整数，故a是奇数. 不妨设a=2n+1(n是整数),
∴a2=(2n+1)2=4n2+4n+1=2(2n2+2n)+1,
∴a2是奇数，则2不能整除a2，这与已知矛盾. ∴假设不成立，故2能整除a.
6.已知：如图，直线l1,l2,l3在同一平面内,
且求l1证∥l2l,3l∥3∥ll21，
： 证明：
l1
l2
P
l3
假设l3∥l2，即l3与l2相交，记交点为P
C B
已知：如图，△ABC.
求证：在△ABC中，如果它含有直角，那么它
只证能明：有假一设个△A直B角C中. 有两
A
第一步， 假设原来
个（或三个）直角，不妨
命题结由论矛盾的 不正从确这结；个果假，设判
设∠A=∠B=90°.
和其定他假已设知不
∵∠A+∠B=180°，
C
条件成出立发，，从 经过而推说论明论命
以假设为条件，结合已知条件 得推出理与. 已知条件或是正确命题相矛 盾的结论这.与“......”
相矛盾 所以假设不成立，所求证的 命题成立.
例题讲解
例1用反证法证明平行线的性质定理一：两条平 行线被第三条直线所截，同位角相等.
已知：如图，直线AB∥CD，直线EF分
别于直线AB，CD交于点G，H，∠1和 E
王戎推理方法 是:
假设“李 子甜” 树在道边则李 子少 与已知条件“树在道边而多子” 产生矛盾
假设 “李子甜”不 成立
所以“树在道边而多子,此必为苦李” 是正确的
获取新知
一起探 反证法
究 在证明一些命题为真命题时，一般用直接证明的 方法，但有时候间接证明的方法可能更方便，反 证法就是一种常见的间接证明方法. 在下面我们以第九章中“一个三角形中最多有一 个直角”为例，用反证法进行证A明.
第十七章特殊三角形
反证法
情景导入
从前有个聪明的孩子叫王戎。他7岁时, 与小伙伴们外出游玩,看到路边的李树上 结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子, 只有有人王问戎王站戎在为原什地么不，动王.戎回答说:“树 在道边而多子,此必苦李.”小伙伴摘取
一 王个戎尝是了怎一样下知果道然是李苦子李是.苦的呢? 他运用了怎样的推理方法?
条直线和已知”相矛盾.

盾
∴∠1≠∠2的假设是不成立的. 因此，∠1=∠2.
命题成 立
例2用反证法证明直角三角形全等的“斜边、
已直角知边：”如定理图 .， △ ABC 和 △ A'B'C' 中 ，
∠C=∠C'=90°，AB=A'B'，AC=A'C'.
A
A
求证：△ABC≌△A'B'C'.
'
c bc b
3.用反证法证明“如果一个三角形
没有两个相等的角，那么这个三角
形不假是设等这腰个三三角角形形”是的等第一步
腰三角形
_______
.
4.用反证法证明（填空）：
在三角形的内角中，至少有一个角不小于60°
已知：如图，∠A，∠B，∠C是△ABC的内 角求证：∠A，∠B，∠C中至少有一个角不小于600.
证明：假设所求证的结论不成立，即
B
C B'
C'
a
Da
∵在A即B∠=CA''<B'∠（A已'D知B'）<9，0°（三角形外角和大于和它
∴不A相'B邻'=的A'内D.角）.这与∠C'=90°相矛盾.因此，
∴BC∠≠B'B='C∠'A不'D成B立'，.即△ABC与△A'B'C'不全等的假设
∴不∠成A立'D.B∴'△<A9B0C°，≌△A'B'C'.
D.直角三角形有一个锐角小于45°
随堂演练
1.试说出下列命题的反面：
（1）a是实数;
（2）a大于2;
a不是实 （3）a数小于2;
a大于或等 个; 于2
a小于或等 （4于）2至少有2
没有两 个
（5一 有）个最也多没有一个; （6）两交两直条线直相线平
行;
2.用反证法证明“若a2≠b2,则a≠b”
的第假一设步是 ____. a=b
∠求2证是：同位角. ∠1=∠2.
G
2
A
B
H
1
C
D
F
证明：假设∠1≠∠假2.
M
过点G作直线MN，设使得
E
G
2
∠∵E∠GEGNN==∠∠1.1.
A
B
∴MN∥CD（基本事 推 又实∵A）B，∥CD（已知），理
H
1
CF
N D
∴过点G，有两条不同的直线AB和MN都与直线
CD平行.这与“经过已知直线外一点，有且只有一 矛
而l1∥l2,l3∥l1
这与“经过直线外一点有且只有一 条直线与已知直线平行”相矛盾，
所以假设不成立即
课堂小结
反证 法
反证法 的步骤
假设结论的反面成立 →逻辑推理得出矛盾 →肯定原结论正确