人教版初中数学《一元二次方程解法之因式分解题型汇总》专题突破含答案解析

专题03 一元二次方程解法之因式分解法题型汇总
一、单选题
1．（2020·泰兴市洋思中学）方程(2)0x x -=的解是（ ）
A ．2x =
B ．120,2x x ==
C ．120,3x x ==
D ．3
x =【答案】B
【分析】
两项相乘结果为零的一元二次方程，每一项都可为零，直接计算求解即可．
【详解】
(2)0x x -=，
0x =或20x -=，
∴ 10x =，22x =．
故选：B
【点睛】
本题考查解一元二次方程，面对简单的题目也要认真对待，养成良好答题习惯．
2．（2020·四川成都七中八一学校）一元二次方程()10x x +=的解为（ ）．
A ．10x =，21x =
B ．11x =-，20
x =C ．10x =，20x =D ．11x =，21
x =-【答案】B
【分析】
根据一元二次方程的解法直接进行求解即可．
【详解】
()10x x +=，11x =-，20x =．
故选B ．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
3．（2020·天津南开翔宇学校九年级月考）一元二次方程()()32632x x x +=+ 的解是（
）A ．6x =B ．2
3x =-
C ．16x =，223x =-
D ．16x =-，223
x =【答案】C
【分析】将等号右边的移项，然后进行因式分解求解即可．
【详解】
∵()()32632x x x +=+，
∴()()6320x x -+=，
∴6x =或23
x =-.故选C.
【点睛】
本题考查因式分解法求根，很多同学会将两边的因式约去，是没有掌握等式的性质，等式的性质是两边不能除一个不为０的因式才可以．
4．（2021·济宁市第十三中学八年级期末）定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“智慧三角形”．如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边OA ＝3，OC ＝4，点M (2，0)，在边AB 存在点P ，使得△CMP 为“智慧三角形”，则点P 的坐标为（ ）
A ．(3，1)或(3，3)
B ．(3，1
2)或(3，3)C ．(3，12)或(3，1)
D ．(3，12)或(3，1)或(3，3)【答案】D
【分析】由题意可知，“智慧三角形”是直角三角形，∠CPM ＝90°或∠CMP ＝90°，设P （3，a ），则AP ＝a ，BP ＝4−a ；分两种情况：①若∠CPM ＝90°，②若∠CMP ＝90°，根据勾股定理分别求出CP 2、MP 2、CM 2，并根据图形列出关于a 的方程，解得a 的值，则可得答案．
【详解】
解：由题意可知，“智慧三角形”是直角三角形，∠CPM＝90°或∠CMP＝90°，∴设P（3，a），则AP＝a，BP＝4−a；
①若∠CPM＝90°，在Rt△BCP中，由勾股定理得：
CP2＝BP2＋BC2＝（4−a）2＋9，
在Rt△MPA中，由勾股定理得：
MP2＝MA2＋AP2＝1＋a2，
在Rt△MPC中，由勾股定理得：
CM2＝MP2＋CP2＝1＋a2＋（4−a）2＋9＝2a2−8a＋26，
又∵CM2＝OM2＋OC2＝4＋16＝20，
∴2a2−8a＋26＝20，
∴（a−3）（a−1）＝0，
解得：a＝3或a＝1，
∴P（3，3）或（3，1）；
②若∠CMP＝90°，在Rt△BCP中，由勾股定理得：
CP2＝BP2＋BC2＝（4−a）2＋9，
在Rt△MPA中，由勾股定理得：
MP2＝MA2＋AP2＝1＋a2，
∵CM2＝OM2＋OC2＝20，
在Rt△MCP中，由勾股定理得：
CM2＋MP2＝CP2，
∴20＋1＋a2＝（4−a）2＋9，
．
解得：a＝1
2
∴P（3，1
）．
2
综上，P （3，1
2）或（3，1）或（3，3）．
故选：D ．
【点睛】
本题考查了矩形的性质及勾股定理在几何图形坐标计算中的应用，数形结合、分类讨论并根据题意正确地列式是解题的关键．
5．（2021·山东八年级期中）下列结论：①若216x =，则4x =；②方程(21)(21)x x x -=-的解为1x =；③若分式2321
x x x -+-的值为0，则1x =或2x =．正确的有（ ）A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
【答案】A
【分析】①利用直接开方法求出解，即可做出判断；②利用分解因式方法求出解，即可做出判断；③利用分式值为0的条件计算求出x 的值，即可做出判断；
【详解】
解：①若x 2＝16，则x ＝±4，错误；
②移项得：x （2x ﹣1）﹣（2x ﹣1）＝0，
（2x ﹣1）（x ﹣1）＝0，
解得：x 1＝12，x 2＝1，错误；
③根据题意得：（x ﹣1）（x ﹣2）＝0，且x ﹣1≠0，
解得：x ＝2，错误；
故选：A
【点睛】
此题考查了解一元二次方程和分式有意义的条件，熟练掌握一元二次方程的解法是解本题的关键．6．（2020·河北）已知关于x 的一元二次方程（a+1）x 2﹣2x+a 2+a ＝0有一个根为x ＝0，则a 的值为（ ）A ．0
B ．0或﹣1
C ．1
D ．﹣1
【答案】A
【分析】直接把x ＝0代入进而方程，再结合a+1≠0，进而得出答案．
解：∵关于x 的一元二次方程（a+1）x 2﹣2x+a 2+a ＝0有一个根为x ＝0，
∴a 2+a ＝0，且a+1≠0，
则a 的值为：a ＝0．
故选：A ．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的解，注意二次项系数不能为零．
7．（2021·安徽九年级专题练习）如果
2||-2-x-6x x =0，则x 等于( )A ．±2
B ．-2
C ．2
D ．3
【答案】C
【分析】
根据“当分式的分子为0，且分母不为0时，分式的值为0”得到|x|-2=0，且x 2-x-6≠0，解之即可得到答案．
【详解】解：由题意可得22060
x x x ⎧-=⎨--≠⎩解得x=2
故选C ．
【点睛】
本题考查了分式的值为0的条件．当分式的分子为0，且分母不为0时，分式的值为0．
8．（2021·广东）如图①，在矩形ABCD 中，AB ＞AD ，对角线AC ，BD 相交于点O ，动点P 由点A 出发，沿A→B→C 运动．设点P 的运动路程为x ，△AOP 的面积为y ，y 与x 的函数关系图象如图②所示，则AB 边的长为（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
【分析】
当P 点在AB 上运动时，△AOP 面积逐渐增大，当P 点到达B 点时，结合图象可得△AOP 面积最大为6，得到AB 与BC 的积为24；当P 点在BC 上运动时，△AOP 面积逐渐减小，当P 点到达C 点时，△AOP 面积为0，此时结合图象可知P 点运动路径长为10，得到AB 与BC 的和为10，构造关于AB 的一元二方程可求解．
【详解】
解：当P 点在AB 上运动时，△AOP 面积逐渐增大，当P 点到达B 点时，△AOP 面积最大为6．∴12AB·12BC=6，即AB•BC=24．
当P 点在BC 上运动时，△AOP 面积逐渐减小，当P 点到达C 点时，△AOP 面积为0，此时结合图象可知P 点运动路径长为10，
∴AB+BC=10．
则BC=10-AB ，代入AB•BC=24，得AB 2-10AB+24=0，解得AB=4或6，
因为AB ＞BC ，所以AB=6．
故选：D ．
【点睛】
本题主要考查动点问题的函数图象，解一元二次方程，解题的关键是分析三角形面积随动点运动的变化过程，找到分界点极值，结合图象得到相关线段的具体数值．
9．（2021·全国）如果关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有（ ）个；
①方程220x x --=是倍根方程；
②若()()20x mx n -+=是倍根方程，则22450m mn n ++=；
③若p 、q 满足2pq =，则关于x 的方程230px x q ++=是倍根方程；
④若方程20ax bx c ++=是倍根方程，则必有229b ac =．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】C
【分析】
①求出方程的解，再判断是否为倍根方程；②根据倍根方程和其中一个根，可求出另一个根，进而得到
m 、n 之间的关系，而m 、n 之间的关系正好适合；③当p ，q 满足2pq =，则()()2310px x q px x q ++=++=
，求出两个根，再根据2pq =代入可得两个根之间的关系，进而判断是否为倍根方程；④用求根公式求出两个根，当122x x =，或122x x =时，进一步化简，得出关系式，进行判断即可．
【详解】
解：①解方程220
x x --=（x-2）（x+1）=0，
∴x-2=0或x+1=0，
解得，12x =，21x =-，得，122x x ≠，
∴方程220x x --=不是倍根方程；
故①不正确；
②若()()20x mx n -+=是倍根方程，12x =，
因此21x =或24x =，
当21x =时，0m n +=，
当24x =时，40m n +=，
()()224540m mn n m n m n ∴++=++=，
故②正确；
③∵pq=2，则：()()2310px x q px x q ++=++=，
11x p
∴=-，2x q =-，2122x q x p ∴=-=-
=，因此是倍根方程，
故③正确；
④方程20ax bx c ++=的根为：1x =2x =
若122x x =2=，
20-=，
0=，
0b ∴+=，
b ∴=-，
()2294b ac b ∴-=，
229b ac ∴=．
若122x x =2，
20=，
0=，
0b ∴-+=，
b ∴=，
()2294b b ac ∴=-，
229b ac ∴=．
故④正确，
∴正确的有：②③④共3个．
故选：C ．
【点睛】
本题考查一元二次方程的求根公式，新定义的倍根方程的意义，理解倍根方程的意义和正确求出方程的解是解决问题的关键．
第II 卷（非选择题）
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二、填空题
10．（2021·广西北海·九年级期末）一元二次方程(3)(x 5)0x -+=的两个实数根是_________．
【答案】1235
x x ==-，【分析】
由(3)(x 5)0x -+=，可得：30x -=或50,x += 从而可得答案．
【详解】
解：(3)(x 5)0
x -+=30x ∴-=或50,x +=
123, 5.x x ∴==-
故答案为：123, 5.
x x ==-【点睛】
本题考查的是利用因式分解解一元二次方程，掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键．11．（2021·辽宁）关于x 的方程x 2+nx ﹣6=0有一个根为2，则方程的另一个根为____．
【答案】x =-3
【分析】
将x=2代入方程中求出n 的值，然后再求解方程即可．
【详解】
解：将x=2代入方程，得到：4+2n-6=0，解得n=1，
此时方程变形为：x 2+x ﹣6=0，
解该方程得到：(x+3)(x-2)=0，
解得两个根为：-3和2，
故方程的另一个根为-3．
故答案为：x =-3．
【点睛】
本题考查了方程解的定义及一元二次方程的解法，属于基础题，计算过程中细心即可．
12．（2021·赣州市赣县区教育教学研究室九年级一模）如图，四边形ABCD 是一张正方形纸片，其面积为25cm 2．分别在边AB ，BC ，CD ，DA 上顺次截取AE=BF=CG=DH=acm （AE >BE ），连接EF ，FG ，GH ，HE ．分别以EF ，FG ，GH ，HE 为轴将纸片向内翻折，得到四边形A 1B 1C 1D 1，若四边形A 1B 1C 1D 1的面积为9cm 2，则a =______．
【答案】4
【分析】
根据正方形的面积可得正方形的边长为5，根据正方形的面积和折叠的性质和面积的和差关系可得8个三角
形的面积，进而得到1个三角形的面积，再根据三角形面积公式即可求解．
【详解】
解：∵四边形ABCD 是一张正方形纸片，其面积为25cm 2，
∴正方形纸片的边长为5cm ，
∵AE =BF =CG =DH =acm ，
∴BE =AH =（5-a ）cm ，
又∠A =∠B =90°，
∴△AHE ≌△BEF （SAS ），
同理可得△AHE ≌△BEF ≌△DGH ≌CFG ，
由折叠的性质可知，图中的八个小三角形全等．
∵四边形A 1B 1C 1D 1的面积为9cm 2，
∴三角形AEH 的面积为（25-9）÷8=2（cm 2），
1
2a （5-a ）=2，
解得a 1=1（舍去），a 2=4．
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了折叠问题，正方形的性质，三角形的面积，关键是熟练运用这些性质解决问题．13．（2021·浙江八年级期中）已知关于x 的一元二次方程20x bx c ++=的两个根为123,5x x ==，则关于x 的方程2(21)(21)0x b x c ++++=的解为______．
【答案】1或2
【分析】
先将123,5x x ==代入20x bx c ++=得到二元一次方程组9302550b c b c ++=⎧⎨++=⎩，解得815b c =-⎧⎨=⎩，将815b c =-⎧⎨=⎩
代入2(21)(21)0x b x c ++++=中，然后分解因式进行求解即可．
【详解】
解：∵关于x 的一元二次方程20x bx c ++=的两个根为123,5x x ==，
∴先将123,5x x ==代入20x bx c ++=得：
9302550b c b c ++=⎧⎨++=⎩，
解得：815b c =-⎧⎨=⎩
，将815
b c =-⎧⎨=⎩代入2(21)(21)0x b x c ++++=中得：2(21)(21)8150x x +++=-，
∴(213)(215)0x x +-+-=，
∴220,240x x -=-=，
∴341,2x x ==，
故答案为：1或2．
【点睛】
本题主要考查了二元一次方程组与用因式分解法求解一元二次方程，用十字相乘法进行正确的因式分解是解题的关键．
14．（2021·湖北九年级一模）已知实数a ，b ，c ，d 满足
a b ad bc c d =-，若3822a a a
=，则a =________．
【答案】4或1
-【分析】
已知等式利用题中的新定义化简，整理得到，原式化简后代入计算即可求出值．
【详解】解：根据题中的新定义得：3232822a a a a a a
=⋅-⋅=，即2340a a --=，因式分解得：()()410a a -+=，
解得：1241a a ==-，．
故答案为：4或1-．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，正确理解新定义、熟练掌握运算法则是解本题的关键．
15．（2021·广东九年级二模）定义新运算“*a b ”：对于任意实数a 、b ，都有()()*1a b a b a b =+--，例
()()4*343431716=+--=-=．若*24x x =，则x 的值为___________．
【答案】5或-1
【分析】
根据新运算的定义列出方程，然后解方程求得x 的值即可．
【详解】
解：由题意得：（x +2）（x -2）-1=4x ，
整理得：x 2-4x -5=0，
解得：x 1=-1，x 2=5．
故答案为：5或-1．
【点睛】
本题考查了平方差公式和解一元二次方程，解题的关键是根据新定义运算法则得到关于x 的方程．16．（2021·哈尔滨市第四十九中学校）已知等边ABC V ，AE BD =，连接AD ，CE 交于点F ，连接BF ，
BF =5CF =，若2AF >时，则AC =__________．
【答案】7
【分析】
延长AD 至G 点，使得FG =FC ，连接BG ，CG ，作BH ⊥DG 于H 点，通过条件证明△ABD ≌△CAE ，得到△FGC 为等边三角形，再分别在Rt △BHG ，Rt △BFH ，和Rt △ABH 中运用勾股定理求解即可．
【详解】
如图所示，延长AD 至G 点，使得FG =FC ，连接BG ，CG ，作BH ⊥DG 于H 点，
∵△ABC 是等边三角形，
∴AB =CA ，∠ABD =∠CAE =60°，
∵AE =BD ，
∴△ABD ≌△CAE ，
∴∠BAD =∠ACE ，
∴∠DFC =∠CAF +∠ACE =∠CAF +∠BAD =∠BAC =60°，
∴△FGC 为等边三角形，
∴∠FCG =60°，FC =GC ，
∵∠ACB =60°，AC =BC ，
∴△ACF ≌△BCG ，
∴AF =BG ，∠AFC =∠BGC =120°，
∴∠BGH =60°，
在Rt △BHG 中，设GH =x ，则BG =2x ，BH ，
∴FH =FG -GH =5-x ，
则在Rt △BFH 中，()221935x x =+-，解得：132x =
，21x =（不符合题意，舍去）
∴GH =32
，BG =AF =2GH =3，FH =72，BH ∴AH =AF +FH =132
，
在Rt △ABH 中，7AB ==，∴AC =AB =7，
故答案为：7．
【点睛】
本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理解三角形等，灵活结合等边三角形的性质以及常见证明全等的模型构造出辅助线是解题关键．
17．（2021·辽宁九年级期末）阅读理解：对于()321x n x n -++这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因
式：()()()()3232222()()(1)()1x n x n x n x x n x x n x n x x n x n x n x n x nx -++=--+=---=+-=-+--一理解
运用：如果()3210x n x n -++=，那么()2(10)x n x nx -+-=，即有0x n -=或210x nx +-=，因此，方程
0x n -=和210x nx +-=的所有解就是方程()321x n x n -++=0 的解．解决问题：求方程31030x x -+=的解
为___________．
【答案】1233,x x x ==
=【分析】
通过因式分解的方法把方程左边分解因式，这样把原方程转化为x−3＝0或x 2＋3x−1＝0，然后解一次方程和一元二次方程即可．
【详解】
解：∵x 3−10x ＋3＝0，
∴x 3−9x−x ＋3＝0，
x （x 2−9）−（x−3）＝0，
（x−3）（x 2＋3x−1）＝0，
∴x−3＝0或x 2＋3x−1＝0，
∴1233,x x x ===．
故答案为：1233,x x x ==
=【点睛】
本题考查了高次方程：通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程．也有的通过因式分解来解．也考查了公式法解一元二次方程．18．（2020·浙江）如图，把矩形纸片ABCD （BC CD >）沿折痕DE 折叠，点C 落在对角线BD 上的点P 处；展开后再沿折痕BF 折叠，点C 落在BD 上的点Q 处；沿折痕DG 折叠，点A 落在BD 上的点R 处．若4PQ =，7PR =，则BD =___________．
【答案】13
【分析】
由折叠的性质可得CD=PD ，AD=DR ，BC=BQ ，由勾股定理可得（CD+7+CD -4）2=（CD+7）2+CD 2，可求CD=5，由勾股定理可求解．
【详解】
解：∵四边形ABCD 是矩形，
∴AD=BC ，∠C=90°，
由折叠的性质可得：CD=PD ，AD=DR ，BC=BQ ，
∵PQ=4，PR=7，
∴PQ=BQ-（BD-PD ）=BC -BD+CD=4，PR=AD -PD=BC -CD=7，
∴BD=BC+CD -4，BC=CD+7，
∵BD 2=BC 2+CD 2，
∴（CD+7+CD -4）2=（CD+7）2+CD 2，
∴CD 1=5，CD 2=-4（舍去），
∴BC=12，
∴13==，
故答案为：13．
【点睛】
本题考查了翻折变换，矩形的性质，利用勾股定理列出方程是本题的关键．
19．（2020·浙江）定义[]x 表示不超过实数x 的最大整数，如[1.8]1,[ 1.4]2,[3]3=-=--=-，函数[]y x =的图象如图所示，则方程21[]2
x x =的解为_________．
【答案】02【分析】
根据新定义和函数图象讨论：当2≤x＜3时，则1
2x2=2；当1≤x＜2时，则1
2
x2=1；当0≤x＜1时，则1
2
x2=0；
当-1≤x＜0时，则1
2x2=-1；当-2≤x＜-1时，则1
2
x2=-2；然后分别解关于x的一元二次方程即可．
【详解】
解：当2≤x＜3时，1
2
x2=2，解得x=2或x=-2（舍）；
当1≤x＜2时，1
2
x2=1，解得x1，x2（舍去）；
当0≤x＜1时，1
2
x2=0，解得x=0；
当-1≤x＜0时，1
2
x2=-1，方程没有实数解；
当-2≤x＜-1时，1
2
x2=-2，方程没有实数解；
所以方程[x]=1
2
x2的解为02，
故答案为：0或2．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了实数的大小比较．
20．（2021·浙江八年级期末）如图1，在▱ABCD中（AB＞BC），∠DAB＝60°，对角线AC，BD相交于点E，动点P由点A出发，沿A→B→C运动．设点P的运动路程为x，△AEP的面积为y，y与x的函数关系图象如图2所示，当△AEP为等腰三角形时，x的值为___．
【答案】
198【分析】
当点P 到达点B 时，△AEP 的面积为△AEP ，则12×AB )，解得AB •BC =24，而AB +BC =10，可求得AB 、BC 的长，再分AP =PE 和AP =AE 两种情况讨论即可求解．
【详解】
解：从图象看，当点P 到达点B 时，△AEP 的面积为
过点E 、点C 作AB 的垂线，分别交直线AB 于G 、F ，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD =BC ，AD ∥BC ，AE =EC ，
∴EG ∥CF ，EG =12CF ，
∵∠DAB =60°，
∴∠CBF =60°，即∠BCF =60°，
∴BF =12BC ，CF ==，
此时△AEP 的高为EG =12CF ，
∴△AEP 的面积=12×AB )=AB •BC =24①，而从图②看，AB +BC =10②，
联立①②并解得64
AB BC =⎧⎨=⎩，
∴EG ，CF BF =2，则AF=8，AG=4，
∴==
∴AE=12，当AP =PE =x 时，如图，
PG=4-x ，
由勾股定理得：()2224x x +-=，解得：x =198
；当AP =AE =x 时，如图，
x =AE ；
综上，当△AEP 为等腰三角形时，x 的值为
198；
故答案为：
198
．【点睛】
本题考查的是动点问题的函数图象，平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．注意分类讨论的应用．
三、解答题
21．（2021·江苏九年级期中）解下列方程：
（1）x 2+4x ﹣1＝0；
（2）(x ﹣1)(x +3)＝5(x ﹣1)．
【答案】（1）x 1＝﹣x 2＝﹣2（2）x 1＝1，x 2＝2．【分析】
（1）利用公式法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可．
【详解】
解：（1）x2+4x﹣1＝0，
∵a＝1，b＝4，c＝﹣1，
∴△＝42﹣4×1×(﹣1)＝20＞0，
则x﹣2
即x1＝﹣x2＝﹣2
（2）(x﹣1)(x+3)＝5(x﹣1)，
(x﹣1)(x+3)﹣5(x﹣1)＝0，
(x﹣1)(x﹣2)＝0，
则x﹣1＝0或x﹣2＝0，
解得x1＝1，x2＝2．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法，解题关键是熟记求根公式，熟练运用因式分解法解一元二次方程．22．（2020·南京市宁海中学八年级开学考试）阅读材料
方程x2-x-2=0中，只含有一个未知数且未知数的次数为2，像这样的方程叫做一元二次方程，把方程的左边分解因式得到（x-2）（x+1）=0．我们知道两个因式乘积为0，其中有一个因式为0即可，因此方程可以转化为x-2=0或x+1=0，
解这两个一次方程得：x=2或x=-1．
所以原方程的解为：x=2或x=-1．
上述将方程x2-x-2=0，转化为x-2=0或x+1=0的过程，是将二次降为一次的”降次”过程，从而使问题得到解决．
仿照上面降次的方法解决下列问题：
（1）解方程：x2-3x=0
（2）知识迁移：
根据有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负”，尝试解不等式：（x-3）（x+1）＜0．
【答案】（1）x1=0，x2=3；（2）-1＜x＜3．
【分析】
（1）根据题意进行因式分解解方程即可；
（2）根据题意解不等式组即可.
【详解】
解：（1）因式分解得：x （x -3）=0
x =0或x -3=0
解得：x 1=0，x 2=3．
（2）知识迁移：
根据有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负”，尝试解不等式：（x -3）（x +1）＜0．
不等式可化为：3010x x -⎧⎨+⎩＜＞或3010x x -⎧⎨+⎩
＞＜，解不等式组3010x x -⎧⎨+⎩＜＞得31
x x ⎧⎨-⎩＜＞，
∴不等式的解集为13x -<<；
解不等式组3010x x -⎧⎨+⎩＞＜得31
x x ⎧⎨-⎩＞＜
∴此时不等式无解；
∴综上所述：-1＜x ＜3．
∴不等式的解集为：-1＜x ＜3．【点睛】
本题主要考查了解一元二次方程和解一元二次不等式组，解题的关键在于能够准确读懂题意进行求解.23．（2021·云南九年级期末）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣4x ＋m ＝0
（1）当m 为何值时，方程有两个相等的实数根；
（2）当m ＝﹣12，求此一元二次方程的根．
【答案】（1）4；（2）x 1＝6，x 2＝﹣2．
【分析】
（1）若一元二次方程有两等根，则根的判别式Δ＝b 2﹣4ac ＝0，建立关于m 的方程，求出m 的取值；（2）把m 的值代入方程，利用因式分解法求解即可．
【详解】
解：（1）∵b 2﹣4ac ＝16﹣4m ，
∴16﹣4m ＝0时，方程有两个相等的实数根，
解得：m ＝4，
即m ＝4时，方程有两个相等的实数根．
（2）当m ＝﹣12时，方程为x 2﹣4x ﹣12＝0，
（x ﹣6）（x ＋2）＝0，
解得，x 1＝6，x 2＝﹣2．
【点睛】
本题考查一元二次方程根的判别式、十字相乘法求一元二次方程的解等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
24．（2021·全国九年级课时练习）当m 是何值时，关于x 的方程()2222(1)43m x m x x ++--=分别满足：
（1）是一元二次方程；
（2）是一元一次方程；
（3）若该方程是一元二次方程，且2x =-是它的一个根，求m 的值．
【答案】（1）1m ≠±；（2）1m =-；（3）32
m =
【分析】
（1）先把原方程合并同类项，然后根据一元二次方程的定义求解即可；
（2）同（1）原理先把方程合并同类项，然后根据一元一次方程的定义求解即可；
（3）把2x =-代入关于x 的一元二次方程中得到关于m 的方程，求解即可.
【详解】
解：（1）∵()2222(1)43m x m x x ++--=，
∴()2223(1)40m x m x +-+--=即()2201(1)4m x m x +--=-，
∵方程()2222(1)43m x m x x ++--=是一元二次方程，
∴210m -≠，
∴1m ≠±；
（2）∵()2222(1)43m x m x x ++--=，
∴()2223(1)40m x m x +-+--=即()2201(1)4m x m x +--=-，
∵方程()2222(1)43m x m x x ++--=是一元一次方程，
∴210m -=且10m -≠，
∴1m =-；
（3）∵2x =-是一元二次方程()2222(1)43m x m x x ++--=的一个根，
∴()()()()22
222(1)2432m m +⨯-+-⨯--=⨯-，且1,m ≠±∴ 2230m m --=，
∴()()2310m m -+=，解得32
m =或1m =-（舍去）.【点睛】
本题主要考查了一元二次方程和一元一次方程的定义，解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
25．（2021·上海闵行区·八年级期中）学校组织八年级部分学生乘坐甲、乙两辆大客车到洋山深水港参观，已知连接临港新城和深水港的东海大桥全长30千米，假设两车都匀速行驶，甲车比乙车早6分钟上桥，但由于乙车每小时比甲车多行10千米，所以甲、乙两车同时下桥，求甲车的速度．
【答案】甲车的速度为50km/h
【分析】
设甲车的速度的速度为km/h x ，则乙车的速度为()10km/h x +，根据甲的时间=乙的时间+110
，列方程即可解
决．
【详解】
解：设甲车的速度的速度为km/h x ，则乙车的速度为()10km/h x +.由题意：303011010
x x =++，整理得，21030000x x +-=，解得50x =或-60，
经检验：50x =或-60都是分式方程的解，
但是60x =-不符合实际意义，所以50x =，
答：甲车的速度为50km/h ．
【点睛】
本题主要考查分式方程的应用，找等量关系是解应用题的关键，注意解分式方程时必须检验，列方程时注意时间单位是小时，属于常考题型．
26．（2021·龙口市教学研究室八年级期中）阅读下面材料：
方程42680x x -+=是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是设2x y =，则42x y =，
∴原方程可化为y y -+=2680，解方程求得y 的值，进而得到原方程的四个根1x =，2x =32x =，42x =-．
以上方法叫做换元法，通过换元达到降次的目的，体现了数学的转化思想，运用上述方法解答下列问题．（1）解方程()()222233320x x x x +-+-=；
（2）已知实数a 满足(222310a a ++-=+2的值．
【答案】（1）1x =
，2x 3x =，4x =（2）3-【分析】
（1）设23y x x =+，则由已知方程得到：22320y y --=，利用因式分解法求得该方程的解，然后解关于x 的一元二次方程；
（2）设2=y a ，则由已知方程得到：23100y y --=，利用因式分解法求得该方程的解即可．
【详解】
解：（1）设23y x x =+，
则22320y y --=，
解得12y =，212
y =-，当232x x +=，
即2320x x +-=时，
解得x =
；当2132+=-x x ，即21302
x x ++=时，
解得=x ；综上所述，原方程的解为：
1x 2x 3x =4x
（2）解：（1）设2=y a ，则由已知方程代入化简得到：23100y y --=，
解得12y =-，25y =，
因为2+a 0，所以12y =-不符合， y 值只能为5；
即有25+=a ，解得25a =-
，
综上所述：23=-【点睛】
本题主要考查了换元法，即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的．
27．（2021·江门市第二中学九年级月考）解某些高次方程或具有一定结构特点方程时，我们可以通过整体换元的方法，把方程转化为一元二次方程进行求解，从而达到降次或变复杂为简单的目的．
例如：解方程（x 2﹣3）2﹣5（3﹣x 2）+2＝0，
如果设x 2﹣3＝y ，∵x 2﹣3＝y ，∴3﹣x 2＝﹣y ，用y 表示x 后代入（x 2﹣3）2﹣5（3﹣x 2）+2＝0得：
y 2+5y +2＝0．
应用：请用换元法解下列各题
（1）已知（x 2+y 2+1）（x 2+y 2+3）＝8，则x 2+y 2的值；
（2）解方程：22110x x x x
+++=；（3）已知a 2+ab ﹣b 2＝0（ab ≠0），求
a b 的值．
【答案】（1）1；（2）1x =-；（3【分析】（1）令22t x y =+可得(1)(3)8t t ++=，求解一元二次方程即可；
（2）令1t x x =+，则22212x t x
+=-，原方程可化为220t t +-=，求得t ，即可求解；（3）因为0ab ≠所以0b ≠，方程两边同时除以2b ，可得2(10a a b b
+-=，令a t b =，方程可化简为210t t +-=，求解方程即可．
【详解】
解：（1）令22t x y =+，则0t ≥，原方程可化为(1)(3)8
t t ++=即2450t t +-=，(5)(1)0t t +-=，解得5t =-或1
t =又∵0
t ≥∴1
t =所以，x 2+y 2的值为1
（2）令1t x x =+，则22212x t x +=-原方程22110x x x x
+++=可化为220t t +-=即(2)(1)0+-=t t ，解得2t =-或1
t =当2t =-时，即1=-2x x
+，2210x x ++=，即2(1)0
x +=解得1
x =-当1t =时，1=1x x
+，210x x -+=判别式2141130∆=-⨯⨯=-<，方程无解综上所述，22110x x x x
+++=的解为1x =-（3）∵0
ab ≠∴0a ≠，0
b ≠220
a a
b b +-=两边同时除2b 可得：2()10a a b b
+-=令a t b
=，可化为210t t +-=，215(24t +=
解得t =t
∴a b =或a b =【点睛】
此题考查了一元二次方程的求解方法，涉及了完全平方公式，解题的关键是掌握一元二次方程的求解方法以及整体代换的思想．。