《直线与圆的位置关系》PPT课件 (公开课获奖)2022年苏科版 (16)
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A
F
E
O
B
C D
试一试
如图，在△ABC中， ∠A=60 ° ，点O是 内心，求∠ BOC的度数.
A
如果∠ A＝90 ° ，∠ BOC= 135 °
O
如果∠ A=120° ， ∠ BOC = 150 °
B
C
因∠此BO：C在＝△ABC中90，°∠＋A＝12 n
° n
，点O是△ABC的内心， °
例接圆2 于：E点。I是求△证A：BECB的=内EI心=E，CAI交BC于D，交外
例3 求等边三角形的内切圆半径r与
外接圆半径R的比.
A
解：由等腰三角形底边
上的中垂线与顶角平分
O
线重合的性质知，等边
R
r
三角形的内切圆与外接
B
圆是两个同心圆。设内
D
C
切圆切BC于D，连结OB，
OD于是就有
r R
OD OB
1 2
练习：
1、如图， AB已 C内 知 心 为 BOO C, =, 且 11
证明(1)
【小结】
通过今天的学习，你学会了什么？ 你会正确运用吗？通过这节课的学习， 你有什么感受呢，说出来告诉大家.
证明(1)
【课后作业】
1. 课本P149练一练第1、2、3题.
2.〔选做题〕一位老农有一块地，形状是平行
四边形，地里有一口水井，他将水井与地的4角
分别相连，把地分成4块，然后对他的儿子说： “地分给你们了，每人各取相对的两块；水井不
心，它是_角__平__分__线_的交点。
判断题：
1、三角形的内心到三角形各个顶点的距离相等( ) 2错、三角形的外心到三角形各边的距离相等 〔 〕 3、等边三角形的内心和外心重合； 〔 〕 错 4、三角形的内心一定在三角形的内部〔 对〕
对
例1.在△ABC中，内切圆O与边BC、CA、AB分 别相切于点D、E、F，∠B=60度， ∠C=70 度，求∠EDF的度数
〔2〕外心不一 定在三角形的 内部．
内心（三 角形内切 圆的圆心）
三角形三条 角平分线的 交点
B
〔1〕到三边的距
A
离相等；
〔2〕OA、OB、OC
பைடு நூலகம்
O
分别平分∠BAC、
∠ABC、∠ACB；
C 〔3〕内心在三角 形内部．
1、 如图1，△ABC是⊙O的 内接 三 A
角形。⊙ O是△ABC的 外接 圆，点 O叫△ABC的 外心，它是三角形
①经过三角形各顶点的圆叫三角形的外接圆。 ②与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆。
画圆的关键：
1、确定圆心
2、确定半径
三角形的外接圆的圆心是各边垂直平分线的交点；其半 径是交点到顶点的距离。
三角形的内切圆的圆心是各内角平分线的交点；其半径 是交点到一边的距离。
定义
定义：和多边形各边都相切的圆
D
叫做 多边形的内切 圆 ，这个 多边形叫做 圆的外切多边形 。
如图，△ABC的内切圆的半径为r, △ABC的周长为l,
求△ABC的面积S.
A
解：设△ABC的内切圆与三边相切于D、E、F，
连结OA、OB、OC、OD、OE、OF， D
F
· 那么OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC. O
∴S△ABC＝S△AOB＋S△BOC ＋S△AOC B
＝
1 2
AB·OD＋
1 2
BC·OE＋
证明(1)
【数学实验二】如图，〔1〕画∠AOB＝90°，并画
∠AOB的角平分线OC.
〔2〕将三角尺的直角顶点落在OC的任意一点P上，
使三角尺的两条直角边与∠AOB的两边分别交于点
E、F，并比较PE、PF的长度；
A
〔3〕把三角尺绕点P旋转，
C
比较PE与PF的长度. 你能得到什么结论？你的
P E
结论一定成立吗？与同学交流 ．
A
B
C
作圆: 使它和三角形的各边都相切
：△ABC
求作：⊙O,使它与△ABC的各边都相切
A
作法：
N
O B
D
1、作∠ B, ∠ C的平分线 BM和CN，交点为O；
M
2、过点O作OD BC，垂 足为D；
C3径、那作以么圆OO⊙为。O圆就心是，O所D求为的半
想一想：根据作法,与三角形各边都相切的圆 能作出几个？ 为什么？
自然界中看到的景象是真实存在的吗?
证明(1)
【探究活动一】先猜一猜图中的两条线段AB与CD哪一条 长一些？
A
C
B
D
请再量一量证实你的猜测．
证明(1)
【探究活动二 】图〔1〕中有曲线吗？请把图 〔2〕中编号相同的点用线段连接起来.
（图1）
1 2 3 4 5 6 7 8
12 345 678
（图2）
证明(1)
则 A= 40°.
2、已知三角形ABC的外心为O，且∠BOC=110°则 ∠A=____55或12_5_度。 3、三角形ABC中， ∠A= 50°,I是三角形的内心，
O是三角形的外心，那么∠ BIC=_1_1_5_°__ ∠ BOC=____1_0_0_°_
直角三角形的内切圆
:如图,⊙O是Rt△ABC的内切圆,∠C
G .O
E
F
如上图，四边形DEFG是⊙O的 外切 四边形，
⊙O是四边形DEFG的 内切 圆.
思考:我们所学的平行四边形，矩形，菱形，正方 形，等腰梯形中，哪些四边形一定有内切圆？
(菱形，正方形一定有内切圆)
名称
确定方法
图形
性质
外心 〔三角 形外接 圆的圆 心〕
三角形三边
中垂线的交
点
B
A O
C
〔1〕OA=OB=OC；
分，两家共用．〞精明的弟弟要求先选，在看到
土地后果断地选择了①、③两地，同学们，老实
的哥哥吃亏了吗？
④
① 水井
③
②
是直角,AC=3,BC=4.
A
求⊙O的半径r.
D
r 3 4 5 1. 2
O
●┗
F
┓
B
EC
三角形的内切圆
:如图,△ABC的面积S=4cm2,周 长等于10cm. 求内切圆⊙O的半径r.
B
老师提示:
△ABC的面积=△AOB的面积 +△BOC的面积+△AOC的面积.
A
D
F
O
●
┓
E
C
三角形的内切圆的有关计算
画三角形的内切圆: 画角平分线→定内心→定半径→画圆→结论
2、内心性质:
内心到三角形三边的距离相等； 内心与顶点连线平分内角。
名称
确定方法
图形
性质
外心 〔三角 形外接 圆的圆 心〕
三角形三边
中垂线的交
点
B
A O
C
〔1〕OA=OB=OC；
〔2〕外心不一 定在三角形的 内部．
内心（三 角形内切 圆的圆心）
1 2
AC·OF
＝
1 2
l·r
C E
设△ABC的三边为a、b、c，面积为S，
那么△ABC的内切圆的半径 r＝a＋2bS＋c
如图，有三条两两相交的公路a、b、c,今要在 公路旁修一加油站P，使P到三条路的距离相等， 你认为应修于何处？有几个选点方法？
a b
c
1、定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角 形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心， 这个三角形叫做圆的外切三角形。
．O
三_边__中__垂__线__的交点。
B
C
图1
2的、圆定叫1义做：三和角三形角的形内各切边圆都相，切
D
．I
内切圆的圆心叫做三角形 的 内心 ，这个三角形叫做
E
图2
F
_圆__的__外__切__三__角_形 3、如图2，△DEF是⊙I的 外切 三角形， ⊙I是△DEF的 内切 圆，点I是 △DEF的_内____
• 1.点P在⊙上，过点P作⊙O的切线。
P O
• 2.点D、E、F在⊙上，分别过点D、E、F 作⊙O的切线，三条切线两两相交于点A、 B、C.
C
F
O
B
D
E
A
李明在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三角 形废料进行加工：裁下一块圆形用料，且使圆的面积最 大。
以下图是他的几种设计，请同学们帮他确定一下。
O
F B
证明(1)
【能力检测 】 1．你认为大圆内的10个小圆的 周长之和与另一个大圆内的2个小圆的周长之和 哪一个大一些？请你猜一猜，并用学过的知识 和数学方法验证你的猜测．
证明(1)
【能力检测】 2．今年五一节期间，王老板在其 经营的服装店里卖出两件衣服，其中一件是裤 子售价为168元，盈利20％，一件是夹克衫售价 也是168元，但亏损20％，问王老板在这次的交 易过程中是赚了还是亏了，如果是赚了，赚了 多少？如果是亏了，亏了多少？还是不赚不亏？
三角形三条 角平分线的 交点
B
〔1〕到三边的距
A
离相等；
〔2〕OA、OB、OC
O
分别平分∠BAC、
∠ABC、∠ACB；
C 〔3〕内心在三角 形内部．
证明〔1〕
证明(1)
【情境引入】同学们听说过或见过海市蜃楼吗？ 夏天，平静无风的海面或沙漠上，有时能看到楼 台、亭阁、集市、庙宇等虚幻景象出现在远方的 空中……
证明： 连结BI ∵I是△ABC的内心 ∴∠3=∠4, ∠ 1= ∠ 2， ∵ ∠ 1= ∠ 2 ∴ BE =EC ∴ ∠ 1= ∠ 5 , EB=EC ∴ ∠ 1+ ∠ 3= ∠ 4+ ∠ 5 ∴ ∠ BIE= ∠ IBE ∴ EB=EI
又 ∵EB=EC ∴EB=EI=EC
A
12
I
3
B
4 5
D
C
E
【数学实验一】〔1〕在提供的模板中取两个直
角三角形和两个直角梯形，按图①拼成8×8的
正方形，用胶带粘好.
〔2〕用同样的两个直角三角形和两个直角梯
形，能按图②恰好拼成13×5的矩形吗？动手试
一试！ 3
5
3 5
8
5
8 3
5
5
5
3
3
3
5
（图①）
5
8
（图②）
请同学们再计算一以下图①、图②的面积，你发
现了什么？
概念：
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内
切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个 三角形叫做圆的外切三角形。
A
类似地，和多边形的各边
都相切的圆叫做多边形的
内切圆，这个多边形叫做
圆的外切多边形。
O
B
C
三角形的外接圆与内切圆的比较
1、什么是三角形的外接圆与内切圆？ 2、如何画出一个三角形的外接圆与内切圆？
【感悟归纳 】 从以上两个探究活动中，你有什么感悟啊？
实验、观察、操作是人们认识事物的重要手段， 但仅凭实验、观察、操作是不够的，所以正确地认识 事物，不能单凭直觉，还要加以证实！
证明(1)
【例1】有两条如下图小路，这两条小路哪个长？ 这两条小路的面积怎样？
证明(1)
【例2 】小明和小林在研究代数式2－2m＋m2的
值的情况时，得出了两种不同的结论.
小明填写表格:
m
－2 0 4 6 ……
2－2m＋m2 10 2 10 26 ……
小林填写m表格: －6 －4 2
2－2m＋m2 50 26 2
0 …… 2 ……
请你再取一些m的值代入代数式算一算，说 明小明和小林的结论是否正确．你是否有新的发 现？新的结论？
证明(1)
F
E
O
B
C D
试一试
如图，在△ABC中， ∠A=60 ° ，点O是 内心，求∠ BOC的度数.
A
如果∠ A＝90 ° ，∠ BOC= 135 °
O
如果∠ A=120° ， ∠ BOC = 150 °
B
C
因∠此BO：C在＝△ABC中90，°∠＋A＝12 n
° n
，点O是△ABC的内心， °
例接圆2 于：E点。I是求△证A：BECB的=内EI心=E，CAI交BC于D，交外
例3 求等边三角形的内切圆半径r与
外接圆半径R的比.
A
解：由等腰三角形底边
上的中垂线与顶角平分
O
线重合的性质知，等边
R
r
三角形的内切圆与外接
B
圆是两个同心圆。设内
D
C
切圆切BC于D，连结OB，
OD于是就有
r R
OD OB
1 2
练习：
1、如图， AB已 C内 知 心 为 BOO C, =, 且 11
证明(1)
【小结】
通过今天的学习，你学会了什么？ 你会正确运用吗？通过这节课的学习， 你有什么感受呢，说出来告诉大家.
证明(1)
【课后作业】
1. 课本P149练一练第1、2、3题.
2.〔选做题〕一位老农有一块地，形状是平行
四边形，地里有一口水井，他将水井与地的4角
分别相连，把地分成4块，然后对他的儿子说： “地分给你们了，每人各取相对的两块；水井不
心，它是_角__平__分__线_的交点。
判断题：
1、三角形的内心到三角形各个顶点的距离相等( ) 2错、三角形的外心到三角形各边的距离相等 〔 〕 3、等边三角形的内心和外心重合； 〔 〕 错 4、三角形的内心一定在三角形的内部〔 对〕
对
例1.在△ABC中，内切圆O与边BC、CA、AB分 别相切于点D、E、F，∠B=60度， ∠C=70 度，求∠EDF的度数
〔2〕外心不一 定在三角形的 内部．
内心（三 角形内切 圆的圆心）
三角形三条 角平分线的 交点
B
〔1〕到三边的距
A
离相等；
〔2〕OA、OB、OC
பைடு நூலகம்
O
分别平分∠BAC、
∠ABC、∠ACB；
C 〔3〕内心在三角 形内部．
1、 如图1，△ABC是⊙O的 内接 三 A
角形。⊙ O是△ABC的 外接 圆，点 O叫△ABC的 外心，它是三角形
①经过三角形各顶点的圆叫三角形的外接圆。 ②与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆。
画圆的关键：
1、确定圆心
2、确定半径
三角形的外接圆的圆心是各边垂直平分线的交点；其半 径是交点到顶点的距离。
三角形的内切圆的圆心是各内角平分线的交点；其半径 是交点到一边的距离。
定义
定义：和多边形各边都相切的圆
D
叫做 多边形的内切 圆 ，这个 多边形叫做 圆的外切多边形 。
如图，△ABC的内切圆的半径为r, △ABC的周长为l,
求△ABC的面积S.
A
解：设△ABC的内切圆与三边相切于D、E、F，
连结OA、OB、OC、OD、OE、OF， D
F
· 那么OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC. O
∴S△ABC＝S△AOB＋S△BOC ＋S△AOC B
＝
1 2
AB·OD＋
1 2
BC·OE＋
证明(1)
【数学实验二】如图，〔1〕画∠AOB＝90°，并画
∠AOB的角平分线OC.
〔2〕将三角尺的直角顶点落在OC的任意一点P上，
使三角尺的两条直角边与∠AOB的两边分别交于点
E、F，并比较PE、PF的长度；
A
〔3〕把三角尺绕点P旋转，
C
比较PE与PF的长度. 你能得到什么结论？你的
P E
结论一定成立吗？与同学交流 ．
A
B
C
作圆: 使它和三角形的各边都相切
：△ABC
求作：⊙O,使它与△ABC的各边都相切
A
作法：
N
O B
D
1、作∠ B, ∠ C的平分线 BM和CN，交点为O；
M
2、过点O作OD BC，垂 足为D；
C3径、那作以么圆OO⊙为。O圆就心是，O所D求为的半
想一想：根据作法,与三角形各边都相切的圆 能作出几个？ 为什么？
自然界中看到的景象是真实存在的吗?
证明(1)
【探究活动一】先猜一猜图中的两条线段AB与CD哪一条 长一些？
A
C
B
D
请再量一量证实你的猜测．
证明(1)
【探究活动二 】图〔1〕中有曲线吗？请把图 〔2〕中编号相同的点用线段连接起来.
（图1）
1 2 3 4 5 6 7 8
12 345 678
（图2）
证明(1)
则 A= 40°.
2、已知三角形ABC的外心为O，且∠BOC=110°则 ∠A=____55或12_5_度。 3、三角形ABC中， ∠A= 50°,I是三角形的内心，
O是三角形的外心，那么∠ BIC=_1_1_5_°__ ∠ BOC=____1_0_0_°_
直角三角形的内切圆
:如图,⊙O是Rt△ABC的内切圆,∠C
G .O
E
F
如上图，四边形DEFG是⊙O的 外切 四边形，
⊙O是四边形DEFG的 内切 圆.
思考:我们所学的平行四边形，矩形，菱形，正方 形，等腰梯形中，哪些四边形一定有内切圆？
(菱形，正方形一定有内切圆)
名称
确定方法
图形
性质
外心 〔三角 形外接 圆的圆 心〕
三角形三边
中垂线的交
点
B
A O
C
〔1〕OA=OB=OC；
分，两家共用．〞精明的弟弟要求先选，在看到
土地后果断地选择了①、③两地，同学们，老实
的哥哥吃亏了吗？
④
① 水井
③
②
是直角,AC=3,BC=4.
A
求⊙O的半径r.
D
r 3 4 5 1. 2
O
●┗
F
┓
B
EC
三角形的内切圆
:如图,△ABC的面积S=4cm2,周 长等于10cm. 求内切圆⊙O的半径r.
B
老师提示:
△ABC的面积=△AOB的面积 +△BOC的面积+△AOC的面积.
A
D
F
O
●
┓
E
C
三角形的内切圆的有关计算
画三角形的内切圆: 画角平分线→定内心→定半径→画圆→结论
2、内心性质:
内心到三角形三边的距离相等； 内心与顶点连线平分内角。
名称
确定方法
图形
性质
外心 〔三角 形外接 圆的圆 心〕
三角形三边
中垂线的交
点
B
A O
C
〔1〕OA=OB=OC；
〔2〕外心不一 定在三角形的 内部．
内心（三 角形内切 圆的圆心）
1 2
AC·OF
＝
1 2
l·r
C E
设△ABC的三边为a、b、c，面积为S，
那么△ABC的内切圆的半径 r＝a＋2bS＋c
如图，有三条两两相交的公路a、b、c,今要在 公路旁修一加油站P，使P到三条路的距离相等， 你认为应修于何处？有几个选点方法？
a b
c
1、定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角 形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心， 这个三角形叫做圆的外切三角形。
．O
三_边__中__垂__线__的交点。
B
C
图1
2的、圆定叫1义做：三和角三形角的形内各切边圆都相，切
D
．I
内切圆的圆心叫做三角形 的 内心 ，这个三角形叫做
E
图2
F
_圆__的__外__切__三__角_形 3、如图2，△DEF是⊙I的 外切 三角形， ⊙I是△DEF的 内切 圆，点I是 △DEF的_内____
• 1.点P在⊙上，过点P作⊙O的切线。
P O
• 2.点D、E、F在⊙上，分别过点D、E、F 作⊙O的切线，三条切线两两相交于点A、 B、C.
C
F
O
B
D
E
A
李明在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三角 形废料进行加工：裁下一块圆形用料，且使圆的面积最 大。
以下图是他的几种设计，请同学们帮他确定一下。
O
F B
证明(1)
【能力检测 】 1．你认为大圆内的10个小圆的 周长之和与另一个大圆内的2个小圆的周长之和 哪一个大一些？请你猜一猜，并用学过的知识 和数学方法验证你的猜测．
证明(1)
【能力检测】 2．今年五一节期间，王老板在其 经营的服装店里卖出两件衣服，其中一件是裤 子售价为168元，盈利20％，一件是夹克衫售价 也是168元，但亏损20％，问王老板在这次的交 易过程中是赚了还是亏了，如果是赚了，赚了 多少？如果是亏了，亏了多少？还是不赚不亏？
三角形三条 角平分线的 交点
B
〔1〕到三边的距
A
离相等；
〔2〕OA、OB、OC
O
分别平分∠BAC、
∠ABC、∠ACB；
C 〔3〕内心在三角 形内部．
证明〔1〕
证明(1)
【情境引入】同学们听说过或见过海市蜃楼吗？ 夏天，平静无风的海面或沙漠上，有时能看到楼 台、亭阁、集市、庙宇等虚幻景象出现在远方的 空中……
证明： 连结BI ∵I是△ABC的内心 ∴∠3=∠4, ∠ 1= ∠ 2， ∵ ∠ 1= ∠ 2 ∴ BE =EC ∴ ∠ 1= ∠ 5 , EB=EC ∴ ∠ 1+ ∠ 3= ∠ 4+ ∠ 5 ∴ ∠ BIE= ∠ IBE ∴ EB=EI
又 ∵EB=EC ∴EB=EI=EC
A
12
I
3
B
4 5
D
C
E
【数学实验一】〔1〕在提供的模板中取两个直
角三角形和两个直角梯形，按图①拼成8×8的
正方形，用胶带粘好.
〔2〕用同样的两个直角三角形和两个直角梯
形，能按图②恰好拼成13×5的矩形吗？动手试
一试！ 3
5
3 5
8
5
8 3
5
5
5
3
3
3
5
（图①）
5
8
（图②）
请同学们再计算一以下图①、图②的面积，你发
现了什么？
概念：
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内
切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个 三角形叫做圆的外切三角形。
A
类似地，和多边形的各边
都相切的圆叫做多边形的
内切圆，这个多边形叫做
圆的外切多边形。
O
B
C
三角形的外接圆与内切圆的比较
1、什么是三角形的外接圆与内切圆？ 2、如何画出一个三角形的外接圆与内切圆？
【感悟归纳 】 从以上两个探究活动中，你有什么感悟啊？
实验、观察、操作是人们认识事物的重要手段， 但仅凭实验、观察、操作是不够的，所以正确地认识 事物，不能单凭直觉，还要加以证实！
证明(1)
【例1】有两条如下图小路，这两条小路哪个长？ 这两条小路的面积怎样？
证明(1)
【例2 】小明和小林在研究代数式2－2m＋m2的
值的情况时，得出了两种不同的结论.
小明填写表格:
m
－2 0 4 6 ……
2－2m＋m2 10 2 10 26 ……
小林填写m表格: －6 －4 2
2－2m＋m2 50 26 2
0 …… 2 ……
请你再取一些m的值代入代数式算一算，说 明小明和小林的结论是否正确．你是否有新的发 现？新的结论？
证明(1)