2020年最新浙教版重点高中自主招生数学模拟试卷

2020年最新浙教版重点高中自主招生
数学模拟试题
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．在直角坐标系中，若一点的横坐标与纵坐标互为相反数，则该点一定不在（ ） A ．直线y =﹣x 上 B ．抛物线y =x 2上 C ．直线y =x 上 D ．双曲线xy =1上 2．以等速度行驶的城际列车，若将速度提高25%，则相同距离的行车时间可节省k %，那么k 的值是（ ） A ．35 B ．30
C ．25
D ．20
3．若﹣1＜a ＜0，则a ，a ³，3a ，1
a
一定是（ ） A ．1a 最小，a 3最大 B ．3a 最小，a 最大 C ．1a
最小，a 最大 D ．1a
最小，3a 最大
4．如图，菱形ABCD 的边AB =20，面积为320，∠BAD ＜90°，⊙O 与边AB ，AD 都相切，AO =10，则⊙O 的半径长等于（ ） A ．25
B ．5 C
． 6
D ．32
5.将函数y ＝2x ＋b （b 为常数）的图象位于x 轴下方的部分沿x 轴翻折至其上方后，所得的折线是函数y ＝|2x ＋b |（b 为常数）的图象．若该图象在直线y ＝2下方的点的横坐标x 满足0＜x ＜3，则b 的取值范围为（ ）
A. -4≤b ≤-2
B. -6≤b ≤2
C.-4≤b ≤2
D. -8≤b ≤-2
6.设a ，b 是实数，定义@的一种运算如下：a @b =（a +b ）2﹣（a ﹣b ）2，则下列结论：
①若a @b =0，则a =0或b =0 ②a @（b +c ）=a @b +a @c
③不存在实数a ，b ，满足a @b =a 2+5b 2
④设a ，b 是矩形的长和宽，若矩形的周长固定，则当a =b 时，a @b 最大．
第4题图
第5题图
x
O
y
C 1
D 1
A 1
B 1
E 1 E 2 E 3 E 4 C 2 D 2 A 2
B 2
C 3
D 3
A 3
B 3
第7题图
其中正确的有（ ）
A ．②③④
B ．①②④
C ．①③④
D ．①②③
7.一组正方形按如图所示的方式放置，其中顶点B 1在y 轴上，顶点C 1，E 1，E 2，
C 2，E 3，E 4，C 3……在x 轴上，已知正方形A 1B 1C 1
D 1的边长为1，∠B 1C 1O ＝60°，B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3……则正方形A 2018B 2018C 2018D 2018的边长是( )
A ．201712（）
B ．2018
12
（）
C ．201733（）
D ．201833（）
8. 如图，抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）的对称轴为直线x =﹣2，与x 轴的一个交点在
（﹣3，0）和（﹣4，0）之间，其部分图象如图所示，则下列结论：①4a ﹣b =0；②c ＜0；③﹣3a +c ＞0；④4a ﹣2b ＞at 2+bt （t 为实数）；⑤点（﹣
29，y 1），（﹣2
5，y 2），（﹣2
1
，y 3）是该抛物线上的点，则y 1＜y 2＜y 3. 其中说法正确的有（ ）
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
9.若关于x 的方程
22240224
x x x a
x x x +-+++=-+-只有一个实数根，则符合条件的所有实数a 的值的总和为（ ）
A ．6-
B ．30-
C ．32-
D ．38-
10.如图，在边长为4的正方形ABCD 中，E 、F 是AD 边上的两个动点，且AE ＝FD ，连接BE ,CF . BD ，CF 与BD 交于点G ，连接AG
第8题图
交BE 于点H ，连接DH ，下列结论正确的个数是（ ） ①△ABG ∽△FDG ②HD 平分∠EHG ③AG ⊥BE
④S △HDG ：S △HBG ＝tan ∠DAG ;⑤线段DH 的最小值是25﹣2． A ．2 B ．3
C ．4
D ．5
二、填空题（每小题4分，共20分）
11．在平面直角坐标系中，点P （x ，y ）经过某种变换后得到点P '（﹣y +1，x +2），我们把点P '（﹣y +1，x +2）叫做点P （x ，y ）的终结点．已知点P 1的终结点为P 2，点P 2的终结点为P 3，点P 3的终结点为P 4，这样依次得到P 1、P 2、P 3、P 4、…
P n 、…，若点P 1的坐标为（2，0），则点P 2018的坐标为 ． 12. 如图, 点A ，C 都在函数33
(0)y x x
=
>的图象上，点B ，D 都在x 轴上，且使得△OAB ，△BCD 都是等边三角形，则点D 的坐标为 ．
13.如图，在平面直角坐标系xOy 中，多边形OABCDE 的顶点坐标分别是O （0，0），A (0,6),B （4，6）,C (4,4),D (6,4),E (6,0).若直线l 经过点M （2，3），且将多边形OABCDE 分割成面积相等的两部分，则直线l 的函数表达式是 .
14. 已知有理数x 满足：31752233
x x
x -+-≥-
，若32x x --+的最小值为a ，最大值为b ，则ab = . 15.如图，在三角形纸片ABC 中，∠A =90°，∠C =30°，
AC =30cm ，将该纸片沿过点B 的直线折叠，使点A 落在斜边BC 上的一点E 处，折痕记为BD （如图1），减去△CDE 后得到双层△BDE （如图2），再沿着过△BDE 某顶点的直线将双层三角形剪开，使
第12题图 第13题图
第15题图
得展开后的平面图形中有一个是平行四边形，则所得平行四边形的周长为 cm ．
三、解答题（每题10分，共50分） 16. （本题满分10分）
已知非零实数a ，b 满足a b a b a a =++-+-++-4)1)(5(316822，求1-b a 的值
17. （本题满分10分）如果把一个自然数各数位上数字从最高位到个位依次排出一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的自然数叫做“和谐数”.例如：自然数64746从最高位到个位排出的一串数字是：6、4、7、4、6，从个位到最高排出的一串数字也是：6、4、7、4、6，所64746是“和谐数”.再如：33，181，212，4664，…，都是“和谐数”. (1)请你直接写出3个四位“和谐数”；
（2）猜想任意一个四位“和谐数”能否被11整除，并说明理由；
(3) 已知一个能被11整除的三位“和谐数”，设个位上的数字为x (14x ≤≤，x 为自然数)，十位上的数字为y ，求y 与x 的函数关系式.
18. （本题满分10分） 边长为22的正方形ABCD 中，P 是对角线AC 上的一个动点（点P 与A 、C 不重合），连接BP ，将BP 绕点B 顺时针旋转90°到BQ ，连接
QP ，QP 与BC 交于点E ，QP 延长线与AD （或AD 延长线）交于点F ． （1）连接CQ ，证明：CQ =AP ；
（2）设AP =x ，CE =y ，试写出y 关于x 的函数关系式，并求当x 为何值时，CE =8
3BC ；
（3）猜想PF 与EQ 的数量关系，证明你的结论．
19. （本题满分10
分）如图，在⊙O中，直径CD垂直于不过圆心O的弦AB，垂足为点N，连接AC，
点E在AB上，且AE=CE
（1）求证：AC2=AE•AB；
（2）过点B作⊙O的切线交EC的延长线于点P，试判断PB与PE是否相等，并
说明理由；
（3）在(2)的条件下,设⊙O半径为4，点N为OC中点，点Q在⊙O上，求线段
PQ的最小值．
20. （本题满分10分）如图，已知抛物线
y=ax2＋bx经过点A(10,0)和B(8,4)．点P是x轴正半轴上的一个动点，过点
P作x轴的垂线段，与直线OB交于点C，延长PC到Q，使QC=PC．过点Q的
直线分别与x轴、y轴相交于点D、E，且OD=OE，直线DE与直线OB相交于
点F．设OP=t．
（1）请直接写出抛物线和直线OB的函数解析式；
（2）当点Q落在抛物线上时，求t的值；
（3）连结BD：
①请用含t的代数式表示点F的坐标；
②当以点B、D、F为顶点的三角形与△OEF相似时，
第18题图
第19题图
O A
B
x B
y
P
Q
C
E
D
F
18备用图1 18备用图2
19备用图1 19备用图2
求t的值．
数学参考答案
一、 选择题（每题3分，共30分）
1.D
2.D
3.A
4.A
5.A
6.B
7.C
8.B
9.D 10.C 二、填空题（每题4分，共20分） 11. （1，4）；12. （26，0）；13. 111
33
y x =-+；14. 5；15. 40或
三、解答题（每小题10分，共50分） 16. （本题满分10分）
由题意得：5,0)1)(5(2≥≥+-a b a ………………………………………. 2分
44)4(16822-=-=-=+-a a a a a ……………………………… 3分
)1)(5(3)1)(5(34)1)(5(344)1)(5(316822222=+-+-=+-+-+=++-+-+-=++-+-++-b a b a b a b a b a b a b a b a a
……………6分
又因为03≥-b ，0)1)(5(2≥+-b a 故0)1)(5(32=+-=-b a b ……… 8分
则5,3==a b ， ………………………………… 9分
故
1-b a =25 ………………………… ………………………… …………………
…10分
17．（本题满分10分）
解：⑴、四位“和谐数”：1221，1331，1111，6666…（答案不唯一）……………………2分
（2）任意一个四位“和谐数”都能被11整数，理由如下： 设任意四位“和谐数”形式为：abcd ，则满足：
最高位到个位排列：a ，b ，c ，d 个位到最高位排列：d,c,b,a 由题意，可得两组数据相同，则：a =d ,b =c
则
1000100101000100101001110911011111111
abcd a b c d a b b a a b
a b +++++++====+为正整数
∴ 四位“和谐数” abcd 能被11整数 又∵a ，b ，c ，d 为任意自然数， ∴任意四位“和谐数”都可以被11整除…………………………………………5分 （3）设能被11整除的三位“和谐数”为，zyx ,则满足：个位到最高位排列：x,y,z 最高位到各位排列：z,y,x .由题意得,两组数据相同,则:x =z .故
10110zyx xyx x y ==+
10110991122911111111
zyx x y x y x y x y x y +++--===++为正整数 ∴y =2x (14x ≤≤)……………………………………………………8分 18. （本题满分10分）
（1）证明：如图1，∵线段BP 绕点B 顺时针旋转90°得到线段BQ ， ∴BP =BQ ，∠PBQ =90°． ∵四边形ABCD 是正方形， ∴BA =BC ，∠ABC =90°． ∴∠ABC =∠PBQ ．
∴∠ABC ﹣∠PBC =∠PBQ ﹣∠PBC ，即∠ABP =∠CBQ ． 在△BAP 和△BCQ 中，
∵
，
∴△BAP ≌△BCQ （SAS ）．
∴CQ =AP ；………………………………………………………………………………3分
（2）解：如图1，∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠BAC =∠BAD =45°，∠BCA =∠BCD =45°， ∴∠APB +∠ABP =180°﹣45°=135°，
∵DC =AD =2
，
由勾股定理得：AC =
=4，。