陕西省安康市2024届高三下学期第三次质量联考试题 数学(理)含答案

2023—2024学年安康市高三年级第三次质量联考
理科数学（答案在最后）
考试满分：150分考试时间：120分钟
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名､准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.
2.全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效.
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案用0.5mm 黑色笔迹签字笔写在答题卡上.
4考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设()2
3
4
1i i i i z +=++，则z =（
）
A.
11
i 22
+ B.
11
i 22
- C.11i 22
-
- D.11i 22
-
+2.
集合{
{
,M x
y N y y ====∣∣，则下列选项正确的是（）
A.M N R ⋃=
B.M N N ⋃=
C.M N N
⋂= D.M N ⋂=∅
3.已知函数()1f x x =-，公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若()()10121013f a f a =，则2024S =（）
A.1012
B.2024
C.3036
D.4048
4.若实数,x y 满足约束条件15117x y x y x y -≥-⎧⎪
+≥⎨⎪+≤⎩
，则2z x y =-的最大值为（
）
A.0
B.2
C.9
D.11
5.甲､乙､丙三人被随机的安排在周六､周日值班，每天至少要有一人值班，每人只在其中一天值班.则甲､乙被安排在同一天值班的概率为（）A.
1
6
B.
14
C.
13 D.
12
6.在ABC 中，M 是AB 的中点，3,AN NC CM = 与BN 相交于点P ，则AP =
（）
A.3155
AB AC +
B.1355
AB AC +
C.1324
AB AC +
D.3142
AB AC +
7.已知πtan 24θ⎛⎫-
= ⎪⎝
⎭，则πsin 24θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）
A.7210
-
B.210
-
C.
210
D.
7210
8.侧棱长与底面边长均为a 的正三棱柱的外接球的表面积为84π，则a =（）
A.12
B.8
C.6
D.4
9.已知直线l 与椭圆2
213
y x +=在第四象限交于A B ､两点，
l 与x 轴，y 轴分别交于C D ､两点，若AC BD =，则l 的倾斜角是（）A.
π6
B.
π4 C.
π3
D.
5π12
10.已知7
2
3
4
5
6
7
01234567(12)x a a x a x a x a x a x a x a x -=+++++++，则
012345672345678a a a a a a a a +++++++=（
）
A.-15
B.-6
C.6
D.15
11.若直线y ax b =+是曲线x y e =的一条切线，则b =（）
A.()1ln a a +
B.()1ln a a -
C.(
)1a
a e
+ D.(
)
1a
a e
-12.已知直线()1:30l mx y m m R --+=∈与直线()2:50l x my m m R +--=∈相交于点P ，则P 到直线
270x y ++=的距离的取值集合是（
）
A. B.
C.⎡⎣
D.(
二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.写出一个对称中心为()1,0的奇函数()f x =__________.
14.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n a S =+，则79a S +=__________.
15.已知抛物线2
:4C y x =的焦点为F ，位于第一象限的点P 在C 上，O 为坐标原点，且满足PO PF =，
则OPF 外接圆的半径为__________.
16.已知函数()()1212ln sin ,,0,,f x x ax x x x x x ∞=++∀∈+≠，都有()()2121
1f x f x x x ->-，则a 的取值范围为
__________.
三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤第17~21题为必考题，每个试题
考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.
17.（12分）作为一个基于大型语言处理模型的文字聊天工具，ChatGPT 走红后，大模型的热度持续不减，并日渐形成了“千模大战”的局面.百度的文心一言､阿里的通义千问､华为的盘古､腾讯的混元以及科大讯飞的星火等多种大模型正如火如茶的发布上线.现有某大模型给出了会员有效期30天的两种不同费用，100次的使用费为6元，500次的使用费为24元.后台调取了购买会员的200名用户基本信息，包括个人和公司两种用户，统计发现购买24元的用户数是140，其中个人用户数比公司用户数少20，购买6元的公司用户数是个人用户数的一半.
（1）完成如下用户类别与购买意向的22⨯列联表；
购买6元
购买24元
总计
个人用户公司用户总计
（2）能否有99.5%的把握认为购买意向与用户类别有关？（运算结果保留三位小数）
附：()()()()
2
2
()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，
临界值表如下：
()
20
P K k ≥0.100.050.0250.010.0050.001
k 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828
18.（12分）在三边均不相等的ABC 中，角A B C ､､对应的边分别为a b c ､､，若
()()
2222sin sin sin sin a A C b B C -=-.点D 在线段AB 上，且CD 平分角C .
（1）求C ；
（2）若3,5a b ==，求CD 的长度.
19.（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，且,CB BP CD DP ⊥⊥，2PA =，点,E F 分别为,PB PD 的中点.
（1）求证：PA ⊥平面ABCD ；
（2）求平面AEF 与平面PAB 夹角的余弦值.
20.（12分）已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b -=>> 的离心率为2，其中一个焦点到一条渐近线的距离等于
23（1）求该双曲线的标准方程；
（2）若直线l 与双曲线C 交于P Q ､两点，且坐标原点O 在以PQ 为直径的圆上，求PQ 的最小值.21.（12分）已知函数()cos x
f x e ax b x =+-.
（1）当0b =时，求()f x 的单调区间；
（2）当()20a f ='且1b =时，讨论()f x 在R 上的零点个数.
（二）选考题：共10分.请考生在第22､23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为
π3sin 34ρθ⎛⎫
-= ⎪⎝⎭，曲线的参数方程为()
2112
1
x t t y t ⎧
=+-⎪⎨⎪=-⎩（t 为参数），（1）分别求曲线C 和直线l 的直角坐标方程；
（2）若直线l 交曲线C 于,A B 两点，过线段AB 的中点Q 作x 轴的平行线交C 于一点P ，求点P 的横坐标.23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数()124f x x x =+++.（1）求函数()f x 的最小值；
（2）若,,a b c 为正实数，且()()()27f a f b f c ++=，求
149
a b c
++的最小值.
2023—2024学年安康市高三年级第三次质量联考
理科数学参考答案
1.【答案】D
【解析】由条件可得()()1i 1i 1i z +=-+-+=-，所以()()()()i 1i i i 11i 1i 1i 1i 222
z -----=
===--++-，即1i
22
z =-+.故选D .
2.【答案】A
【解析】由条件可得{}{}
1,0M x
x N y y =≤=≥∣∣，所以[],0,1M N M N ⋃=⋂=R ，故选A.3.【答案】B
【解析】由题可知函数()f x 的图象关于直线1x =对称，所以
10121013
12
a a +=，所以101210132a a +=，又
()
()
120241012101320242024202420242
2
a a a a S ++=
=
=，故选B.
4.【答案】D
【解析】由约束条件15117x y x y x y -≥-⎧⎪
+≥⎨⎪+≤⎩
，画出可行域，
2z x y =-，化为斜截式方程得2y x z =-，
联立5117x y x y +=⎧⎨+=⎩得61x y =⎧⎨=⎩
，即()6,1C .
由题意可知，当直线2y x z =-过点C 时，直线在y 轴上的截距最小，此时z 最大.把点()6,1C 代入目标函数可得最大值，即最大值26111z =⨯-=.故选D .5.【答案】C
【解析】由题意可知将3人分成两组，其中一组只有1人，另一组有2人.分别安排在周六､周日值班共有6种情况（甲乙，丙）､（甲丙，乙）､（乙丙，甲）､（甲，乙丙）､（乙，甲丙）､（丙，甲乙）.显然甲､乙被安排在同一天有2种情况，所以甲､乙被安排在同一天的概率为21
63
=.故选C.6.【答案】B
【解析】设AP AB AC λμ=+ ，由M 是AB 的中点，得2AB AM =
，由3AN NC = ，得43
AC AN = .
所以2AP AM AC λμ=+
，且43
AP AB AN
λμ=+
由CM 与BN 相交于点P 可知，点P 在线段CM 上，也在线段BN 上，由三点共线的条件可得214
13λμλμ+=⎧⎪
⎨+=⎪⎩，解得153
5λμ⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，所以1355AP AB AC =+ ，故选B.
7.【答案】A
【解析】由π
tan tan
π4tan 2π41tan tan 4
θθθ-⎛⎫-=
= ⎪⎝
⎭+⋅，解得tan 3θ=-，所以22222
2222222sin cos 2tan 3cos sin 1tan 4sin22sin cos ,cos2cos sin sin cos tan 15cos sin 1tan 5
θθθθθθθθθθθθθθθθθθ--====-=-===-
++++，所以π2272
sin 2sin242210
θθθ⎛
⎫+=+=- ⎪
⎝
⎭.故选A.8.【答案】C
【解析】由球的表面积公式24π84πS R ==，
解得外接球半径R =.因为底面三角形是边长为a 的等边三
角形，所以此三角形的外接圆半径为
12233
a a =
，由正三棱柱的外接球的特点可得，2
2
2
123R a ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，解得6a =.故选C.9.【答案】C
【解析】由AC BD =可得线段AB 的中点，也是线段CD 的中点，设()()1122,,,A x y B x y ，
线段AB 的中点坐标为()00,M x y ，则()()120001202
2,0,0,2,2x x x C x D y y y y +⎧
=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩.
又点,A B 在椭圆上，所以2
2112222
131
3y x y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减可得22
22
21203y y x x -+-=，
()()()()121212123y y y y x x x x +-=-+-，所以1
21212
123y y y y x x x x +-⋅=-+-，所以
00232AB y k x ⋅=-，即00
3AB y
k x ⋅=-.
又因为A B C D ､､､四点共线，所以0000
2002AB CD y y
k k x x -==
=--
，综上可得AB k =A B ､在第四象限得
0AB k >
即AB k =π
3
.故选C.10.【答案】A
【解析】令()2
3
4
5
6
7
8
01234567f x a x a x a x a x a x a x a x a x =+++++++，即()7
(12)f x x x =-，
对函数()f x 求导可得，()2
3
4
5
6
7
012345672345678f x a a x a x a x a x a x a x a x =+++++++'，
且()()76
(12)7(12)2f x x x x '=-+⋅-⋅-，所以
()()760123456723456781(1)17(1)211415a a a a a a a a f '+++++++==-+⋅-⋅-=--=-.故选A.
11.【答案】B
【解析】设切点坐标为()00,Q x y ，则切点在直线上，也在曲线上，所以0
000
x y ax b
y e =+⎧⎨
=⎩，又切线斜率()
00
'x x
x x k e e ===，且k a =，所以00,ln x a e x a ==，代入可得
()0000ln 1ln x b y ax e ax a a a a a =-=-=-=-，故选B .
12.【答案】D
【解析】由两直线垂直的判断条件12120A A B B +=，可知()110m m ⋅+-⋅=，所以直线1l 与2l 始终垂直，又由条件可得直线1l 恒过定点()1,3M ，直线2l 恒过定点()5,1N ，所以两直线的交点P 是在以线段MN 为直径的圆上，所以该圆的圆心坐标为()3,2
，半径为，但需挖去点()1,1，此点()1,1是过定点()1,3M 且斜率不存在的直线与过定点()5,1N 且斜率为0的直线的交点，故点P 到直线270x y ++=的距离的最大值与最小值可转化为圆心()3,2到直线270x y ++=
的距离
()1,1到直线
270x y ++=
的距离为
(
.选D.
13.【答案】sinπx
【解析】因为奇函数关于原点对称，且此函数又关于点()1,0对称，所以此函数可类比于正弦函数，因为正弦函数sin y x =是奇函数，且关于点()π,0对称，所以可联想到()sinπf x x =.14.【答案】-4
【解析】当1n =时，1122a S =+，解得12a =-.
当2n ≥时，1122,22n n n n a S a S --=+=+，两式相减得1n n a a -=-，
因为120a =-≠，所以10n a -≠，所以11n
n a a -=-，所以数列{}n a 是首项为-2，公比为-1的等比数列，所以()12(1)n n a -=-⋅-，即数列{}n a 是2,2,2,2,--⋯⋯，故792,2a S =-=-，所以794a S +=-.
15.
【答案】
16
【解析】由题可得()1,0F ，由PO PF =，可得点P 的横坐标为
12
，所以12P ⎛ ⎝
，所以131,sin 32232
PO PF POF ∠==
+===
，设OPF 外接圆的半径为R ，则由正弦定理可得2sin PF R POF
∠=
=
3922
83
==
，所以外接圆的半径R 为92
16
.16.【答案】[)
2,∞+【解析】由()1212,0,,x x x x ∞∀∈+≠，不妨设12x x <，则210x x ->，所以
()()2121
1f x f x x x ->-，
可变形化简为()()1122f x x f x x -<-，构造函数()()g x f x x =-，则()()12g x g x <，所以()g x 在()0,∞+上是单调递增函数，所以()()1
1cos 10g x f x a x x
''=-=
++-≥恒成立，即1cos 1a x x ⎛⎫≥-++ ⎪⎝⎭
在()0,x ∞∈+上恒成立，
当0x >时，
[]1
0,cos 1,1x x >∈-，又x ∞→+时，10x →，而[]cos 1,1x ∈-，所以1
cos 1x x
+>-，
所以1cos 12x x ⎛⎫
-++<
⎪⎝⎭
，所以a 的取值范围为[)2,∞+.故答案为：[)
2,∞+17.【解析】（1）设购买24元的个人用户数为x ，则购买24元的公司用户数为20x +，设购买6元的公司用户数为y ，则购买6元的个人用户数为2y ，
则有220140260x y y +=⎧⎨+=⎩
，解得60,20x y ==，
所以用户类别与购买意向22⨯列联表如下：
购买6元
购买24元总计个人用户4060100公司用户2080100总计
60
140
200
（2）由（1）中22⨯列联表得
()()()()
22
2
()200(32001200)9.5247.87910010014060n ad bc K a b c d a c b d -⨯-==≈>++++⨯⨯⨯，
所以有99.5%的把握认为用户类别与购买意向有关系.
18.【解析】（1）由(
)(
)22
22
sin sin sin sin a A C b B C -=-，得(
)()
22
2
2
a a c
b b
c -=-化简得()(
)2
2
2
a b a b ab c
-++-=因为ABC 三边均不相等，所以a b ≠，即2220
a b ab c ++-=由余弦定理得2221cos 22
a b c C ab +-==-
在ABC 中，由0180C << ，得120C =
（2）在ABC 中，22249c a b ab =++=，故7
c =
由sin sin c a C A =得3sin120sin 714A == ，易得13cos 14A ==在ACD 中，60,180ACD ADC A ACD ∠∠∠∠=++= ，所以
()
31313343sin sin 602142147
ADC A ∠=+=
⨯+⨯= 在ACD 中，由sin sin CD b A ADC
∠=
，得
5sin 1514sin 87
b A CD ADC ∠⨯
⋅===19.【解析】（1）证明：因为底面ABCD 为正方形，所以CB AB ⊥，又因为,,,CB BP AB BP B AB BP ⊥⋂=⊂平面ABP ，所以CB ⊥平面ABP
因为PA ⊂平面ABP ，所以CB PA ⊥，
同理CD PA ⊥，又因为,,CB CD C CB CD ⋂=⊂平面ABCD ，所以PA ⊥平面,ABCD （2）由（1）知PA ⊥底面ABCD ，即,,AB AD AP 两两相互垂直，
如图，以点A 为坐标原点，,,AB AD AP 所在直线分别为x 轴､y 轴､z 轴，建立空间直角坐标系
.
则()()()()()()0,0,0,2,0,0,0,2,0,0,0,2,1,0,1,0,1,1A B D P E F ，
()()1,0,1,0,1,1AE AF ==
.
设平面AEF 的一个法向量为()1,,n x y z =
，
则()()()()111,0,1,,00,1,1,,0
AE n x y z x z AF n x y z y z ⎧⋅=⋅=+=⎪⎨⋅=⋅=+=⎪⎩ ，令1x =，则1,1y z ==-，得
()11,1,1n =-
，
由（1）知平面PAB 的一个法向量为()0,2,0BC =
，
所以平面AEF 与平面PAB 夹角的余弦值是1113
cos ,3n BC n BC n BC
⋅==
20.【解析】（1
）解：由题意得2,c e b a =
==又因为222c a b =+，解得2a =.所以双曲线方程为：22
1412
x y -=（2）因为以PQ 为直径的圆过坐标原点，所以OP OQ ⊥，所以OP OQ ⊥ ，即：0OP OQ ⋅= ..①当直线l 的斜率不存在时，设直线l 的方程为x n =，设()(),,,(0)P n t Q n t t ->，由0OP OQ ⋅= 可得220n t -=，
又点P Q ､在双曲线上，代入可得22
1412
n t -=，解得226,6n t ==.
所以2PQ t ==②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx m =+，
由22312y kx m x y =+⎧⎨-=⎩联立消去y 整理得()
()22232120*k x kmx m ----=，因为直线l 与双曲线交于,P Q 两点，所以230k -≠，
且判别式()()()
22222Δ(2)4312124120km k
m m k =----=-+>.设()()1122,,,P x y Q x y ，则122
212223123km x x k m x x k ⎧+=⎪⎪-⎨+⎪=-⎪-⎩
，由0OP OQ ⋅= 得到：12120x x y y +=，所以()()12120x x kx m kx m +++=，即()()22121210k x x
km x x m ++++=，所以()222221221033
m km k km m k k ++-⋅+=--，化简得2266m k =+.所以
PQ =.
当0k =时上式取等号，且方程()*有解.
综上可得PQ 的最小值是.
21.【解析】（1）显然()f x 定义域为R ，由()x f x e ax =+得()x
f x e a '=+当0a ≥时，()()0,x
f x e a f x =+>'单调递增区间为(),∞∞-+，无减区间，当0a <时，由()0x f x e a =+>'，得()ln x a >-，所以()f x 单调递增区间为()()
ln ,a ∞-+；由()0x f x e a =+<'，得()ln x a <-，所以()f x 单调递减区间为()(),ln a ∞--（2）由题可得函数()()20cos x f x e f x x -'=+，所以()()20sin x f x e f x '=++'()()()0020sin0120f e f f =++=+'''，解得()01
f '=-所以()2cos x f x e x x
=--①当0x ≤时，有e 1,sin 1x x ≤≤，
所以()e sin 20x f x x '=+-≤恒成立，
所以，()f x 在(],0∞-上单调递减，()()00,0f x f ≥=是一个零点；②当0x >时，()e sin 2x f x x =+-'，
设()sin 2x g x e x =+-，则()cos 1cos 0x g x e x x =+>+≥'恒成立，即()f x '在()0,∞+上单调递增.
又()()010,1e sin120f f '=-<'=+->，
所以根据零点存在定理可知，()10,1x ∃∈，使得()10
f x '=当10x x <<时，()0f x '<，所以()f x 在()10,x 上单调递减；
当1x x >时，()0f x '>，所以()f x 在()1,x ∞+上单调递增
又()0110f =-=，所以()10f x <.
因为()222e 4cos2e 40f =-->->，
根据零点存在定理可知，()21,2x x ∃∈，使得()20
f x =
综上所述，()f x 在R 上的零点个数为2.
22.【解析】（1）由1y t =-可得1t y =+，代入()
2112x t t =
+-消去参数t ，可得C 的直角坐标方程为：22y x =
化简πsin 34ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭
可得1cos sin 224ρθθ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭
，所以
)sin 2
ρθθ-=.将cos ,sin x y ρθρθ==代入l 的极坐标方程，可得l
02y --=.（2）曲线2:2C y x =是抛物线，其焦点1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，准线12x =-，
直线1:2AB y x ⎫=-⎪⎭，恰好过抛物线的焦点.
由221122030,22y y x x x y x ⎧⎫=--+=⎪⎪⎭⎨⎪=⎩
消去并整理得，设()()1122,,,A x y B x y ，则1253x x +=，线段AB 的中点Q 的横坐标12526Q x x x +==，中点Q
的纵坐标3
Q y =，过点Q 作x 轴的平行线交C 于一点P ，则点P
的纵坐标也等于
3，所以点P 的横坐标为1623.【解析】（1）()35,21243,2135,1x x f x x x x x x x --<-⎧⎪=+++=+-≤<-⎨⎪+≥-⎩
，
()f x 在(),2∞--上单调递减，在()2,∞-+上单调递增，
所以()min ()21f x f =-=，即当2x =-时，函数()f x 取得最小值（2）由（1）可得当x 为正实数时，()35f x x =+，
则由()()()27f a f b f c ++=可得：4a b c ++=，所以()914944a b c a b c a b c a b c a b c
++++++++=++
999444444a b c a b c a b c a a a b b b c c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
199********b c a c a b a a b
b c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭19997
1224
444442b a c a c b a b a c b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++++≥+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭773
139,222
=+++=+++=当且仅当99,,4444b a c a c b a b a c b c ===时，又4a b c ++=，即当246,,2333a b c ====时，等号成立.所以149a b c ++的最小值为9。