【创新大课堂】高三数学(文)一轮复习活页作业：8.1直线的倾斜角与斜率、直线的方程(含答案解析)

课时活页作业（四十二）
[基础训练组]
1．若直线斜率的绝对值等于1，则直线的倾斜角为( ) A ．45° B ．135°
C ．45°或135°
D ．60°或120°
[解析] 由|k|＝|tan α|＝1，知：k ＝tan α＝1或k ＝tan α＝－1.又倾斜角α∈[0°，180°)，∴α＝45°或135°.
[答案] C
2．(2016·绥化一模)直线xsin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是( ) A ．[0，π) B ．[0，π4]∪[3π
4，π)
C ．[0，π4
]
D ．[0，π4]∪(π
2
，π)
[解析] 直线xsin α＋y ＋2＝0的斜率为k ＝－sin α，又|sin α|≤1，∴|k|≤1，∴倾斜角的取值范围是[0，π4]∪[3
4
π，π)．故选B.
[答案] B
3．已知直线l ∶ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．－2或－1
D ．－2或1
[解析] 由题意可知a≠0.当x ＝0时，y ＝a ＋2.当y ＝0时，x ＝a ＋2a ，∴a ＋2
a ＝a ＋2，解
得a ＝－2或a ＝1.
[答案] D
4．(2015·高考福建卷)若直线x a ＋y
b ＝1(a>0，b>0)过点(1,1)，则a ＋b 的最小值等于( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
[解析] 由题意1a ＋1b ＝1，∴a ＋b ＝(a ＋b)⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a
b ≥4，故选C. [答案] C
5．(2016·浙江诸暨质检)已知两点M(2，－3)，N(－3，－2)，直线l 过点P(1,1)且与线段MN 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是( )
A ．k≥3
4或k≤－4
B ．－4≤k≤3
4
C.3
4
≤k≤4 D ．－3
4
≤k≤4
[解析] 如图所示，∵k PN ＝
1－－1－－＝3
4，k PM ＝1－－1－2
＝
－4，∴要使直线l 与线段MN 相交，当l 的倾斜角小于90°时，k≥k PN ；当l 的倾斜角大于90°时，k≤k PM ，由已知得k≥3
4
或k≤－4，故选A.
[答案] A
6．已知m≠0，则过点(1，－1)的直线ax ＋3my ＋2a ＝0的斜率为________．
[解析] ∵点(1，－1)在直线ax ＋3my ＋2a ＝0上，∴a －3m ＋2a ＝0，∴m ＝a≠0，∴k ＝－a 3m ＝－13
.
[答案] －13
7．(2016·温州模拟)直线3x －4y ＋k ＝0在两坐标轴上的截距之和为2，则实数k ＝________.
[解析] 令x ＝0，得y ＝k 4；令y ＝0，得x ＝－k 3.则有k 4－k
3＝2，所以k ＝－24.
[答案] －24
8．已知线段PQ 两端点的坐标分别为P(－1,1)和Q(2,2)，若直线l ∶x ＋my ＋m ＝0与线段PQ 有交点，则实数m 的取值范围是________．
[解析] 直线l 过定点M(0，－1)，如图所示：
k QM ＝2＋12＝32，k PM ＝1＋1－1＝－2，∴当k l ≥3
2或k l ≤－2时，
直线l 与线段PQ 有交点．①当m ＝0时，直线l 的方程为x ＝0，直线l 与线段PQ 有交点；②当m≠0时，由－1m ≥32或－1
m ≤－2得
－23≤m ＜0或0＜m≤12.综上知，－23≤m≤1
2
. [答案] －23≤m≤12
9．已知直线过点P 1(2,3)和点P 2(1，m)，且m 满足方程m 2－4m ＋3＝0，求该直线方程． [解析] 由题意，因为m 满足方程m 2－4m ＋3＝0，则m ＝1或m ＝3.若m ＝1，则直线方程可写为y －31－3＝x －2
1－2，即2x －y －1＝0；若m ＝3，则直线方程的斜率为0，直线方程可写
为y ＝3.因此符合条件的直线方程为2x －y －1＝0或y ＝3.
10．设直线l 的方程为x ＋my －2m ＋6＝0，根据下列条件分别确定m 的值： (1)直线l 的斜率为1； (2)直线l 在x 轴上的截距为－3.
[解析] (1)因为直线l 的斜率存在，所以m≠0，于是直线l 的方程可化为y ＝－1
m x ＋2m －6m .
由题意得－1
m
＝1，解得m ＝－1.
(2)法一：令y ＝0，得x ＝2m －6.由题意得2m －6＝－3，解得m ＝3
2
.
法二：直线l 的方程可化为x ＝－my ＋2m －6.由题意得2m －6＝－3，解得m ＝3
2.
[能力提升组]
11．在同一平面直角坐标系中，直线l 1∶ax ＋y ＋b ＝0和直线l 2∶bx ＋y ＋a ＝0有可能是( )
[解析] 直线l 1∶ax ＋y ＋b ＝0的斜率k 1＝－a ，在y 轴上的截距为－b ；直线l 2∶bx ＋y ＋a ＝0的斜率k 2＝－b ，在y 轴上的截距为－a.在选项A 中l 2的斜率－b ＜0，而l 1在y 轴上截距－b ＞0，所以A 不正确．同理可排除C 、D.
[答案] B
12．(2016·江门模拟)如果A·C ＜0，且B·C ＜0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限
D ．第四象限
[解析] 由题意知A·B·C≠0，直线方程变为y ＝－A B x －C
B .∵A·
C ＜0，B·C ＜0，∴A·B ＞
0，∴其斜率k ＝－A B ＜0.又y 轴上的截距b ＝－C
B
＞0，∴直线过第一、二、四象限．
[答案] C
13．已知点A(－1,0)，B(cosα，sinα)，且|AB|＝3，则直线AB 的方程为( ) A ．y ＝3x ＋3或y ＝－3x － 3 B ．y ＝
33x ＋33或y ＝－33x －33
C ．y ＝x ＋1或y ＝－x －1
D ．y ＝2x ＋2或y ＝－2x － 2 [解析] |AB|＝
＋
2
＋sin 2α＝2＋2cosα＝3，所以cosα＝12，sinα＝±3
2
，所
以k AB ＝±33，即直线AB 的方程为y ＝±33(x ＋1)，所以直线AB 的方程为y ＝33x ＋3
3
或y
＝－
33x －33
. [答案] B
14．一条直线经过点A(－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为__________．
[解析] 设所求直线的方程为x a ＋y b ＝1，∵A(－2,2)在直线上，∴－2a ＋2
b ＝1.①
又因直线与坐标轴围成的三角形面积为1， ∴1
2
|a|·|b|＝1.② 由①②可得(1)⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＝1，ab ＝2，或(2)⎩⎪⎨⎪⎧
a －
b ＝－1
ab ＝－2.
由(1)解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝1，或⎩
⎪⎨⎪
⎧
a ＝－1，
b ＝－2.方程组(2)无解．
故所求的直线方程为x 2＋y 1＝1或x －1＋y
－2＝1，即x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0为所求
直线的方程．
[答案] x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0 15．已知直线l ∶kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R)． (1)证明：直线l 过定点；
(2)若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；
(3)若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设△AOB 的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程．
[解] (1)证明：证法一：直线l 的方程可化为y ＝k(x ＋2)＋1，故无论k 取何值，直线l 总过定点(－2,1)．
证法二：设直线l 过定点(x 0，y 0)，则kx 0－y 0＋1＋2k ＝0对任意k ∈R 恒成立，即(x 0＋2)k －y 0＋1＝0恒成立，
∴x 0＋2＝0，－y 0＋1＝0，解得x 0＝－2，y 0＝1，故直线l 总过定点(－2,1)．
(2)直线l 的方程为y ＝kx ＋2k ＋1，则直线l 在y 轴上的截距为2k ＋1，要使直线l 不经
过第四象限，则⎩
⎪⎨⎪⎧
k≥0，
1＋2k≥0，
解得k 的取值范围是[0，＋∞)．
(3)依题意，直线l 在x 轴上的截距为－1＋2k
k
，在y 轴上的截距为1＋2k ，∴A ⎝⎛⎭
⎫
－1＋2k k ，0，B(0,1＋2k)．
又－1＋2k k ＜0且1＋2k ＞0，∴k ＞0.故S ＝12|OA||OB|＝12×1＋2k k (1＋2k)
＝12⎝⎛⎭⎫4k ＋1k ＋4≥12(4＋4)＝4，当且仅当4k ＝1k ，即k ＝1
2时，取等号． 故S 的最小值为4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.。