新人教A版高一上学期集合与函数概念单元测试卷解析版

新人教A 版高一上学期
集合与函数概念单元测试卷 解 析 版
考生注意: 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分,共150
分,考试时间120分钟.
2.请将各题答案填写在答题卡上.
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、单项选择题（每小题5分,共40分）
1. 有以下结论: ①{}2,1,00∈; ②{}2,1⊆∅; ③{}{}1,0,3,23,2,1,0=; ④A A =∅ .其中正确的个数是 【 】 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 答案 【 C 】
解析 本题考查集合与元素、集合与集合之间的基本关系. 其中正确的结论序号是①②③,共有3个. ∴选择答案【 C 】.
2. 若全集{}3,2,1,0=U 且C U A {}2=,则集合A 的真子集共有 【 】 （A ）5个 （B ）6个 （C ）7个 （D ）8个 答案 【 C 】
解析 本题考查集合真子集个数的确定. ∵{}3,2,1,0=U ,C U A {}2=,∴{}3,1,0=A . ∴集合A 的真子集共有7123=-个. ∴选择答案【 C 】.
3. 已知集合()()(){}
013,2
2
=-++=y x y x M ,{}1,3-=N ,则M 与N 的关系是 【 】
（A ）N M = （B ）N M ⊆ （C ）N M ⊇ （D ）M 、N 无公共元素 答案 【 D 】
解析 本题考查集合之间的基本关系.先确定集合的代表元素和的代表元素的特征,根据集合元素的特征进行判断.
集合(){}1,3-=M ,为点集,而集合N 为数集. ∴集合M 、N 无公共元素. ∴选择答案【 D 】.
4. 下列各组函数是同一函数的是 【 】
（A ）()()x x g x x x x f =++=,12（1-≠x ） （B ）()()2,2==x g x
x x f
（C ）()()2,2-=-=x x g x x f （x ≥2） （D ）()()12,1+=++=x x g x x x f 答案 【 A 】
解析 本题考查函数的相等.
只有当两个函数的定义域和对应关系分别相同时,这两个函数才相等,即为同一个函数.
所以,当两个函数的定义域和对应关系二者中只要有一个不相同,两个函数就不相等.
对于（A ）,函数()()x g x f ,的定义域都是{}1-≠x x ,且()()x x x x x f =++=1
1,所以函数()()
x g x f ,是同一函数;
对于（B ）,函数()x f 的定义域为{}0≠x x ,函数()x g 的定义域为R ,它们不是同一函数; 对于（C ）,函数()x f 的定义域为R ,函数()x g 的定义域为[)+∞,2,它们不是同一函数;
对于（D ）,()⎪⎩
⎪
⎨⎧≥+<<--≤--=++=0,1201,11,121x x x x x x x x f ,它们不是同一函数.
∴选择答案【 A 】. 5. 若函数()()()
a x x x
x f -+=
212为奇函数,则=a 【 】
（A ）1 （B ）2 （C ）21 （D ）2
1- 答案 【 A 】
解析 本题考查奇函数的性质.奇函数的定义域关于原点对称.
由⎩⎨⎧≠-≠+0
2012a x x 得:21-≠x 且2a
x ≠.
∵函数()x f 为奇函数,∴02
21=+-a
,解之得:1=a . ∴选择答案【 A 】.
6. 已知集合{}
0162<-=x x A ,{}1,0,5-=B ,则 【 】 （A ）∅=B A （B ）A B ⊆ （C ）{}1,0=B A （D ）B A ⊆ 答案 【 C 】
解析 本题考查集合之间的基本关系.
∵{}{
}
440162<<-=<-=x x x x A ,{}1,0,5-=B ∴{}1,0=B A . ∴选择答案【 C 】.
7. 已知函数()x f 的定义域为[]2,2-,函数()()1
21+-=
x x f x g ,则函数()x g 的定义域为 【 】
（A ）⎥⎦⎤ ⎝⎛-3,21 （B ）()+∞-,1 （C ）()3,00,21 ⎪⎭⎫ ⎝⎛- （D ）⎪⎭
⎫ ⎝⎛-3,21
答案 【 A 】
解析 本题考查抽象函数和具体函数的定义域.
解不等式组⎩⎨⎧>+≤-≤-0
12212x x 得:x <-21
≤3.
∴函数()x g 的定义域为⎥⎦
⎤
⎝⎛-3,21.
∴选择答案【 A 】.
8. 已知函数()⎪⎩⎪
⎨⎧<-≥-=2,2
12,42x x x x x f ,若()6=a f ,则实数a 的值为 【 】
（A ）5 （B ）613 （C ）5或6
13
（D ）2或6 答案 【 A 】
解析 本题考查根据分段函数的函数值求自变量的值. 当a ≥2时,则有642=-a ,解之得:5=a ; 当2<a 时,则有
621=-a ,解之得:26
13
>=a ,不符合题意. 综上所述,实数a 的值为5. ∴选择答案【 A 】.
9. 函数223x x y --=的单调递减区间是 【 】 （A ）()1,-∞- （B ）()+∞-,1 （C ）()1,3-- （D ）()1,1- 答案 【 D 】
解析 本题考查复合函数的的单调性.先确定函数的定义域. 解不等式223x x --≥0得:3-≤x ≤1. ∴函数223x x y --=的定义域是[]1,3-.
设()()41322
2++-=+--=x x x x g ,则函数()x g 的单调递减区间即为所求.
∵函数()x g 的单调递减区间为[]1,1-
∴函数223x x y --=的单调递减区间是[]1,1-. ∴选择答案【 D 】.
10. 函数()x f y =与()x g y =的图象如下图,则函数()()x g x f y ⋅=的图象可能是 【 】
（A ） （B ） （C ） （D ）
答案 【 A 】
解析 本题考查函数图象的判断.
由图象可知,函数()x f y =为偶函数,函数()x g y =为奇函数,不难判断函数()()x g x f y ⋅=为奇函数,其图象关于原点对称.排除选项（B ）.
函数()()x g x f y ⋅=的定义域为()()+∞∞-,00, ,排除选项（C ）、（D ）. ∴选择答案【 A 】.
11. 函数()⎪⎩
⎪
⎨⎧≥<<≤≤=2,321,110,2x x x x x f 的值域是 【 】
（A ）R （B ）[]{}32,0 （C ）[)+∞,0 （D ）[]3,3- 答案 【 B 】
解析 本题考查求分段函数的值域.分段函数的值域是各段值域的并集. 当[]1,0∈x 时,()[]2,0∈x f . ∴函数()x f 的值域为[]{}32,0 . ∴选择答案【 B 】.
12. 已知定义在R 上的偶函数()x f ,对任意[)+∞∈,0,21x x （21x x ≠）,有
()()
01
212<--x x x f x f ,
则 【 】 （A ）()()()123f f f <-< （B ）()()()321f f f <-< （C ）()()()312f f f <<- （D ）()()()213-<<f f f 答案 【 A 】
解析 本题考查根据函数的性质比较函数值的大小.
由题意可知,偶函数()x f 在[)+∞,0上单调递减.有()()22f f =-. ∴()()()123f f f <<,∴()()()123f f f <-<. ∴选择答案【 A 】.
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二、填空题（每小题5分,共20分）
13. 已知集合{}R x x y y M ∈+==,12,{}
R x x y y N ∈-==,52,则=N M __________. 答案 R
解析 本题考查函数的基本运算. ∵{}1≥=y y M ,{}5≤=y y N ∴=N M R .
14. 函数()x x f 211--=的最大值是__________. 答案 1
解析 本题考查根据函数的单调性确定函数的最值.
函数()x f 的定义域为⎥⎦⎤ ⎝⎛
∞-21,
易知函数()x f 在⎥⎦⎤ ⎝⎛
∞-21,上单调递增
∴()12121121max =⨯--=⎪⎭
⎫
⎝⎛=f x f .
15. 已知函数()835+++=cx bx ax x f ,且()102=-f ,则()=2f __________. 答案 6
解析 本题考查奇函数的性质.
设()cx bx ax x g ++=35,则函数()x g 为奇函数,有()()0=+-x g x g . ∴()()8+=x g x f .
∴()()()()16828222=+-++=-+g g f f . ∵()102=-f ,∴()=2f 6.
16. 给定集合A ,若对于任意A b a ∈,,有A b a ∈+,且A b a ∈-,则称集合A 为闭集合.给出如下四个结论:
①集合{}0=A 为闭集合; ②集合{}4,2,0,2,4--=A 为闭集合;
③集合{}Z k k n n A ∈==,3为闭集合; ④若集合21,A A 均为闭集合,则21A A 为闭集合. 其中正确结论的序号是__________. 答案 ①③
解析 本题考查集合的新定义问题. 易知①正确;
对于②,令4,4=-=b a ,则A b a A b a ∉-=-∈=+8,0,故②错误; 易知③正确;
对于④,令{}{}Z k k n n A Z k k n n A ∈==∈==,3,,221,显然,213,2A A ∈∈,但()215A A ∉,故
④错误.
∴正确结论的序号是①③.
三、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（本题满分10分）
设{}*,10N x x x U ∈<=,{}2=B A ,（C U A ） （C U B ）{}1=,（C U A ）{}8,6,4=B .求A 、B . 解: {}9,8,7,6,5,4,3,2,1=U . ∵（C U A ） （C U B ）{}1=
∴C U （B A ）{}1=,∴{}9,8,7,6,5,4,3,2=B A . ∵（C U A ）{}8,6,4=B ∴得到如下的Venn 图:
4,6,823,5,7,91
U B
A
由Venn 图可知:{}9,7,5,3,2=A ,{}8,6,4,2=B . 18.（本题满分12分）
（1）求函数()x x x f 21-+=的值域;
（2）已知()2312-=⎪⎭
⎫
⎝⎛+x x f x f ,求函数()x f 的解析式.
解:（1）由x 21-≥0得:x ≤
2
1. ∴函数()x f 的定义域为⎥⎦⎤ ⎝
⎛
∞-21,.
设x t 21-=,则2
12
t x -=,∈t [)+∞,0.
∴()()112
12121212
22+--=++-=+-==t t t t t x f y
∵∈t [)+∞,0,∴1max =y ,无最小值. ∴函数()x f 的值域为(]1,∞-;
（2）用
x 1代替()2312-=⎪⎭
⎫
⎝⎛+x x f x f 中的x ,则有 ()2321-=+⎪⎭
⎫
⎝⎛x x f x f .
由()()⎪⎪⎩⎪⎪
⎨⎧-=+⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎭
⎫
⎝⎛+2
3212312x x f x f x x f x f 得:()2363--=x x x f .
∴()3
2
2--=
x x x f . 19.（本题满分12分）
若非零函数()x f 对任意实数b a ,均有()()()b f a f b a f =+,且当0<x 时,()1>x f . （1）求证:()0>x f ; （2）求证:()x f 为减函数; （3）当()16
1
4=
f 时,解不等式()()
253x f x f --≤41.
（1）证明: 令0==b a ,则()()002
f f =,∴()()()0100=-f f .
∵()x f 为非零函数,∴()10=f .
令x b x a -==,,则有()()()10=-=x f x f f ,∴()()
x f x f -=1
. 设0>x ,则0<-x .
∵当0<x 时,()1>x f ,∴()1>-x f . ∴()()
01
>-=
x f x f . 综上,∈∀x R ,()0>x f ;
（2）证明: 任取∈21,x x R ,且21x x <,则有
()()()()()()()()()()()12122221222121--=--=-+-=-x x f x f x f x f x x f x f x x x f x f x f .
∵21x x <,∴021<-x x .
∵当0<x 时,()1>x f ,∴()()01,12121>-->-x x f x x f . ∵∈∀x R ,()0>x f ,∴()02>x f . ∴()()()01212>--x x f x f . ∴()()()()2121,0x f x f x f x f >>-. ∴()x f 为减函数; （3）∵()16
1
4=
f ,∴()16122
=
f ,∴()4
1
2=f （()02>f ）. ∵()()
253x f x f --≤
4
1 ∴()
22++-x x f ≤()2f . ∵()x f 为R 上的减函数
∴22++-x x ≥2,解之得:0≤x ≤1. ∴原不等式的解集为[]1,0. 20.（本题满分12分）
已知()x f 是实数集上的奇函数,当0>x 时,()1322++-=x x x f ,求: （1）()0f ;
（2）当0<x 时,()x f 的解析式; （3）()x f 在实数集上的解析式. 解:（1）∵()x f 是实数集上的奇函数 ∴()()00f f -=,∴()00=f ; （2）设0<x ,则0>-x .
∵当0>x 时,()1322++-=x x x f ∴()()x f x x x f -=+--=-1322. ∴当0<x 时,()1322-+=x x x f ; （3）由（1）（2）可知:
()⎪⎩⎪
⎨⎧<-+=>++-=0
,1320,00,1322
2x x x x x x x x f .
21.（本题满分12分） 已知()1
2
+-=
x a
x x f 是奇函数,()12++=bx x x g 为偶函数. （1）求b a ,的值;
（2）对任意∈x R ,不等式()()()m x g x g x f -<2恒成立,求实数m 的取值范围. 解:（1）∵函数()x f 是奇函数 ∴()00=-=a f ,解之得:0=a . ∵函数()x g 为偶函数 ∴0=b ;
（2）由（1）知:()()1,1
22
+=+=
x x g x x
x f . ∵对任意∈x R ,不等式()()()m x g x g x f -<2恒成立 ∴对任意∈x R ,()()()m x f x g >-21,即()m x >-2
1恒成立.
∵()2
1-x ≥0,∴0<m .
∴实数m 的取值范围是()0,∞-. 22.（本题满分12分）
如图所示,在△ABC 中,22,90==︒=∠BC AC ACB ,一个边长为2的正方形由位置Ⅰ沿AB 平行移动到位置Ⅱ,设移动的距离为x ,正方形和△ABC 的公共部分的面积为()x f . （1）求()x f 的解析式;
（2）画出()x f 的图象,指出()x f 的单调区间,并求出()x f 的最大值.
D
II
I
C
B
A
高一数学试题 第11页
解:（1）作AB CD ⊥. 不难求出42==AC AB ,2===CD BD AD . 当0≤x ≤2时,()22
1x x f =; 当x <2≤4时,()()()2242
1221222221x x x f ----⨯⨯=. ∴()()332+--=x x f ; 当x <4≤6时,()()[]()2262
14221-=--=x x x f . ∴()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤<-≤<+--≤≤=64,62
142,332
0,21222x x x x x x x f ;
（2）如图所示.
函数()x f 在[]3,0上单调递增,在[]6,3上单调递减,最大值为3.。