数学八下专题(勤学早)

重点强化专题 二次根式的非负性(Qp 13)
[方法技巧] a 表示非负数a 的算术平方根，它具有双重非负性:(1)二次根式的结果是非负数，即a ≥0;(2)二次根式的被开方数是非负数，即a ≥0. 一、利用二次根式的非负性求范围
1、二次根式4_x 有意义，则实数x 的取值范围是
2、若1_m =1-m.则m 的取值范围为 二、利用二次根式的非负性化简 3. 若a>2,则、)
2_(2
a _
12_2
+a a
=
4. .化简:-y y
1
_
= 5. 当x<0时,化简:x
x x x 2_4
4_2
2
+=
6. 实数a,b
在数轴上的位置如图所示,化
简:
)
2(2
+a -
)
2_(2
b +
)
(2
b a +
三、利用二次根式的非负性求值
7. 若|x+y-1|+10_2+y x =0,则4y- 3x 的平方根是_ 8. 若1_a +|1-a|=a+3,求a 的值.
9. 已知y=3_x -x _3+4,求y x
xy 22
2_++y x xy 2
2
4_4+的值.
10.已知实数x,y 满足x 2-10x+6+y +25=0,求(x+y)2019的值.
方法专题一二次根式的运算（KP14）
(k p15)
重点强化专题矩形(一) 折叠问题(QP55)
[方法技巧]抓住折叠的本质是轴对称(全等性、对称性)，寻找等线段、等角,结合勾股定理构建万程解题
重点强化一将矩形顶点折叠到对边上
1.如图，折叠矩形的一-边AD,使点D落在BC边的点F处,AB=6,BC= 10,
求EC的长.
重点强化二将矩形顶点折叠到对角线上
2.如图，矩形ABCD中,AB=6,BC=8,点E在BC上，将矩形沿AE折叠,
使点B落在AC上的点F处，求AE的长.
重点强化三将矩形沿对角线折叠
3.如图，将矩形ABCD沿BD折叠,使点C落在点E处,BE交AD于点
F,连接AE.
(1)求证:BF= DF;
(2)求证:AE// BD
(3)若AB=4,BC=8,求S△BFD.
重点强化四折叠后矩形对角顶点重合
4如图，在矩形纸片ABCD中.AB＝４ .BC＝８将纸片沿 EF折叠，使点
C与点A重合(1)求证:AE=AF;(2)求S△AEF;(3)求EF的长.
重点强化五折叠矩形一边构造等腰三角形
5.如图，矩形ABCD中,AB=4,AD=3,M是边CD上一点，将△ADM沿直线
AM对折，得到△ANM ,MN,AB的延长线交于点Q,DM=1.求NQ的长.
图形构造专题 矩形(二)构造斜边上的中线(P56)
难点突破一→遇斜边中点→连斜边上的中线
1.如图，在△A BC 中,BD ⊥AC 于点D.CE ⊥AB 于点E.点M.N 分别是BC .DE 的中点， (1)求证:MN⊥DE:
(2)连接ME.MD.若∠BAC = 60°，试判断△MED 的形状
难点突破二 取斜边中点→构造斜边上的中线
2. (2019改编题)如图，在四边形ACBD 中，∠ACB=∠ADB=90°，
∠DBC= 60°，求AB
CD
的值.
难点突破三 延长补形一构造斜边上的中线
3.如图，在四边形ABCD 中,A D//BC.∠ABC= 90°,E 是CD 的中点，求证:AE=BE.
4. (2019原创题)如图,在四边形ABED 中，AD//BE ，∠B=90°，M 是BE 上一点，
且AD=2BM,F 为DE 的中点，连接AE.MF.求证:MF=2
1
AE
正方形中ɑ=
2b 型问题(QP 68)
1.如图，在正方形ABCD 中，AC ，BD 交于点O ，E 为OD 上一点，且BE=BA,DE=2OE
2.如图，在正方形ABCD 中,E 为AC 上一点，F 为CD 上一点，且ED=EF.求证：BF=2DE
3.如图，在正方形ABCD 中,E 为BD 上一点，F 为AD 上一点，且EC=EF, (1)求证：EF⊥EC (2)求证：CD=2EG
4.如图，在正方形ABCD 中,E 为CD 上一点，F 在CB 的延长线上，且ED=BF. (1)求证：EM=FM (2)求证：AE=2EM
5.如图，在正方形ABCD 中，E 在BC 的延长线上，且AE=CF,点P 是EF 的中点，求证：BE=2PC
6,我们给出如下定义:顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形.
(1)如图 1,在四边形 ABCD 中,点 E,F,G,H 分别为边 AB,BC,CD,DA 的中点.求证:中点四边形 EFGH 是平行四边形.
平行四边形.
(2)如图 2, 点 P 是四边形 ABCD 内一点, 且满足PA=PB,PC=PD,∠APB=∠CPD, 点 E,F,G,H 分别为边
AB,BC,CD,DA 的中点,猜想中点四边形 EFGH 的形状,并证明你的猜想.
(3)若改变(2)中的条件,使∠APB=∠CPD=90°,其他条件不变,直接写出中点四边形 EFGH 的形状.
7.如图所示,正方形ABCD 的边长为6,△ABE 是等边三角形,点E 在正方形ABCD 内,在对
角线AC 上有一点P,使PD+PE 的和最小,则这个最小值为
5.如图所示,E,F 分别是正方形ABCD 的边CD,AD 上的点, 且CE=DF,AE,BF 相交于点O,
下列结论①AE=BF;②AE⊥BF;③AO=OE;④S△AOB=S□DEOF 中,错误的有( )
专题勾股定理与图形的折叠
1．如图，把长方形纸条ABCD沿EF，GH同时折叠，B，C两点恰好落在AD边的P点处，若∠FPH＝90°，PF＝8，PH＝6，则长方形ABCD的边BC的长为()
A．20 B．22 C．24 D．30
2．如图，长方形ABCD的边AD沿折痕AE折叠，使点D落在BC上的F处，已知AB＝6，△ABF的面积是24，则FC的长等于()
A．1 B．2 C．3 D．4
3.如图，长方形纸片ABCD的长AD＝9 cm，宽AB＝3 cm，将其折叠，使点D与点B重合，那么折叠后DE的长是多少?
4.如图，将长方形ABCD沿BD对折，使点C落在C′处，BC′交AD于点E，AD＝8，AB ＝4，求△BED的面积
如图17－14，有一长、宽、高分别为5 cm 、4 cm 、3 cm 的木箱，在箱底边EF 的中点O 处有一只小虫，若它要爬到C 点寻找
食物，问怎样爬路线最短？
图17－14
已知直角三角形的两边长x ，y 满足⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －3＋（y －4）2＝0，
则这个直角三角形的斜边长为________．
如图17－7，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为10 cm ，正方形A 的边长为6 cm ，正方形B 的边长为5 cm ，正方形C 的边长为5 cm ，则正方形D 的边长为( )
图17－7
A.14 cm B ．4 cm C.15 cm D ．3 cm
例2阅读下面材料，并解决问题：
(1)如图17－3①，等边三角形ABC 内有一点P ，若点P 到顶点A ，B ，C 的距离分别为3，4，5，则∠APB ＝________，由于PA ，PB 不在一个三角形中，为了解决本题我们可以将△ABP 绕顶点A 旋转到△ACP ′处，此时△ACP ′≌________，这样就可以利用全等三角形知识，将三条线段的长度转化到一个三角形中，从而求出∠APB 的度数．
(2)请你利用第(1)题的解答思想方法，解答下面问题：已知：如图17－3②，△ABC 中，∠CAB ＝90°，AB ＝AC ，E ，F 为BC 上的点且∠EAF ＝45°，求证：EF 2＝BE 2＋FC 2.
如图17－8所示，在△ABC 中，∠B ＝90°，将△ABC 沿AD 折叠，使点B 落在AC 上的点E 处，若AB ＝3，BC ＝4，求DC ＝________．
图17－8
我国古代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦
图”，后人称其为“赵爽弦图”(如图17－9①)．图17－9②是由弦图变化得到的，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为S 1，S 2，S 3，若S 1＋S 2＋S 3＝10，则S 2的值是________．
图17－9
[2013·东营] 如图17－10，圆柱形容器中，高为1.2 m ，底面周长为1 m ，在容器内壁离容器底部0.3 m 的点B 处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3 m 与蚊子相对的点A 处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为________m(容器厚度忽略不计)．
图17－10
方法专题3 与勾股定理有关的分类讨论问题(kp24)类型一针对直角边与斜边进行分类
1.若直角三角形的两边分别是3和4，则第三边上的高是
2.若直角三角形的两边长分别是6和8，则这个三角形的面积是
类型二针对等腰三角形腰长和底边长进行分类
3.在Rt△ABC中,∠ABC=90°.AB=3,BC=
4.过点B的直线把△ABC分割成两个三角形，且其中只有一个是等腰三角形,求这个等腰三角形的面积
类型三针对锐角三角形和钝角三角形进行分类
4.在△ABC中,AB=15,AC=13,BC边上的高AD= 12,求△ABC的周长.
5.已知CD是△ABC的边AB上的高，若CD=3,AD=1,AB=2AC,求BC的长。

6,如图18一6，正方形ABCD的边长为4，∠DAC的平分线交DC于点E,若
点P,Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值是
想不到的斜边 看不到的中位线
--中点、中线在四边形中的应用
1、如图，在△ABC 中，∠CAB=90°，AD 是BC 边的中线，E 是AD 的中点，过点A 作BC 的平行线交BE 的延长线于点F ，连接CF ，判定四边形并说明理由。

2、在△ABC 中，∠ACB=90°，M 是AB 的中点，E 、F 分别是AC 、BC 延长线
上的点，且CE=CF=2
1
AB ，求∠EMF 的度数。

3、如图，四边形ABCD 是矩形，点E 在线段CB 的延长线上，连接DE 交AB 于点
F ，
∠AED=2∠CED ，点G 是DF 的中点，若BE=1,AG=4，求AB
4、如图，在矩形ABCD 中，点E 在BC 的延长线上，若BE=BD ，F 为DE 的中点；求证：AF ⊥CF 。

D
A B
C
E
F
5、如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，垂足为点D ，AE 平分∠CAB 交CD 于点F 、交BC 于点E ，EM ⊥AB 于点M ，连接FM ；求证：四边形CFME 是菱形。

6、如图，在矩形ABCD 中，点E 在BC 上，CG ⊥BD 于点G ，直线CG 交AE 的延长线于点F ，CF=BD ，求∠BAF 的度数。

7、如图所示，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，将Rt △ABC 绕点C 顺时针方向旋转60°得到△DEC ，点E 在AC 上，再将Rt △ABC 沿着AB 所在直线翻转180°得到△ABF ，连接AD ；
（1）求证：四边形AFCD 是菱形；
（2)连接BE 并延长交AD 于点H ，连接CH ，判断四边形ABCH 的形状并说明理由。

A B D F
E
C G。