直线的一般式方程

课堂讲义
规律方法 1.体会直线方程的各种形式，以及各种形 式向一般式的转化，把握直线方程一般式的特点．求 直线方程的题目，无特别要求时，结果写成直线方程 的一般式或斜截式． 2．与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋ By＋C1＝0，再由其他条件求C1. 与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋ C2＝0，再由其他条件列出方程求出C2.
∴直线 AB 与 x 轴垂直， 故其方程为 x＝2. ∵A(2，－1)，C(4,1)，由直线方程的两点式可得直线 AC 的 y－1 x－4 方程为 ＝ ， －1－1 2－4
课堂讲义
即 x－y－3＝0. y－2 同理可由直线方程的两点式得直线 BC 的方程为 ＝ 1－2 x－2 ，即 x＋2y－6＝0. 4－2
高中数学·必修2 人教A版
3.2.2 直线的两点式方程 3.2.3 直线的一般式方程
预习导学
[学习目标] 1．会根据条件写出直线的两点式方程和截距式方 程． 2．了解二元一次方程与直线的对应关系，掌握直线 方程的一般形式．
预习导学
[ 知识链接]
y－y0＝k(x－x0) 1．直线的点斜式方程为_______________________ ． y－y0＝k(x－x0)
课堂讲义
解 选择合适的直线方程形式． 1 (1)由点斜式得 y－(－2)＝－ (x－8)， 2 即 x＋2y－4＝0. (2)由斜截式得 y＝2，即 y－2＝0. x y (3)由截距式得 ＋ ＝1，即 2x－y－3＝0. 3 －3 2 y－－2 x－3 (4)由两点式得 ＝ ， －4－－2 5－3 即 x＋y－1＝0.
课堂讲义
要点二 直线的截距式方程 例2 求过点(4，－3)且在两坐标轴上截距的绝对值相 等的直线l的方程．
解 法一 设直线在 x 轴、y 轴上的截距分别为 a、b. x y ①当 a≠0，b≠0 时，设 l 的方程为 ＋ ＝1. a b 4 －3 ∵点(4，－3)在直线上，∴ ＋ ＝1， a b 若 a＝b，则 a＝b＝1，直线的方程为 x＋y－1＝0. 若 a＝－b，则 a＝7，b＝－7，直线的方程为 x－y－7＝0.
课堂讲义
(2)由 l′与 l 垂直，可设其方程为 4x－3y＋n＝0. 将(－1,3)代入上式得 n＝13. ∴所求直线方程为 4x－3y＋13＝0.
课堂讲义
要点一 直线的两点式方程 例1 已知A(－3,2)，B(5，－4)，C(0，－2)，在△ABC 中， (1)求BC边的方程； (2)求BC边上的中线所在直线的方程．
解 (1)∵BC 边过两点 B(5，－4)，C(0，－2)， y－－4 x－5 ∴由两点式得 ＝ ， －2－－4 0－5 即 2x＋5y＋10＝0. 故 BC 边的方程为 2x＋5y＋10＝0(0≤x≤5)．
课堂讲义
要点三 直线的一般式方程 例 3 根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式． 1 (1)斜率是－ ，经过点 A(8，－2)； 2 (2)经过点 B(4,2)，平行于 x 轴； 3 (3)在 x 轴和 y 轴上的截距分别是 、－3； 2 (4)经过两点 P1(3，－2)，P2(5，－4)．
课堂讲义
跟踪演练3 已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求直 线l′的 一般式方程，l′满足 (1)过点(－1,3)，且与l平行； (2)过点(－1,3)，且与l垂直．
课堂讲义
3 解 法一 由题设 l 的方程可化为 y＝－ x＋3， 4 3 ∴l 的斜率为－ . 4 3 (1)由 l′与 l 平行，∴l′的斜率为－ . 4 3 又∵l′过(－1,3)，由点斜式知方程为 y－3＝－ (x＋1)，即 4 3x＋4y－9＝0.
课堂讲义
②当 a＝b＝0 时，直线过原点，且过点(4，－3)， ∴直线的方程为 3x＋4y＝0. 综上知， 所求直线 l 的方程为 x＋y－1＝0 或 x－y－7＝0 或 3x＋4y＝0. 法二 显然直线 l 的斜率存在且不为 0. 设直线 l 的方程为 y＋3＝k(x－4)，k≠0. 令 x＝0，得 y＝－4k－3；
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预习导学
A － (2)对于直线 Ax＋By＋C＝0， 当 B≠0 时， 其斜率为_______ B ， C － B 在 y 轴上的截距为________ ；当 B＝0 时，在 x 轴上的截距 C － 为_______________ ；当 AB≠0 时，在两轴上的截距分别为 A C C － － _______ A ，________. B
课堂讲义
规律方法 (1)首先要鉴别题目条件是否符合直线方程 相应形式的要求，对含有字母的则需分类讨论；(2)注 意问题叙述的异同，本题中第一问是表示的线段，所 以要添加范围；第二问则表示的是直线．
课堂讲义
跟踪演练1 (2014·绍兴高一检测)已知△ABC三个顶 点坐标 A(2，－1)，B(2,2)，C(4,1)，求三角形三条边所在的 直线方 解 ∵A(2，－1)，B(2,2)，A、B 两点横坐标相同， 程．
2．直线的斜截式方程为______________.
y2－y1 x2－x1 3．经过两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线的斜率 k＝_______
(x1≠x2)．
预习导学
[ 预习导引] 1．直线的两点式、截距式方程 (1)经过两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)且 x1≠x2，y1≠y2 的直线 y－y1 x－x1 ＝ 两点式方程 y2－y1 x2－x1 方程___________________ ，叫做直线的_______________ ． (2)直线 l 与 x 轴交点 A(a,0)； 与 y 轴交点 B(0， b)， 其中 a≠0， x y ＋ ＝1 截距式方程 a b b≠0， 则得直线方程__________ ， 叫做直线的___________ ．
课堂讲义
4k＋3 令 y＝0，得 x＝ . k 又∵直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等，
4k＋3 ∴|－4k－3|＝ k ，
3 解得 k＝1 或 k＝－1 或 k＝－ . 4 ∴所求直线的方程为 x－y－7＝0 或 x＋y－1＝0 或 3x＋4y ＝0.
课堂讲义
规律方法 (1)运用直线的截距式方程一定要注意条件， 截距均 不为零． (2)本例易遗漏直线过原点的情形．
课堂讲义
(2)设 BC 的中点 ＝－3. 2 2 2
5 ∴M2，－3 ，
又 BC 边上的中线经过点 A(－3,2)． y－2 x－－3 ∴由两点式得 ＝ ， －3－2 5 －－3 2 即 10x＋11y＋8＝0. 故 BC 边上的中线所在直线的方程为 10x＋11y＋8＝0.
课堂讲义
4 (2)由 l′与 l 垂直，∴l′的斜率为 ， 3 4 又过(－1,3)，由点斜式可得方程为 y－3＝ (x＋1)， 3 即 4x－3y＋13＝0. 法二 (1)由 l′与 l 平行，可设 l′方程为 3x＋4y＋m＝0. 将点(－1,3)代入上式得 m＝－9. ∴所求直线方程为 3x＋4y－9＝0.
预习导学
(3)若点 P1，P2 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)且线段 P1P2 x＝x1＋x2 2 的中点 M 的坐标为(x，y)，则 y1＋y2 y＝ 2 2．直线的一般式方程 (1)在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一个表
二元一次方程 示这条直线的关于 x，y 的____________ ；任何关于 x，y 一条直线 Ax＋By＋C＝0(其 的二元一次方程都表示__________ ．方程_______________ 中A、B不同时为0) __________________________ 叫做直线方程的一般式．
课堂讲义
跟踪演练2 求过点A(5,2)且在x轴上的截距是在y 轴上截 距的2倍的直线l的方程．
解 由题意知，当直线 l 在坐标轴上的截距均为零时， 2 直线 l 的方程为 y＝ x； 5 当直线 l 在坐标轴上的截距不为零时， x y 设 l 的方程为 ＋ ＝1， 2a a
课堂讲义
5 2 将点(5,2)代入方程得 ＋ ＝1， 2a a 9 解得 a＝ ， 2 所以直线 l 的方程为 x＋2y－9＝0. 2 综上知，所求直线 l 的方程为 y＝ x，或 x＋2y－9＝0. 5