2016-2017年四川省南充市阆中中学高二(下)第一次月考数学试卷(文科)(解析版)

2016-2017学年四川省南充市阆中中学高二（下）第一次月考数
学试卷（文科）
一、选择题（60分，每小题5分）
1．（5分）抛物线y＝4x2的准线方程是（）
A．y＝1B．y＝﹣1C．y＝D．y＝﹣
2．（5分）函数y＝sin x﹣cos x，则f'（π）的值是（）
A．﹣1B．0C．1D．π
3．（5分）抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2﹣＝1的渐近线的距离是（）A．B．C．1D．
4．（5分）函数y＝f（x）的图象如图所示，则y＝f′（x）的图象可能是（）
A．B．
C．D．
5．（5分）焦点为（0，6），且与双曲线＝1有相同的渐近线的双曲线方程是（）A．B．
C．D．
6．（5分）函数f（x）＝（x﹣3）e x的单调递减区间是（）
A．（﹣∞，2）B．（0，3）C．（1，4）D．（2，+∞）7．（5分）设函数的极大值为1，则函数f（x）的极小值为（）A．B．﹣1C．D．1
8．（5分）曲线y＝e x在点（2，e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）A．e2B．2e2C．e2D．e2
9．（5分）已知直线y＝ax是曲线y＝lnx的切线，则实数a＝（）
A．B．C．D．
10．（5分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），过其点F的直线l交抛物线C于点A，B，若|AF|：|BF|＝3：1，则直线l的斜率等于（）
A．±B．±1C．±D．±
11．（5分）若椭圆的弦被点（2，1）平分，则此弦所在的直线方程是（）A．x+y﹣3＝0B．x+2y﹣4＝0
C．2x+13y﹣14＝0D．x+2y﹣8＝0
12．（5分）已知点F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，过F1且垂直
于x轴的直线与椭圆交于A、B两点，若△ABF2是锐角三角形，则该椭圆的离心率e的取值范围是（）
A．（0，﹣1）B．（﹣1，1）C．（0，﹣1）D．（﹣l，1）二、填空题（20分，每小题5分）
13．（5分）函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程为2x﹣y﹣3＝0，则f（2）+f'（2）＝．
14．（5分）点P是曲线y＝x2上任意一点，则点P到直线y＝2x﹣2的最小距离为．15．（5分）设M是椭圆上一点，F1，F2为焦点，如果∠MF1F2＝75°，
∠MF2F1＝15°，求椭圆的离心率．
16．（5分）若以曲线y＝f（x）上的任意一点M（x，y）为切点作切线L，曲线上总存在异
于M的点N（x1，y1），使得过点N可以作切线L1，且L∥L1，则称曲线y＝f（x）具有“可平行性”．下面有四条曲线：
①y＝x3﹣x②y＝x+③y＝sin x④y＝（x﹣2）2+lnx
其中具有可平行性的曲线为．（写出所有满足条件的曲线编号）
三、解答题（本答题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知函数f（x）＝x2+xlnx．
（1）求f′（x）；
（2）求函数f（x）图象上的点P（1，1）处的切线方程．
18．（12分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点坐标为（1，0）．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）若直线l：y＝x﹣1与抛物线C交于A，B两点，求弦长|AB|．
19．（12分）已知函数f（x）＝x3+bx2+cx﹣1在x＝﹣2时取得极值，且在点（﹣1，f（﹣1））处的切线的斜率为﹣3．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）在区间[﹣1，2]上的最大值与最小值．
20．（12分）已知双曲线C与椭圆有相同的焦点，实半轴长为．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若直线与双曲线C有两个不同的交点A和B，且（其中O 为原点），求k的取值范围．
21．（12分）已知函数f（x）＝x++lnx，a∈R．
（Ⅰ）若f（x）在x＝1处取得极值，求a的值；
（Ⅱ）若f（x）在区间（1，2）上单调递增，求a的取值范围；
（Ⅲ）讨论函数g（x）＝f'（x）﹣x的零点个数．
22．（12分）已知椭圆C：+y2＝1（a＞0），过椭圆C右顶点和上顶点的直线l与圆x2+y2＝相切．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设M是椭圆C的上顶点，过点M分别作直线MA，MB交椭圆C于A，B两点，设这两条直线的斜率分别为k1，k2，且k1+k2＝2，证明：直线AB过定点．
2016-2017学年四川省南充市阆中中学高二（下）第一次
月考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（60分，每小题5分）
1．（5分）抛物线y＝4x2的准线方程是（）
A．y＝1B．y＝﹣1C．y＝D．y＝﹣
【解答】解：抛物线y＝4x2化成标准方程，可得x2＝y，
∴抛物线焦点在y轴上且2p＝，得＝，
因此抛物线的焦点坐标为（0，），准线方程为y＝﹣．
故选：D．
2．（5分）函数y＝sin x﹣cos x，则f'（π）的值是（）
A．﹣1B．0C．1D．π
【解答】解：根据题意，f（x）＝sin x﹣cos x，
则f′（x）＝cos x+sin x，f'（π）＝cosπ+sinπ＝﹣1；
故选：A．
3．（5分）抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2﹣＝1的渐近线的距离是（）A．B．C．1D．
【解答】解：∵抛物线方程为y2＝4x
∴2p＝4，可得＝1，抛物线的焦点F（1，0）
又∵双曲线的方程为
∴a2＝1且b2＝3，可得a＝1且b＝，
双曲线的渐近线方程为y＝±，即y＝±x，
化成一般式得：．
因此，抛物线y2＝4x的焦点到双曲线渐近线的距离为d＝＝
4．（5分）函数y＝f（x）的图象如图所示，则y＝f′（x）的图象可能是（）
A．B．
C．D．
【解答】解：依据原函数图象可看出①当x＜0时，函数y＝f（x）递增，所以此时f′（x）＞0，y＝f′（x）的图象在x轴上方；
②当x＞0时，函数y＝f（x）递减，所以f′（x）＜0，y＝f′（x）的图象在x轴下方．
故选：D．
5．（5分）焦点为（0，6），且与双曲线＝1有相同的渐近线的双曲线方程是（）A．B．
C．D．
【解答】解：由题意知，可设所求的双曲线方程是，∵焦点（0，6）在y轴上，∴k＜0，
所求的双曲线方程是，由﹣k+（﹣2k）＝c2＝36，∴k＝﹣12，
故所求的双曲线方程是，
6．（5分）函数f（x）＝（x﹣3）e x的单调递减区间是（）
A．（﹣∞，2）B．（0，3）C．（1，4）D．（2，+∞）【解答】解：∵数f（x）＝（x﹣3）e x
∴f′（x）＝（x﹣2）e x，
根据单调性与不等式的关系可得：
（x﹣2）e x＜0，即x＜2
所以函数f（x）＝（x﹣3）e x的单调递减区间是（﹣∞，2）
故选：A．
7．（5分）设函数的极大值为1，则函数f（x）的极小值为（）A．B．﹣1C．D．1
【解答】解：∵，
∴f′（x）＝x2﹣1，
令f′（x）＝x2﹣1＝0，解得x＝±1，
当x＞1或x＜﹣1时，f′（x）＞0，
当﹣1＜x＜1时，f′（x）＜0；
故f（x）在（﹣∞，﹣1），（1，+∞）上是增函数，在（﹣1，1）上是减函数；
故f（x）在x＝﹣1处有极大值f（﹣1）＝﹣+1+m＝1，解得m＝
f（x）在x＝1处有极小值f（1）＝﹣1+＝﹣，
故选：A．
8．（5分）曲线y＝e x在点（2，e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）A．e2B．2e2C．e2D．e2
【解答】解析：依题意得y′＝e x，
因此曲线y＝e x在点A（2，e2）处的切线的斜率等于e2，
相应的切线方程是y﹣e2＝e2（x﹣2），
当x＝0时，y＝﹣e2
即y＝0时，x＝1，
∴切线与坐标轴所围成的三角形的面积为：
S＝×e2×1＝．
故选：D．
9．（5分）已知直线y＝ax是曲线y＝lnx的切线，则实数a＝（）
A．B．C．D．
【解答】解：∵y＝lnx，∴y'＝
设切点为（m，lnm），得切线的斜率为，
所以曲线在点（m，lnm）处的切线方程为：y﹣lnm＝×（x﹣m）．
它过原点，∴﹣lnm＝﹣1，∴m＝e，
∴a＝．
故选：C．
10．（5分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），过其点F的直线l交抛物线C于点A，B，若|AF|：|BF|＝3：1，则直线l的斜率等于（）
A．±B．±1C．±D．±
【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），A在第一象限，
∵|AF|：|BF|＝3：1，
故y1＝﹣3y2，x1﹣＝3（﹣x2），
∴x1＝p，y1＝p，
∴直线l的斜率等于＝．
同理A在第三象限，直线l的斜率等于﹣．
故选：D．
11．（5分）若椭圆的弦被点（2，1）平分，则此弦所在的直线方程是（）A．x+y﹣3＝0B．x+2y﹣4＝0
C．2x+13y﹣14＝0D．x+2y﹣8＝0
【解答】解：设直线与椭圆交于点A，B，再设A（x1，y1），B（x2，y2），
由题意得，
两式相减，得（x12﹣x22）+2（y12﹣y22）＝0，
即＝﹣，
∵点M（2，1）是AB的中点，
∴k AB＝﹣＝﹣1，
则所求直线方程为y﹣1＝﹣（x﹣2），即x+y﹣3＝0；
故选：A．
12．（5分）已知点F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，过F1且垂直
于x轴的直线与椭圆交于A、B两点，若△ABF2是锐角三角形，则该椭圆的离心率e的取值范围是（）
A．（0，﹣1）B．（﹣1，1）C．（0，﹣1）D．（﹣l，1）【解答】解：∵点F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，
过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A、B两点，
∴F1（﹣c，0），F2（c，0），A（﹣c，），B（﹣c，﹣），
∵△ABF2是锐角三角形，
∴∠AF2F1＜45°，∴tan∠AF2F1＜1，
∴，
整理，得b2＜2ac，
∴a2﹣c2＜2ac，
两边同时除以a2，并整理，得e2+2e﹣1＞0，
解得e＞，或e＜﹣，（舍），
∴0＜e＜1，
∴椭圆的离心率e的取值范围是（）．
故选：B．
二、填空题（20分，每小题5分）
13．（5分）函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程为2x﹣y﹣3＝0，则f（2）+f'（2）＝3．
【解答】解：根据题意，函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程为2x﹣y﹣3＝0，即y＝2x﹣3，
则有f（2）＝1，
又由切线的斜率k＝2，则f'（2）＝2；
则f（2）+f'（2）＝1+2＝3；
故答案为：3．
14．（5分）点P是曲线y＝x2上任意一点，则点P到直线y＝2x﹣2的最小距离为．【解答】解：作直线y＝2x﹣2的平行线，使此平行线和曲线相切，则曲线的切线方程为y ＝2x+m的形式．
把y＝2x+m代入曲线y＝x2得x2﹣2x﹣m＝0，由△＝4+4m＝0 得，m＝﹣1．
故曲线的切线方程为y＝2x﹣1，由题意知，这两平行线间的距离即为所求．
这两平行线间的距离为：＝，
故答案为：
15．（5分）设M是椭圆上一点，F1，F2为焦点，如果∠MF1F2＝75°，
∠MF2F1＝15°，求椭圆的离心率．
【解答】解：∵△MF1F2中，∠MF1F2＝75°，∠MF2F1＝15°，
∴∠F1MF2＝90°，即△MF1F2是以F1F2为斜边的直角三角形．
∵M是椭圆上一点，
∴|MF1|+|MF2|＝2a，|F1F2|＝2c
∵Rt△MF1F2中，sin∠MF1F2＝＝，sin∠MF2F1＝＝
∴+＝，即＝
因此椭圆的离心率e＝＝
16．（5分）若以曲线y＝f（x）上的任意一点M（x，y）为切点作切线L，曲线上总存在异于M的点N（x1，y1），使得过点N可以作切线L1，且L∥L1，则称曲线y＝f（x）具有“可平行性”．下面有四条曲线：
①y＝x3﹣x②y＝x+③y＝sin x④y＝（x﹣2）2+lnx
其中具有可平行性的曲线为②③．（写出所有满足条件的曲线编号）
【解答】解：由题意得，曲线具有可平行性的条件是
方程y′＝a（a是导数值）至少有两个根．
①由y′＝3x2﹣1知，当y′＝﹣1时，x的取值唯一，只有0，不符合题意；
②由y′＝1﹣＝a（x≠0且a≠1），即＝1﹣a，此方程有两不同的个根，符合题意；
③由y′＝cos x和三角函数的周期性知，cos x＝a（﹣1≤a≤1）的解有无穷多个，符合题意；
④由y'＝2x﹣4+（x＞0），令2x﹣4+＝a，则有2x2﹣（4+a）x+1＝0，当△＝0时解唯一，
不符合题意，
故答案为：②③．
三、解答题（本答题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知函数f（x）＝x2+xlnx．
（1）求f′（x）；
（2）求函数f（x）图象上的点P（1，1）处的切线方程．
【解答】解：（1）根据导数公式可得f′（x）＝2x+lnx+1．
（2）当x＝1时，f'（1）＝2+1＝3，
所以切线斜率k＝3，
所以函数f（x）图象上的点P（1，1）处的切线方程为y﹣1＝3（x﹣1），
即y＝3x﹣2．
18．（12分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点坐标为（1，0）．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）若直线l：y＝x﹣1与抛物线C交于A，B两点，求弦长|AB|．
【解答】解：（1）由题意，p＝2，抛物线的标准方程是y2＝4x；
（2）直线l：y＝x﹣1与抛物线C联立可得x2﹣6x+1＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝6，
∴|AB|＝x1+x2+2＝8．
19．（12分）已知函数f（x）＝x3+bx2+cx﹣1在x＝﹣2时取得极值，且在点（﹣1，f（﹣1））处的切线的斜率为﹣3．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）在区间[﹣1，2]上的最大值与最小值．
【解答】解：（1）f'（x）＝3x2+2bx+c
依题意得解得：，
∴函数f（x）的解析式为f（x）＝x3+3x2﹣1．
（2）由（1）知f'（x）＝3x2+6x．令f'（x）＝0，
解得x1＝﹣2，x2＝0
列表：
从上表可知，f（x）在区间[﹣1，2]上的最大值是19，最小值是﹣1．
20．（12分）已知双曲线C与椭圆有相同的焦点，实半轴长为．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若直线与双曲线C有两个不同的交点A和B，且（其中O 为原点），求k的取值范围．
【解答】解：（1）设双曲线的方程为，
由题意知，，∴b2＝c2﹣a2＝1，解得b＝1，
故双曲线方程为．
（2）将代入，得
由得，且k2＜1，，，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则由，
得＝＝
，得．
又k2＜1，∴，解得，
所以k的取值范围为（﹣1，﹣）∪（，1）．
21．（12分）已知函数f（x）＝x++lnx，a∈R．
（Ⅰ）若f（x）在x＝1处取得极值，求a的值；
（Ⅱ）若f（x）在区间（1，2）上单调递增，求a的取值范围；
（Ⅲ）讨论函数g（x）＝f'（x）﹣x的零点个数．
【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）＝x++lnx（x＞0），
f′（x）＝1﹣+＝，
f（x）在x＝1处取得极小值，
即有f′（1）＝0，解得a＝2，
经检验，a＝2时，f（x）在x＝1处取得极小值．
则有a＝2；
（Ⅱ）f′（x）＝1﹣+＝，x＞0，
f（x）在区间（1，2）上单调递增，
即为f′（x）≥0在区间（1，2）上恒成立，
即a≤x2+x在区间（1，2）上恒成立，
由x2+x∈（2，6），
则a≤2；
（Ⅲ）g（x）＝f′（x）﹣x＝1﹣+﹣x，x＞0，
令g（x）＝0，则a＝﹣x3+x2+x，
令h（x）＝﹣x3+x2+x，x＞0，
则h′（x）＝﹣3x2+2x+1＝﹣（3x+1）（x﹣1），
当x∈（0，1），h′（x）＞0，h（x）在（0，1）递增；
当x∈（1，+∞），h′（x）＜0，h（x）在（1，+∞）递减．
即有h（x）的最大值为h（1）＝1，
则当a＞1时，函数g（x）无零点；
当a＝1或a≤0时，函数g（x）有一个零点；
当0＜a＜1时，函数g（x）有两个零点．
22．（12分）已知椭圆C：+y2＝1（a＞0），过椭圆C右顶点和上顶点的直线l与圆x2+y2＝相切．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设M是椭圆C的上顶点，过点M分别作直线MA，MB交椭圆C于A，B两点，设这两条直线的斜率分别为k1，k2，且k1+k2＝2，证明：直线AB过定点．
【解答】解：（1）椭圆C的右顶点（a，0），上顶点（0，1），
设直线l的方程为：+y＝1，化为：x+ay﹣a＝0，
∵直线l与圆x2+y2＝相切，
∴＝，a＞0，解得a＝．
∴椭圆C的方程为．
（2）当直线AB的斜率不存在时，
设A（x0，y0），则B（x0，﹣y0），
由k1+k2＝2得，得x0＝﹣1．
当直线AB的斜率存在时，
设AB的方程为y＝kx+m（m≠1），A（x1，y1），B（x2，y2），
，
得，
∴，即，由m≠1，（1﹣k）（m+1）＝﹣km⇒k＝m+1，
即y＝kx+m＝（m+1）x+m⇒m（x+1）＝y﹣x，
故直线AB过定点（﹣1，﹣1）．。