第五讲 勾股定理的应用(解析版)

第五讲 勾股定理的应用
目录
必备知识点 (1)
考点一 勾股定理的应用一--翻折问题 (2)
考点二 勾股定理的应用--路径最短 (9)
必备知识点
【模型1】
蚂蚁沿立方体的表面爬行，从A 点到B 点的最短路径？
【路径演示】
（1）AB=bc 2)(a 22222+++=
++c b a c b ；（2）AB=b 2)(c 22222a c b a a b +++=
++；（3）AB=c 2)(b 22222a c b a a c +++=+
+。

由此可见，ab
、bc 、ac
谁小，则路径就最小。

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【结论】
最短路径=2
2)(次长边最短边最长边++【模型2】
蚂蚁沿圆柱体的表面爬行，从A 点到C 点的最短路径？
【路径演示】
由图可知蚂蚁爬行的最短路径AC=2
2h )(+r π考点一 勾股定理的应用一--翻折问题
1．如图所示，有一块直角三角形纸片，∠C ＝90°，AC ＝8cm ，BC ＝6cm ，将斜边AB 翻折，使点B 落在直角边AC 的延长线上的点E 处，折痕为AD ，则CD 的长为 cm ．
【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝＝10，
根据折叠的性质可知：AE＝AB＝10，
∵AC＝8，
∴CE＝AE﹣AC＝2，
即CE的长为2，
设CD＝x，则BD＝6﹣x＝DE，
在Rt△CDE中，根据勾股定理得
CD2+CE2＝DE2，即x2+22＝（6﹣x）2，
解得x＝，
即CD长为cm．
故答案为：cm．
2．如图，Rt△ABC中，AB＝18，BC＝12，∠B＝90°，将△ABC折叠，使点A与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为　8　．
【解答】解：设BN＝x，由折叠的性质可得DN＝AN＝18﹣x，
∵D是BC的中点，
∴BD＝BC＝6，
在Rt△NBD中，BN2+BD2＝DN2，
x2+62＝（18﹣x）2，
解得：x＝8．
即BN＝8．
故答案为：8．
3．如图，已知E为长方形纸片ABCD的边CD上一点，将纸片沿AE对折，点D的对应点D′恰好在线段BE上．若AD＝3，DE＝1，则AB＝　5　．
【解答】解：∵折叠，
∴△ADE≌△AD'E，
∴AD＝AD'＝3，DE＝D'E＝1，∠DEA＝∠D'EA，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠DEA＝∠EAB，
∴∠EAB＝∠AEB，
∴AB＝BE，
∴D'B＝BE﹣D'E＝AB﹣1，
在Rt△ABD'中，AB2＝D'A2+D'B2，
∴AB2＝9+（AB﹣1）2，
∴AB＝5
故答案为：5
4．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为 ．
【解答】解：连接BF，
∵BC＝6，点E为BC的中点，
∴BE＝3，
又∵AB＝4，
∴AE＝＝5，
∴BH＝，
则BF＝，
∵FE＝BE＝EC，
∴∠BFC＝90°，
根据勾股定理得，CF＝＝＝．
故答案为：．
5．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，将△ABC折叠，使点B恰好落在斜边AC上，与点B′重合，AE为折痕，求AC和EB′的长．
【解答】解：设EB′＝x，
∵∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，
∴AC＝＝10，
由折叠的性质可知，BE＝EB′＝x，AB′＝AB＝6，
则CB′＝AC﹣AB′＝4，EC＝BC﹣BE＝8﹣x，
由勾股定理得，x2+42＝（8﹣x）2，
解得x＝3，
∴EB′＝3．
6．如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，PE与CD相交于点O，且OE＝OD．
（1）求证：OP＝OF；
（2）求AP的长．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠A＝∠C＝90°，AD＝BC＝6，CD＝AB＝8．
由翻折的性质可知：EP＝AP，∠E＝∠A＝90°，BE＝AB＝8，
在△ODP和△OEF中，
，
∴△ODP≌△OEF（ASA）．
∴OP＝OF．
（2）∵△ODP≌△OEF（ASA），
∴OP＝OF，PD＝EF．
∴DF＝EP．
设AP＝EP＝DF＝x，则PD＝EF＝6﹣x，CF＝8﹣x，BF＝8﹣（6﹣x）＝2+x，
在Rt△FCB根据勾股定理得：BC2+CF2＝BF2，即62+（8﹣x）2＝（x+2）2，
解得：x＝4.8，
∴AP＝4.8．
7．如图，将对角线BD长为16的正方形ABCD折叠，使点B落在DC边的中点Q处，点A落在P处，折痕为EF．
（1）求线段AB和线段CF的长；
（2）连接EQ，求EQ的长．
【解答】解：（1）∵对角线BD为16，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝＝16，
设CF＝x，由折叠可知QF＝BF＝16﹣x，
由于Q为CD中点，
则CQ＝＝8，
在直角三角形CFQ中，由勾股定理可得：
（16﹣x）2＝82+x2，解得：x＝6．
故CF＝6．
（2）如图所示，连接EQ，作EG⊥BC于点G，连接BQ交EF于点H，由折叠可知AE＝PE，BQ⊥EF，
∴∠BFE+∠FBQ＝90°，
又∠BFE+∠GEF＝90°，
∴∠FBQ＝∠GEF，
在△EGF和△BCQ中，
，
∴△EGF≌△BCQ（ASA），
∴GF＝CQ＝8，
∴AE＝BG＝BF﹣GF＝10﹣8＝2，
即PE＝2，
由折叠可得PQ＝AB＝16，∠P＝90°，
由勾股定理有EQ＝＝＝．
8．已知，如图，在长方形ABCD中，AB＝8，BC＝6，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，PE与CD相交于O，且OE＝OD，求AP的长．
【解答】解：设CD与BE交于点G，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠A＝∠C＝90°，AD＝BC＝6，CD＝AB＝8，
由翻折的性质得：△ABP≌△EBP，
∴EP＝AP，∠E＝∠A＝90°，BE＝AB＝8，
在△ODP和△OEG中，，
∴△ODP≌△OEG（ASA），
∴OP＝OG，PD＝GE，
∴DG＝EP，
∴AP＝EP＝DG，
设AP＝EP＝x，则PD＝GE＝6﹣x，DG＝x，
∴CG＝8﹣x，BG＝8﹣（6﹣x）＝2+x，
在Rt△BCG中，根据勾股定理得：BC2+CG2＝BG2，
即62+（8﹣x）2＝（x+2）2，
解得：x＝4.8，
∴AP＝4.8．
考点二勾股定理的应用--路径最短
9．如图，一个长方体盒子的长、宽、高分别为9cm，7cm，12cm，一只蚂蚁想从盒底的点A 沿盒的表面爬到盒顶的点B，那么它爬行的最短路程是多少？
【解答】解：①如图1，展开后连接AB，则AB就是在表面上A到B的最短距离，
在Rt△ABM中，由勾股定理得：AB＝＝20（cm）；
②如图2，展开后连接AB，则AB就是在表面上A到B的最短距离，
在Rt△ADB中，由勾股定理得：AB＝＝（cm）；
③如图3，展开后连接AB，则AB就是在表面上A到B的最短距离，
在Rt△ANB中，由勾股定理得：AB＝＝7（cm）．
∴蚂蚁爬行的最短路程是20cm．
10．如图，是放在地面上的一个无盖的长方形盒子，长、宽、高分别是4cm，4cm，6cm．一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面爬到盒顶的点B，你能帮蚂蚁设计一条最短的路线吗？
蚂蚁要爬行的最短行程是多少？
【解答】解：（1）如图1所示：
AB＝＝10（cm），
如图2所示：
AB＝（cm）．
∵10＜，
∴蚂蚁沿着正面和右面爬行即可；蚂蚁爬行的最短路程是10cm．
11．如图，圆柱形容器高为0.8m，底面周长为4.8m在容器内壁离底部0.1m的点B处有一只蚊子，此时一只壁虎正好在容器的顶部点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短路程是多少？
【解答】解：如图，将容器侧面展开，连接AB，则AB即为最短距离．
∵圆柱形容器高为0.8m，底面周长为4.8m在容器内壁离底部0.1m的点B处有一只蚊子，此时一只壁虎正好在容器的顶部点A处，
∴AD＝0.8m，DE＝2.4m，
过B作BC⊥AD于C，
则∠BCD＝90°，
∵四边形ACEF是矩形，
∴∠CDE＝∠DEB＝∠CAF＝∠BFA＝90°，
∴四边形BCDE和四边形ACBF是矩形，
∴CD＝BE＝0.1m，BC＝DE＝2.4m，
∴AC＝AD﹣CD＝0.7m，
在直角△ABC中，
AB＝＝＝2.5（m）．
答：壁虎捕捉蚊子的最短路程是2.5m．
12．如图，台阶A处的蚂蚁要爬到B处搬运食物，它怎么走最近？并求出最近距离．
【解答】解：如图所示：台阶平面展开图为长方形，AC＝20，BC＝5+5+5＝15，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．
由勾股定理得：AB2＝AC2+BC2，
即AB2＝202+152，
∴AB＝25，
∴最近距离为25．
13．如图是一个三级台阶，每级台阶都是长、宽和高分别等于90cm，25cm和15cm的长方体，A和B是这个台阶的两个相对的端点．在A点处有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，请你算一算，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短路程是多少？
【解答】解：展开后由题意得：∠C＝90°，AC＝3×25+3×15＝120，BC＝90，
由勾股定理得：AB＝＝＝150cm，
答：最短路程是150cm．
14．（1）如图1，长方体的长为4cm，宽为3cm，高为12cm．求该长方体中能放入木棒的最大长度；
（2）如图2，长方体的长为4cm，宽为3cm，高为12cm．现有一只蚂蚁从点A处沿长方体的表面爬到点G处，求它爬行的最短路程．
（3）若将题中的长方体换成透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿3cm的点A处．求蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是多少？
【解答】解：（1）由题意得：该长方体中能放入木棒的最大长度是：
（cm）．
（2）分三种情况可得：AG＝cm＞AG＝
cm＞AG＝cm，
所以最短路程为cm；
（3）∵高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿3cm与饭粒相对的点A处，
∴A′D＝5cm，BD＝12﹣3+AE＝12cm，
∴将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′，
连接A′B，则A′B即为最短距离，
A′B＝＝13（Cm）．。