人教版高中数学全套教案导学案专题一 第3讲 二次函数、基本初等函数及函数的应用

第3讲 二次函数、基本初等函数及函数的应用
自主学习导引
真题感悟
1．(2012·四川)函数y ＝a x －1
a (a ＞0，且a ≠1)的图象可能是
解析 利用指数函数的图象与性质解答．
当a ＞1时，y ＝a x －1a 为增函数，且在y 轴上的截距为0＜1－1
a ＜1，排除A ，B. 当0＜a ＜1时，y ＝a x －1a 为减函数，且在y 轴上的截距为1－1
a ＜0，故选D. 答案 D
2．(2012·湖北)函数f (x )＝x cos 2x 在区间[0,2π]上的零点的个数为 A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
解析 分别判断y ＝x 和y ＝cos 2x 的零点．
y ＝x 在[0,2π]上的零点为x ＝0，y ＝cos 2x 在[0,2π]上的零点x ＝π4，3π4，5π4，7π
4，所以f (x )在区间[0,2π]上的零点个数为5. 答案 D
考题分析
对于基本初等函数，高考主要考查其图象与性质，题目较容易；基本初等函数的应用、函数与方程是近几年高考的热点，考查内容一般为函数的实际应用题、函数零点个数的判定或根据零点的个数求参数的范围．题型一般为选择题或填空题，难度中等．
络构建
高频考点突破
考点一：二次函数
【例1】已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2，x ∈[－5,5]． (1)当a ＝－1时，求函数f (x )的最大值和最小值；
(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－5,5]上是单调函数． [审题导引] (1)把二次函数式配方并求其最值； (2)利用对称轴与区间的位置关系求a 的取值范围．
[规范解答] (1)当a ＝－1时，
f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[－5,5]， ∴x ＝1时，f (x )取得最小值1； x ＝－5时，f (x )取得最大值37.
(2)函数f (x )＝(x ＋a )2＋2－a 2的图象的对称轴为直线x ＝－a ， ∵y ＝f (x )在区间[－5,5]上是单调函数， ∴－a ≤－5或－a ≥5.
故a 的取值范围是(－∞，－5]∪[5，＋∞)．
【规律总结】
二次函数最值的求法
求二次函数在某段区间上的最值时，要利用好数形结合，特别是含参数的两种类型：“定轴动区间，定区间动轴”的问题，抓住“三点一轴”，三点指的是区间两个端点和区间中点，一轴指的是对称轴． 【变式训练】 1．若关于x 的方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是
A ．(－1,1)
B ．(－2,2)
C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
解析 由方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的实数根，可得判别式Δ＝m 2－4＞0，解得m ＞2，或m ＜－2，故选C. 答案 C
2．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，如果f (x 1)＝f (x 2)(x 1≠x 2)，则f (x 1＋x 2)＝
A ．－b 2a
B ．－b
a C ．c D.4ac －
b 2
4a 解析 ∵f (x 1)＝f (x 2)，
∴f (x )的对称轴为x 0＝－b 2a ＝x 1＋x 2
2， 得f (x 1＋x 2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a ＝a ·b 2a 2＋b ·⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－b a ＋c ＝c .
答案 C
考点二：指数函数、对数函数及幂函数
【例2】(1)(2012·威海模拟)已知函数f(x)＝log
a
(2x＋b－1)(a＞0，a≠1)的图象如图所示，则a、b满足的关系是
A．0＜a－1＜b－1＜1 B．0＜b＜a－1＜1
C．0＜b－1＜a＜1 D．0＜a－1＜b＜1
(2)(2012·运城模拟)已知幂函数y＝xm2－2m－3(m∈N
＋
)的图象与x轴、y轴无交点且关于原点对称，则m＝________.
[审题导引](1)利用对数函数的图象特征及指数函数的相关性质解决；
(2)令m2－2m－3＜0解不等式，结合函数的奇偶性求得m，但要注意m∈N＋.
[规范解答](1)由图知函数f(x)的零点x
＞0，
即f(x
0)＝log
a
(2x
＋b－1)＝0，得2x
＋b－1＝1，
∴b＝2－2x
.
∵x
0＞0，∴2x
＞1，∴b＜1.
由图知f(0)＝log
a
(20＋b－1)＞－1，且a＞1，
∴log
a
b＞－1，即b＞a－1，故0＜a－1＜b＜1.
(2)∵幂函数y＝xm2－2m－3(m∈N＋)的图象与x轴、y轴无交点，∴m2－2m－3＝(m－3)(m＋1)＜0，即－1＜m＜3.
又m∈N＋，∴m＝1或m＝2，
当m＝1时，y＝m－4是偶函数，当m＝2时满足题意．
[答案](1)D(2)2
【规律总结】
利用幂函数、指数函数、对数函数的图象与性质求参数的范围(值)
(1)幂、指、对函数的参数一般与其单调性有关，故解题时要特别关注函数的单调性；
(2)在涉及函数的图象时，需注意应用函数图象与坐标轴的交点、对称性或函数图象的变换求解．
[易错提示] (1)涉及对数函数与幂函数时，需注意其定义域； (2)在幂函数的有关计算中，要注意参数值的验证．
3．若x ∈(e －1,1)，a ＝ln x ，b ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12ln x ，c ＝e ln x ，则
A ．c ＞b ＞a
B ．b ＞a ＞c
C ．a ＞b ＞c
D ．b ＞c ＞a
解析 ∵x ∈(e －1,1)，y ＝ln x 为(0，＋∞)上的增函数，
∴a ＝ln x ∈(－1,0)，因为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x
为R 上的减函数，且ln x ∈(－1,0)，
故b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12ln x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫
⎝ ⎛⎭⎪⎫120，⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1，即b ∈(1,2)；
因为c ＝e ln x ＝x ∈(e －1,1)， 故b ＞1＞c ＞0＞a ，所以b ＞c ＞a . 答案 D
4．(2012·北京东城二模)已知函数f (x )＝x 1
2，给出下列命题：
①若x ＞1，则f (x )＞1；②若0＜x 1＜x 2，则f (x 2)－f (x 1)＞x 2－x 1；③若0＜x 1＜x 2，则x 2f (x 1)＜x 1f (x 2)；④若0＜x 1＜x 2，则
f (x 1)＋f (x 2)2＜f ⎝
⎛⎭
⎪⎫
x 1＋x 22. 其中，所有正确命题的序是________． 解析 若x ＞1，则f (x )＝x ＞1，故①正确； 令x 2＝4，x 1＝1，知②③都不正确；
∵f (x )＝x 1
2是上凸函数，根据其图象可知④正确． 答案 ①④ 考点三：函数的零点
【例3】(1)已知f (x )＝⎩⎨⎧
x ＋3， x ≤1，
－x 2＋2x ＋3， x ＞1，则函数g (x )＝f (x )－e x 的零点个数
为
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
(2)(2012·大同模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧
x －1， x ＞0，
2－|x |＋1， x ≤0，若关于x 的方程f (x )＋2x
－k ＝0有且只有两个不同的实根，则实数k 的取值范围为________．
[审题导引] (1)利用函数f (x )的图象与y ＝e x 的图象交点的个数来求解g (x )零点的个数；
(2)利用数形结合法求解．
[规范解答] (1)函数g (x )＝f (x )－e x 的零点个数，即为函数f (x )与y ＝e x 的图象交点的个数，如图所示，作出函数f (x )与y ＝e x 的图象，由图象，可知两个函数图象有两个交点，
∴函数g (x )＝f (x )－e x 有两个零点，故选B.
(2)易知f (x )＝⎩⎨⎧
x －1， x ＞0，
2x ＋1， x ≤0，把方程f (x )＋2x －k ＝0化为f (x )＝－2x ＋k ，
在同一坐标系内作出函数y ＝f (x )与y ＝－2x ＋k 的图象，由图知－1＜k ≤2.
[答案] (1)B (2)－1＜k ≤2 【规律总结】
1．涉及函数的零点问题的常见类型
函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的有：①数值的确定；②所在区间的确定；③个数的确定．解决这类问题的常用方法有解方程，根据区间端点函数值的符数形结合，尤其是那些方程两边对应的函数类型不同的方程多以数形结合求解．
2．确定函数零点的常用方法
(1)解方程判定法：若方程易解时应用此法． (2)利用零点的存在性定理．
(3)利用数形结合法，尤其是当方程两端对应的函数类型不同时如绝对值、分式、指数、对数以及三角函数等方程多以数形结合法求解． 【变式训练】
5．函数f (x )＝2x ＋3x 的零点所在的一个区间是 A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1) D ．(1,2)
解析 由题意可知f (－2)＝14－6＜0，f (－1)＝1
2－3＜0，f (0)＝1＞0，f (1)＞0，f (2)＞0，f (－1)f (0)＜0，因此函数f (x )在区间(－1,0)上一定有零点． 答案 B
6．(2012·泉州模拟)已知函数y ＝f (x )和y ＝g (x )的定义域及值域均为[－a ，a ](常
数a ＞0)，其图象如图所示，则方程f [g (x )]＝0根的个数为
A ．2
B ．3
C ．5
D ．6
解析 由f (x )的图象可知方程f (x )＝0有三个根，分别设为x 1，x 2，x 3， ∵f [g (x )]＝0，∴g (x )＝x 1，g (x )＝x 2或g (x )＝x 3， ∵－a ＜x 1＜a ，g (x )∈[－a ，a ]，
∴由g (x )的图象可知y ＝x 1与y ＝g (x )的图象有两个交点， 即方程g (x )＝x 1有两个根，
同理g (x )＝x 2，g (x )＝x 3各有两个根， 所以方程f [g (x )]＝0有6个根． 答案 D
考点四：函数的实际应用
【例4】 (2012·莆田模拟)如图，需在一张纸上印上两幅大小完全相同，面积都是32 cm 2的照片．排版设计为纸上左右留空各3 cm ，上下留空各2.5 cm ，图间留空为1 cm.照此设计，则这张纸的最小面积是________cm 2.
[审题导引] 设照片的长为x cm ，则这张纸的面积可用x 来表示，即可求得其最小值．
[规范解答] 设照片的长为x cm ，则宽为32
x cm ，
所以纸的面积y ＝(x ＋6)⎝ ⎛
⎭⎪⎫2×32x ＋6
＝2(x ＋6)⎝ ⎛⎭⎪⎫
32x ＋3(x ＞0)，
y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋192x ＋18＝6⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x ＋64x ＋6
≥6⎝ ⎛⎭
⎪⎫
2
x ×64x ＋6＝6(16＋6)＝132 cm 2，当且仅当x ＝64x ，即x ＝8时等成
立．
[答案] 132 【规律总结】
应用函数知识解应用题的步骤
(1)正确地将实际问题转化为函数模型，这是解应用题的关键，转化来源于对已知条件的综合分析、归纳与抽象，并与熟知的函数模型相比较，以确定函数模型的种类．
(2)用相关的函数知识进行合理设计，确定最佳解题方案，进行数学上的计算求解．
(3)把计算获得的结果带回到实际问题中去解释实际问题，即对实际问题进行总结作答． 【变式训练】
7．(2012·日照模拟)已知正方形ABCD 的边长为22，将△ABC 沿对角线AC 折起，使平面ABC ⊥平面ACD ，得到如图所示的三棱锥B －ACD .若O 为AC 边的中点，M 、N 分别为线段DC 、BO 上的动点(不包括端点)，且BN ＝CM .设BN ＝x ，则三棱锥N －AMC 的体积y ＝f (x )的函数图象大致是
解析 ∵AB ＝22，
∴AC ＝4，BO ＝1
2AC ＝2，ON ＝2－x . S △AMC ＝S △ADC －S △ADM ＝4－12·22·(22－x )＝2x ， 易知BO ⊥平面ADC .
∴V N －AMC ＝f (x )＝13×2x ·(2－x )＝23x (2－x )． 故选B. 答案 B
名师押题高考
【押题1】设0＜a ＜1，函数f (x )＝log a (a 2x －2a x －2)，则使f (x )＜0的x 的取值范围是
A ．(－∞，0)
B ．(0，＋∞)
C ．(－∞，log a 3)
D ．(log a 3，＋∞)
解析 因为0＜a ＜1，所以y ＝log a x 为(0，＋∞)上的减函数， 因为f (x )＜0，即log a (a 2x －2a x －2)＜0， 则a 2x －2a x －2＞1，
设t ＝a x ，则t ＞0，不等式变为t 2－2t －3＞0， 即(t ＋1)(t －3)＞0，解得t ＞3或t ＜－1(舍去)． 由a x ＞3，解得x ＜log a 3，故选C.
答案 C
[押题依据] 高考对指数函数与对数函数的考查一般集中在函数的单调性与图象上，本题考查了指数函数、对数函数的单调性，不等式的解法以及换元的数学思想、综合性较强．体现了灵活性与能力性，故押此题．
【押题2】已知函数f (x )＝⎩⎨⎧
2， x ＞m ，
x 2＋4x ＋2 x ≤m ，
的图象与直线y ＝x 恰有
三个公共点，则实数m 的取值范围是
A ．(－∞，－1]
B ．[－1,2)
C ．[－1,2]
D ．[2，＋∞)
解析 在同一坐标系内作出直线y ＝x 与函数y ＝x 2＋4x ＋2的图象， ∵直线y ＝x 与y ＝f (x )有三个交点， 故y ＝x 与y ＝x 2＋4x ＋2有两个交点． 与y ＝2有一个交点，∴－1≤m ＜2.
答案 B
[押题依据] 本题考查了函数零点个数的判断方法以及参数的求法，同时突出了对数形结合的数学思想方法的考查．难度中等、题目典型，故押此题。