教学设计3：9.1.2 余弦定理

9.1.2 余弦定理
教学目标
1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明方法.
2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.
3.能利用余弦定理解决有关三角形的恒等化简，证明及形状判断等问题． 教学知识梳理 知识点一 余弦定理
在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，则有
思考 在a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 中，若A ＝90°，公式会变成什么？ 【答案】a 2＝b 2＋c 2，即勾股定理．
知识点二 余弦定理可以用于两类解三角形问题
1．已知三角形的两边和一角，求三角形的第三边和其他两个角． 2．已知三角形的三边，求三角形的三个角． 教学小测
1．在△ABC 中，已知a ＝4，b ＝6，∠C ＝120°，则边c 的值是( ) A ．8 B ．217 C ．62 D ．219
【答案】D
【解析】由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝16＋36－2×4×6×(－1
2
)＝76，∴c ＝219.
2．在△ABC 中，cos C 2＝5
5，BC ＝1，AC ＝5，则AB ＝( )
A ．42
B ．30
C ．29
D ．25
【答案】A
【解析】cos C ＝2cos 2C 2－1＝2×⎝⎛⎭⎫5
52－1＝－35，在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝CA 2＋
CB 2－2CA ·CB ·cos C ，
所以AB 2＝1＋25－2×1×5×⎝⎛⎭⎫－3
5＝32，所以AB ＝4 2. 3．在△ABC 中，已知a 2＝b 2＋c 2＋bc ，则角A 为( ) A ．π
3
B ．π6
C ．2π3
D ．π3或2π3
【答案】C
【解析】∵a 2＝b 2＋c 2＋bc ，
∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－b 2－c 2－bc 2bc ＝－12，又∵0<A <π，∴A ＝2π
3
.
4．已知三角形的两边长分别为4和5，它们的夹角的余弦值是方程2x 2＋3x －2＝0的根，则第三边的长是 . 【答案】21.
【解析】解2x 2＋3x －2＝0，得x 1＝1
2或x 2＝－2(舍去)．
∴夹角的余弦值为1
2
，根据余弦定理得第三边长为
42＋52－2×4×5×1
2
＝21.
5．在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝13，AC ＝4，则边AC 上的高为 . 【答案】3
2
3
【解析】如图，cos A ＝32＋42－(13)22×3×4＝1
2，
∴sin A ＝
32.∴BD ＝AB ·sin A ＝3
2
3.
教学案例
案例一 已知两边及一角解三角形
例1.在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，A ＝π
6，则a ＝________.
【答案】1
【解析】a ＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝1.
反思感悟 已知三角形的两边及一角解三角形．
(1)已知三角形的两边及其夹角，先用余弦定理求出第三边，再用正弦定理或余弦定理求解． (2)已知三角形的两边及一边的对角，可利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边．
跟踪训练1.在△ABC 中，若a ＝5，c ＝4，cos A ＝9
16，则b ＝________.
【答案】6
【解析】由余弦定理可知 25＝b 2＋16－2×4b cos A ， 即b 2－9
2b －9＝0，
解得b ＝6.
案例二 已知三边或三边关系解三角形
例2.在△ABC 中，a ﹕b ﹕c ＝3﹕5﹕7，求其最大内角．
解：由于a ﹕b ﹕c ＝3﹕5﹕7，不妨设a ＝3k ，b ＝5k ，c ＝7k (k >0)．因此c 边是最大边，其所对角C 为最大内角． 由余弦定理推论得：
cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝9k 2＋25k 2－49k 22·3k ·5k ＝－12，
∴∠C ＝120°， 即最大内角为120°.
反思感悟 已知三角形的三边解三角形的方法
(1)先利用余弦定理求出一个角的余弦，从而求出第一个角，再利用余弦定理或由求得的第一个角利用正弦定理求出第二个角，最后利用三角形的内角和定理求出第三个角． (2)利用余弦定理求出三个角的余弦，进而求出三个角．
跟踪训练2.已知在△ABC 中，a ﹕b ﹕c ＝2﹕6﹕(3＋1)，求∠A 的度数． 解：∵a ﹕b ﹕c ＝2﹕6﹕(3＋1)， 令a ＝2k ，b ＝6k ，c ＝(3＋1)k (k >0)．
由余弦定理cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝2
2，
∵A ∈(0，π)，∴∠A ＝45°. 案例三 判断三角形的形状
例3.在△ABC 中，若B ＝60°，2b ＝a ＋c ，试判断△ABC 的形状． 解：解法一：由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ． ∵B ＝60°且b ＝a ＋c
2，
∴⎝⎛
⎭⎫a ＋c 22
＝a 2＋c 2
－2ac cos60°.
整理，得(a －c )2＝0，∴a ＝c ，∴a ＝b ＝c ， ∴△ABC 为正三角形．
解法二：由正弦定理，得2sin B ＝sin A ＋sin C ． 又∵B ＝60°，∴A ＋C ＝120°. 即A ＝120°－C ，代入上式， 得2sin60°＝sin(120°－C )＋sin C ． 整理，得
32sin C ＋1
2
cos C ＝1. ∴sin(C ＋30°)＝1，∴C ＋30°＝90°， ∴C ＝60°，∴A ＝60°. ∴△ABC 为正三角形．
反思感悟 利用余弦定理判断三角形形状的两种途径
(1)化边的关系：将条件中的角的关系，利用余弦定理化为边的关系，再变形条件判断． (2)化角的关系：将条件转化为角与角之间关系，通过三角恒等变换得出关系进行判断． 跟踪训练3.在△ABC 中，若a ＝2b cos C ，则△ABC 的形状为________． 【答案】等腰三角形
【解析】法一：∵a ＝2b cos C ＝2b ·a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 2－c 2
a ，
∴a 2＝a 2＋b 2－c 2，即b 2＝c 2，b ＝c ， ∴△ABC 为等腰三角形．
法二：∵a ＝2b cos C ，∴sin A ＝2sin B cos C ， 而sin A ＝sin(B ＋C ) ＝sin B cos C ＋cos B sin C ， ∴cos B sin C ＝sin B cos C ， 即sin B cos C －cos B sin C ＝0，
∴sin(B －C )＝0. 又－180°<B －C <180°， ∴B －C ＝0，即B ＝C . ∴△ABC 为等腰三角形． 课堂小结 1．知识清单： (1)余弦定理．
(2)余弦定理解决的两类问题． (3)利用余弦定理判断三角形的形状． 2．方法归纳：化归转化、数形结合． 3．常见误区：不要忽视三角形中的隐含条件． 当堂达标
1．在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝7，则∠BAC ＝________. 【答案】2
3
π
【解析】由余弦定理得cos ∠BAC ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝25＋9－492×5×3＝－1
2.∵0<∠BAC <π，
∴∠BAC ＝2
3
π.
2．在△ABC 中，已知a ＝1，b ＝2，C ＝60°，则c ＝________. 【答案】3
【解析】∵c 2＝1＋4－2×1×2cos 60° ＝1＋4－2 ＝3， ∴c ＝ 3.
3．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若b 2＝ac ，且a 2－c 2＝ac －bc ，则角A 的大小为________． 【答案】60°
【解析】∵b 2＝ac ，且a 2－c 2＝ac －bc ， ∴b 2＋c 2－a 2＝bc .
在△ABC 中，由余弦定理得： cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝1
2，
又∵0°<A <180°， ∴A ＝60°.
4．在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，cos B ＝－1
4，则b ＝________.
【答案】4
【解析】因为b ＋c ＝7，所以c ＝7－b .
由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即b 2＝4＋(7－b )2－2×2×(7－b )×⎝⎛⎭⎫－14， 解得b ＝4.
5．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b 2＋c 2＝a 2＋3bc ，求： (1)A 的大小；
(2)2sin B cos C －sin(B －C )的值．
解：(1)由余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 故cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝3bc 2bc ＝32，所以A ＝π
6.
(2)2sin B cos C －sin(B －C )
＝2sin B cos C －(sin B cos C －cos B sin C ) ＝sin B cos C ＋cos B sin C
＝sin(B ＋C )＝sin(π－A )＝sin A ＝1
2.。