安徽省滁州市明光中学2018-2019高二下学期第一次月考

安徽省明光中学2018-2019学年第一次月考
高二数学（理）试卷
满分：150分 时间：120分钟
一．选择题（12题，每题5分，共计60分） 1．命题“对任意的x ∈R ，02>x ”的否定是( ) A ．不存在x 0∈R,020
>x B ．存在x 0∈R ，02
>x
C ．存在x 0∈R ，02
≤x D ．对任意的x ∈R ，02≤x
2.在复平面内，复数z 满足z (1＋i)＝|1＋i|，则z 的共轭复数对应的点位于( ) A ． 第一象限 B ． 第二象限 C ． 第三象限 D ． 第四象限
3．已知条件p ：x 2
＋x －2>0，条件q ：5x －4>x 2
，则¬p 是¬q 的( ) A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件
D.既不充分也不必要条件
4．已知命题p ：若方程0122=+-x ax 有实数解，则1≤a ；命题q ：函数y ＝x 2
－2x 在[0，2]上的最大值与最小值之和为1.则下列为真命题的是( ) A ．¬p 或q B ．¬p 且¬q C ．p 且q D . p 且¬q
5．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为2
1，则双曲线x 2a 2－y
2
b 2＝1的渐近线方程为( )
A ．y ＝±12
B ．y ＝±2x
C ．y ＝±3
2x
D.y ＝±1
4
x
6.已知椭圆
的左右焦点,
，是椭圆上的动点,则1PQ PF ∙
的最大值
( )
A. 4
B.
C. 5
D.
7．如图，三棱锥D -ABC 中， ， ，平面DBC ⊥平面ABC ，M ，N 分别为DA 和DC 的中点，则异面直线CM 与BN 所成角的余弦值为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．0
8.如图，给7条线段的5个端点涂色，要求同一条线段的两个端点不能同色，现有5种不同
的颜色可供选择，则不同的涂色方法种数有
A ．120
B ．240
C ．360
D ．540
9．已知椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x C ：的左顶点为A ，上顶点为B ，过椭圆C 的右焦点作x
轴的垂线交直线AB 于点D ，若直线OD 的斜率是直线AB 的斜率的k 倍，其中O 为坐标原点，且5>k ，则椭圆C 的离心率e 的取值范围为（ ） A ．⎪⎭⎫
⎝⎛141， B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛410， C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛151， D ．⎪⎭
⎫ ⎝⎛510， 10.已知函数
,若方程 恰有两个不同的实数根，则实数 的取值范围是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
11.在棱长为1的正方体 中，点E 是棱BC 的中点，F 是棱1CC 靠近1C 的三等分点，动点P 在侧面 内运动，若 ∥平面 ，则P 点在面 内轨迹长度是( )
A.1
B.
22 C.32 D ．6
5 12.明光中学某班现需要将“文明标兵”、“文明之星”、“道德模范”、“优秀学生”、“先进个人”五种荣誉分配给3个学生，且每个学生至少获得一种荣誉，五种荣誉中“文明标兵”与“文明之星”不能分给同一个学生，则不同的分配方法共有（ ） A ．114种 B ．130种 C ．118种 D ．120种 二．填空题（4题，每题5分，共计20分）
13．已知向量(2,3,4)AB =，),,3(y x =，若//，则=xy ． 14.已知 则 15.已知正整数72的所有正约数之和可按如下方法得到：因为233272⨯=，所以72的所有正约数之和为 32 .参照上述方法，可求得400的所有正约数之和为_________．
16.已知函数f(x)=a x e ,g(x)=sinx+1,若对任意的[)
+∞∈,
x 0，都有f(x)≥g(x)成立, 则a 的取值范围是________．
三．解答题（第17题10分，18-22题每题12分，共计70分）
17.（108项的系数与第6项的系数之比是8:7.
（1）求展开式中11x 的系数；
（2）求展开式中系数绝对值最大的项；
18．（12分）设函数 在 时取得极值． （1）求实数 的值；
（2）求函数 在区间 上的最值．
19．（12分）已知数列 的前 项和 ， ，
. （1）求 ；
（2）猜想数列 的通项公式，并用数学归纳法给予证明.
20.（12分）如图,直线l 与抛物线x y
42
=交于1122(,),(,)A x y B x y 两点,与x 轴相交于点
M ,且OB OA ⊥.
(1)求证:直线AB 过定点;
(2)求AOB ∆的面积的最小值.
21．(12分)如图，在四棱锥P ­ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形. (1)求证：平面PBD ⊥平面PAC ；
(2)若AB ＝2，∠BAD ＝60°，PA ＝4，求平面PBC 与平面PDC 所成角的余弦值．
22. (12分)已知函数()ax x x
ln x f
++
=2
2
1. (1) 讨论()
x f 的单调性；
(2) 若2≥a ，证明：对()()()
21212140x x x f x f ,,
x ,x -≥-+∞∈∀
2018-2019第二学期第一次月考高二数学理科答案 一． 选择题
1-5 CACDC 6-10 BADBC 11-12 DA 二． 填空题
13.27 14.8 15.961 16.1≤a
三．解答
17.试题解析：（1）由()(
)782
25
5
7
7
:C :C n n =--，n=9通项()27522
r+1
9
2r r
r
T
C x
-=-，
令
2751122
r
-= 1r ⇒=.∴展开式中11x 的系数为()1
19218C -=-………………….（5分）
（2）设第1r +项系数的绝对值最大，则11
99119
9
2222{ r r r r r r r r C C C C ++--≥≥ 17320r ⇒≤≤
所以=6r .∴系数绝对值最大的项为： ()
273036
6
22
2
9
25376C
x
x --
-=………………….(10分)
18.（1）()1232++=ax x x f '，()201231=⇒=+-=-a ,a 'f …(5分) （2）因为a=2,所以()1432++=x x x f '，令()01432=++=x x x f '，得
3
1
121-=-=x ,x ，又因为()(),f ,f ,f 427
104
314122<=
⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛
-=-=-f （0）=4，所以最小值为f(-2)=2, 最大值为f(-1)=f(0)=4…………………(12分) 19. （1）分别取 得
，
，
， 解得 ， ， ...........................................................(5分) （2）猜想
时，由（1）知， ，猜想成立， 假设 时，
则
所以
因为 ，所以 所以， 时 成立，
综上所述，任意 ， ……………………………….(12分)
20（1）设044代入抛物线方程得方程为直线2=--+=n my y ,n my x l ，所以n y y ,m y y 442121-==+，221n x x =，02121=+∴⊥y y x x OB OA ，所以n=4，故恒过M(4,0)点……………（6分）
（2）()1664162422
12212
2121≥+=-+=-⨯⨯=m y y y y y y OM S AOB ∆
即m=0时成立………………..(12分)
21解：(1)证明：因为底面ABCD 是菱形，所以BD ⊥AC .
又P A ⊥平面ABCD ，所以BD ⊥P A .又P A ∩AC ＝A ，所以BD ⊥平面P AC .又PBD BD 平面⊂所以平面PBD ⊥平面PAC …………………(5 分) (2)
以BD 与AC 的交点O 为坐标原点，OB ，OC 所在直线为x 轴，y 轴，过点O 且垂直于平面ABCD 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
由已知可得，AO ＝OC ＝3，OD ＝OB ＝1，所以P (0，－3，4)，B (1，0，0)，C (0，3，0)，D (－1，0，0)，＝(0，23，－4)，＝(－1，3，0)，＝(－1，－3，0)．
设平面PBC 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，平面PDC 的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，
z 2)，
由可得⎩⎨⎧23y 1－4z 1＝0，－x 1＋3y 1＝0，
令x 1＝3，可得n 1＝⎝⎛⎭⎫3，1，3
2.同理，由可得n 2＝
⎝
⎛⎭⎫－3，1，32，所以cos 〈n 1，n 2
〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝－519，所以平面PBC 与平面PDC 所成角的余弦值为5
19
………….(12分)
22.(1)()x
ax x a x x x f '
1
1
2++=++= (I)()()x f ,x f ,a '02≥-≥单调递增
(II)2
4
24得0时，令22221-+-=
---==-<a a x ,a a x ,)x (f a '
)x ,(10,()()单调递增0x f ,x f '>
()()()单调递减021
x f ,x f ,x ,x '< ()()()单调递增02
x f ,x f ,,x
'>+∞
(2) 2≥a 时，由（1）得f(x)单调递增
()()()())x x (x f x f x x x f x f 2121212144-≥-⇔-≥-∴即证明
()()221144x x f x x f -≥-，构造()()()单增即可证明4x g ,x x f x g -=
()()()单增，命题得证。

01
42x g x
x a x x g '
∴≥+-+=
(3)。