人教版八年级数学下册暑假作业09-正方形(解析版)

暑假作业09-正方形
一、单选题
1.矩形、菱形、正方形都具有的性质是（）
A.对角线相等
B.对角线互相平分
C.对角线互相垂直
D.四条边都相等
【答案】B
【解析】
【分析】
矩形，菱形，正方形都是特殊的平行四边形，因而平行四边形具有的性质就是矩形，菱形，正方形都具有的性质．
【详解】
矩形，菱形，正方形都具有的性质：对角线互相平分．
故选B．
【点睛】
本题主要考查的是对矩形，菱形，正方形的性质的理解．
2.下列说法不能判断是正方形的是（）
A.对角线互相垂直且相等的平行四边形
B.对角线互相垂直的矩形
C.对角线相等的菱形
D.对角线互相垂直平分的四边形
【答案】D
【解析】
【分析】
正方形是特殊的矩形和菱形，要判断是正方形，选项中必须要有1个矩形的特殊条件和1个菱形的特殊条件.
【详解】
A中，对角线相互垂直的平行四边形可判断为菱形，又有对角线相等，可得正方形；
B中对角线相互垂直的矩形，可得正方形；
C中对角线相等的菱形，可得正方形；
D中，对角线相互垂直平分，仅可推导出菱形，不正确
故选：D
【点睛】
本题考查证正方形的条件，常见思路为：
（1）先证四边形是平行四边形；
（2）再添加一个菱形特有的条件；
（3）再添加一个矩形特有的条件
3.如图所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过顶点D，B作DE⊥a于点E，BF⊥a于点F，若DE=4，BF=3，则EF的长为（）
A.1
B.5
C.7
D.12
【答案】C
【解析】
【分析】
因为ABCD 是正方形，所以AB ＝AD ，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，则有∠ABF ＝∠DAE ，又因为DE ⊥a 、BF ⊥a ，根据AAS 易证△AFB ≌△AED ，所以AF ＝DE ＝4，BF ＝AE ＝3，则EF 的长可求．
【详解】
∵ABCD 是正方形
∴AB ＝AD ，∠ABC ＝∠BAD ＝90°
∵∠ABC ＋∠ABF ＝∠BAD ＋∠DAE
∴∠ABF ＝∠DAE
在△AFB 和△AED 中
{∠ABF =∠DAE AB =AD ∠AFB =∠AED
∴△AFB ≌△AED
∴AF ＝DE ＝4，BF ＝AE ＝3
∴EF ＝AF ＋AE ＝4＋3＝7．
故选：C ．
【点睛】
此题把全等三角形的判定和正方形的性质结合求解．考查学生综合运用数学知识的能力．
4.如图，在正方形ABCD 外侧，作等边三角形ADE ，AC 、BE 相交于点F ，则∠CFE 为（）
A.150°
B.145°
C.135°
D.120°
【答案】D
【解析】
【分析】
根据正方形的性质及全等三角形的性质求出∠ABE=15°，∠BAC=45°，再求∠BFC ，即可得出∠CFE.
【详解】
∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB=AD ，
又∵△ADE 是等边三角形，
∴AE=AD=DE ，∠DAE=60°，
∴AB=AE ，
∴∠ABE=∠AEB ，∠BAE=90°+60°=150°，
∴∠ABE=（180°-150°）÷2=15°，
又∵∠BAC=45°，
∴∠BFC=45°+15°=60°，
∴∠CFE=180°-∠BFC=120°
故选：D.
【点睛】
本题主要是考查正方形的性质和等边三角形的性质，本题的关键是求出∠ABE=15°.
5.如图，在四边形ABCD 中，AB=AD ，∠BAD =∠BCD =90°，连接AC .若AC =8，则四边形ABCD 的面积为（
）
A.32
B.24
C.40
D.36
【答案】A
【解析】
【分析】
作辅助线；证明△ABM≌△ADN，得到AM＝AN，△ABM与△ADN的面积相等；求出正方形AMCN的面积即可解决问题．【详解】
解：如图，作AM⊥BC、AN⊥CD，交CD的延长线于点N；
∵∠BAD＝∠BCD＝90°
∴四边形AMCN为矩形，∠MAN＝90°；
∵∠BAD＝90°，
∴∠BAM＝∠DAN；
在△ABM与△ADN中，
{∠BAM＝∠DAN
∠AMB＝∠AND
AB＝AD，
∴△ABM≌△ADN（AAS），
∴AM＝AN（设为a）；△ABM与△ADN的面积相等；
∴四边形ABCD的面积＝正方形AMCN的面积；
由勾股定理得：AC2＝AM2＋MC2，而AC＝8；
∴2a2＝64，a2＝32，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定和性质、正方形的判定和性质等知识；解题的关键是作辅助线，构造全等三角形和正方形．6.如图，正方形ABCD边长为4，对角线AC上有一动点P，过P作PE⊥BC于E，PF⊥AB于F，连结EF，则EF的最小值为（）
A.2√2
B.2
C.4
D.4√2
【答案】A
【解析】
【分析】
连接PB，由矩形性质可知EF=BP，由垂线段最短可知，当BP⊥AC时，BP最小，利用正方形性质求得AC的长，从而利用三角形面积求得BP的长即可即可．
【详解】
解：连接PB，∵PE⊥BC，PF⊥AB，正方形ABCD中，∠ABC=90°
∴四边形PFBE是矩形
∴EF=BP
当BP⊥AC时，BP最小，即EF最小
在正方形ABCD中，AC=√AB2+BC2=4√2
∴1
2AC·BP=1
2
AB·BC，1
2
×4√2·BP=1
2
×4×4
解得：BP=2√2
∴EF的最小值为2√2
故选：A．
【点睛】
本题主要考查的是矩形的判定与性质，正方形性质的应用，关键是根据矩形的性质和三角形的面积公式解答．
二、填空题
7.如图，在△ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC的中点．当△ABC满足____条件时，四边形DAEF是正方形．
【答案】AB=AC，∠A=90°．
【解析】
【分析】
先根据三角形中位线定理证明四边形DAEF为平行四边形, 再补充AB=AC，可得DF=EF，从而得到平行四边形DAEF为菱形，再由一角为直角的菱形判断为正方形．
【详解】
△ABC 需满足AB =AC ，再加上∠A =90°，可使四边形DAEF 为正方形．理由如下：
证明：∵D 为AB 的中点，又F 为BC 的中点，E 为AC 的中点，
∴DF 和EF 为△ABC 的中位线，
∴DF =12AC ，DF ∥AC ，EF =12AB ，EF ∥AB ， ∴四边形DAEF 为平行四边形，
∵AB=AC ，
∴DF=EF ，
∴平行四边形DAEF 为菱形，
又∵∠A =90°，
∴菱形DAEF 为正方形．
故答案为：AB =AC ，∠A =90°．
【点睛】
本题考查平行四边形、菱形、正方形的判定定理，三角形中位线定理．本题属于条件探究型题，解答此类题应采用“逆向思维”，视结论为题设，寻求必要条件，往往缺少的就是那个条件．
8.如图，在正方形ABCD 中，点E 在对角线AC 上，EF ⊥AB 于点F ，EG ⊥BC 于点G ，连接DE ，若AB ＝10，AE ＝3√2，则ED 的长度为__．
【答案】√58
【解析】
【分析】
此题可作辅助线BE ，证明出DE=BE ，然后再求出BE 的长即求出DE 的长，再根据正方形特点和勾股定理求出BE 的长即可．
【详解】
连接BE ，∠B ，D 关于AC 对称，
∠BE=DE ；
∵EF ⊥AB ，∠EAF=45°，
∠∠AEF 是等腰三角形，
∠AE=EF ，
∴AF 2+EF 2=AE 2；
∵AE ＝3√2，
∠AF=FE=3，
∴BF=AB-AF=7，
又∠BFE=90°，
∴EF 2+BF 2=BE 2，
∴BE=√58，
∠DE=√58．
故答案为：√58.
【点睛】
此题利用特殊四边形的特点，考查勾股定理，知识综合性较好，知识面较广，考查难度把握适度．
9.如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且DE=2,将△ADE沿AE对折得到△AFE，延长EF交边BC于点G，则BG=_________________．
【答案】3
【解析】
【分析】
如下图，连接AG，可证∠AGF∠∠AGB，设BG=x，则GE=x+2，GC=6－x，在Rt∠EGC中利用勾股定理可求得x的值．【详解】
如下图，连接AG
∠∠AFE是∠ADE折叠得到，四边形ABCD是正方形
∠AF=AD=AB，∠AFG=∠D=∠B=90°
∠∠ABG和∠AFG是直角三角形
在Rt∠ABG与Rt∠AFG中
{AB=AF
AG=AG
∠Rt∠ABG∠Rt∠AFG
∠GF=BG
∠DE=2，AB=6
∠EC=4，BC=6，EF=2
设BG=x，则GF=x，GC=6－x
∠在Rt∠EGC中，(6−x)2+42=(x+2)2
解得：x=3，即BG=3，
故答案为：3
【点睛】
本题考查正方形的折叠问题，解题关键是构造出Rt∠ABG∠Rt∠AFG，然后在Rt∠EGC中利用勾股定理求解．
10.如图，正方形ABCD边长为1，连接AC，AE平分∠CAD，交BC的延长线于点E，FA⊥AE，交CE于点F，则EF的长为______.
【答案】2√2
【解析】
【分析】
根据角平分线的定义可得∠CAE＝∠DAE，根据两直线平行，内错角相等可得∠E＝∠DAE，从而得到∠E＝∠CAE，再根据等角对等边可得AC＝CE，根据等角的余角相等求出∠F＝∠CAF，然后根据等角对等边可得AC＝CF，最后求出EF＝2AC，再根据正方形的对角线等于边长的√2倍求解即可．
【详解】
∵AE平分∠CAD，
∴∠CAE＝∠DAE，
∵正方形对边AD∥BC，
∴∠E＝∠DAE，
∴∠E＝∠CAE，
∴AC＝CE，
∵FA⊥AE，
∴∠E＋∠F＝90°，∠CAE＋∠CAF＝90°，
∴∠F＝∠CAF，
∴AC＝CF，
∴EF＝CF＋CE＝2AC，
∵正方形ABCD边长为1，
∴AC＝√12+12=√2，
∴EF＝2AC＝2√2．
故答案为：2√2．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，平行线的性质，等角的余角相等的性质，熟记各性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
三、解答题
11.如图，四边形ABCD为正方形，点G是BC上的任意一点，分别过点B，D作BF⊥AG于点F，DE⊥AG于点E于点E．猜想DE,EF,BF三条线段存在怎样的数量关系，并证明你的结论．
【答案】DE＝EF＋BF，理由见解析
【解析】
【分析】
通过证明△ABF≌△DAE得到BF＝AE，AF＝DE，从而得到DE＝EF＋BF．【详解】
DE＝EF＋BF．
理由如下：
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD，∠ABG＝∠DAB＝90°，
∵BF⊥AG，DE⊥AG，
∴∠AED＝∠BFA＝90°，
∵∠DAE＋∠BAF＝90°，∠ABF＋∠BAF＝90°，
∴∠DAE＝∠ABF，
在△ABF和△ADE中
{∠AFB=∠DEA ∠ABF=∠DAE
AB=DA
，
∴△ABF≌△DAE（AAS），
∴BF＝AE，AF＝DE，
而AF＝AE＋EF，
∴DE＝EF＋BF．
【点睛】
本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．也考查了全等三角形的判定与性质．
12.如图，两个正方形ABCD和DEFG，连接AG与CE，二者相交于H问：
（1）△ADG≌△CDE是否成立？
（2）AG是否与CE相等？
（3）AG与CE之间的夹角为多少度？
（4）HD是否平分∠AHE？
（如果你知道勾股定理的话，请问线段AC、GE、AE、CG有什么数量关系？）
【答案】（1）是，详见解析；（2）是，详见解析；（3）90°；（4）是，详见解析
【解析】
【分析】
（1）由四边形ABCD与DEFG是正方形，可得AD=CD，DG=DE，∠ADC＝∠GDE＝90°，进而得出∠ADG＝∠CDE，然后由边角边即可判定△ADG≌△CDE；
（2）根据全等三角形的性质则可证得AG=CE；
（3）根据全等三角形的性质和角的关系即可得出夹角是90°；
（4）根据全等三角形的性质和三角形的面积解答即可．
【详解】
解：（1）结论：成立
证明：∵ABCD和DEFG是正方形
∴AD=CD，DG=DE，且∠ADC＝∠GDE＝90°
∴∠ADG＝∠CDE
在△ADG与△CDE中
{
AD=CD ∠ADG=∠CDE DG=DE
∴△ADG≌△CDE(SAS)；
（2）结论：AG=CE
证明：∵△ADG≌△CDE
∴AG=CE；
（3）CE与DG交点为O，如图：
∵△ADG≌△CDE
∴∠DEC＝∠AGD
∵∠DEC+∠DOE＝90°
∴∠AGD+∠DOE＝90°＝∠AGD+∠GOH
∴∠GHE＝90°
∴AG和CE的夹角为90°；
（4）结论：HD平分∠AHE
证明：过点D作MD⊥AG，DN⊥CE，如图：
∵△ADG≌△CDE
∴S△DCE＝S△ADG
∴CE⋅DN
2=AG⋅DM
2
∵AG =CE
∴DM ＝DN
∵MD ⊥AG ，DN ⊥CE
∴HD 平分∠AHE ．
由勾股定理可得：AC 2+GE 2=AE 2+CG 2．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、正方形的性质、角的和差、三角形的面积、角平分线的判定、三角形的内角和等知识点，体现了逻辑推理的核心素养，熟练掌握相关知识点是解决问题的关键．
13.如图，E 、F 、G 、H 分别为四边形ABCD 四边之中点．
（1）求证：四边形EFGH 为平行四边形；
（2）当AC 、BD 满足 时，四边形EFGH 为菱形．当AC 、BD 满足 时，四边形EFGH 为矩形．当AC 、BD 满足 时，四边形EFGH 为正方形．
【答案】
（1）证明见解析；（2）AC =BD ；AC ⊥BD ；AC =BD 且AC ⊥BD ． 【解析】
【分析】
（1）连接BD ，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EH ∥BD 且EH=12BD ，FG ∥BD 且FG=12BD ，从而得到EH ∥FG 且EH=FG ，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可；
（2）连接AC ，同理可得EF ∥AC 且EF=12AC ，再根据邻边相等的平行四边形是菱形，邻边垂直的平行四边形是矩形，邻边相等且垂直的平行四边形是正方形解答．
【详解】
（1）如图，连接BD ．
∵E 、F 、G 、H 分别为四边形ABCD 四边之中点，
∴EH 是△ABD 的中位线，FG 是△BCD 的中位线，
∴EH ∥BD 且EH =12BD ，FG ∥BD 且FG =12BD ， ∴EH ∥FG 且EH =FG ，
∴四边形EFGH 为平行四边形；
（2）连接AC ，
同理可得EF ∥AC 且EF =12AC ， 所以，AC =BD 时，四边形EFGH 为菱形；
AC ⊥BD 时，四边形EFGH 为矩形；
AC =BD 且AC ⊥BD 时，四边形EFGH 为正方形．
故答案为：AC=BD；AC⊥BD；AC=BD且AC⊥BD．
【点睛】
本题考查了三角形的中位线的性质定理，平行四边形的判定，菱形的判定，矩形的判定和正方形的判定．
14.综合与实践
问题情境：如图1，在正方形ABCD中，点E是对角线AC上的一点，点F在BC的延长线上，且BE=EF，EF交CD于点G．问题解决：
（1）求证：DE=EF；
（2）求∠DEF的度数；
探索发现：
（3）如图2，若点F在边BC上，且BE=EF，求∠DEF的度数．
【答案】（1）证明见解析；（2）90°；（3）90°
【解析】
【分析】
（1）证明ΔBCE≌ΔDCE(SAS)，利用全等三角形的性质等量代换即可得到结论；
（2）利用全等三角形的性质和等腰三角形的性质证得∠EDC=∠F，又知∠CGF=∠EGD，然后在△EDG和△CFG中利用三角形的内角和定理即可得出∠DEF=∠DCF=90°；
（3）过点E作EH⊥BC，EI⊥CD，先证得四边形EHCI是正方形，然后证出RtΔEHF≌RtΔEID，根据全等三角形的对应角相等，利用角的和差关系变形即可得出答案.
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=DC，∠BCE=∠DCE=45°．
在ΔBCE和ΔDCE中，
{
BC=DC,∠BCE=∠DCE, CE=CE,
∴ΔBCE≌ΔDCE(SAS)．
∴BE=DE．
∵BE=EF，
∴DE=EF．
（2）解：由（1）知，ΔBCE≌ΔDCE，
∴∠EBC=∠EDC．
∵BE=EF，
∴∠EBC=∠F．
∴∠EDC=∠F．
∵∠CGF=∠EGD（对顶角相等），
∴180°−∠EDC−∠EGD=180°−∠F−∠CGF．
即∠DEF=∠DCF=90°．
（3）解：过点E作EH⊥BC，EI⊥CD，垂足分别为H，I．
∴∠EHB=∠DIE=∠EIC=90°．
同（1）可证ΔBCE≌ΔDCE，
∴BE=DE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，∠ECH=45°，
∴EH=HC，
又∵∠EHC=∠BCD=∠EIC=90°，
∴四边形EHCI是正方形，
∴EI=EH，∠IEH=90°，
∵BE=EF，
∴EF=ED，
∴RtΔEHF≌RtΔEID(HL)．
∴∠DEI=∠FEH，
∴∠DEF=∠DEI+∠FEI=∠FEH+∠IEF=∠HEI=90°．
【点睛】
本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理等知识，作出辅助线，构造出全等三角形是解决此题的关键.。