沪教版(上海)九年级第一学期 教案 26.2特殊二次函数(1)

§26.2特殊二次函数图像（1）
普陀区课题组
教学目标 :
1．观察二次函数2
x y =的图像的生成过程，初步归纳二次函数2
x y =的图像形状和位置特征．
2．会用描点法画出二次函数2
ax y = 的图像，再次感受二次函数2
ax y =的图像特征． 3. 在运用图像研究二次函数直观性质的过程中，领会数形结合的思想方法，提高观察、分析、归纳和概括的能力．
教学重点：二次函数2
ax y =的图像特征的归纳． 教学难点：二次函数的2ax y =图像特征的运用． 教学过程：
教师活动
学生活动
设计意图 一、 复习引入
问1：前一节课我们学习了二次函数的概念，请回顾一下二次函数的定义？ 问2：定义中a ≠0，那么b 、c 可以为0吗？如果c =0，则解析式可简化为怎样的？ 问3：如果c =0，b 也等于0时，则解析式简化为怎样？
师：就像一次函数一样，有了函数概念，我们还要研究函数图像．我们先从
)0(2≠=a ax y 的图像开始研究．
二、学习新知 问1： 一次函数的图像的描画过程是怎样的？ 师：我们研究二次函数y =x 2的图像： 问2：先列表，首先要考虑自变量的取值范围，自变量x 的取值范围是什么？ 师：考虑自变量x 可以取任意实数，因此以0为中心选取x 的值，列出函数对应值表.
师：然后在几何画板的坐标平面中描点，在描点过程中分别取x 的值和相应的函数值y 作为点的坐标.
答1：一般的，形如y =ax 2+bx +c (a 、b 、c 为常数，a ≠0)的函数，叫二次函数.
答2：可以的． y =ax 2+bx (a ≠0) 答3：y =ax 2 (a ≠0)
y =ax 2+bx +c (a 、b 、c 为常数，a ≠0)的函数，叫二次函数。

答1： 列表，描点，连线． 答2：x 可以取一切实数．
师示范，生模仿，同步画图，下同．
从二次函数的概念的复习入手，由a,b,c 这三个常数的取值变化来引入
)
0(2≠=a ax y 这种二次函数的解析式，并由此开始二次函数图像的研究．
从回顾一次函数图像的描画过程来引入二次函数图像的描画过程．
这里可以告诉学生；既然x 可以取一切实数（正数，负数和零），我们不妨选取零和一些互为相反的正负数． 数值表的取值中，x 值由老师提出，可由学生算出y 值．
师：最后用平滑的曲线顺次联结各点，得到函数2x
y=的图像.
师：二次函数y=x2的图像是一条曲线，它属于一类特殊的曲线．
这类曲线称为抛物线．二次函数y=x2的图像就称为抛物线y=x2．
师：抛物线y=x2有何特征？
师：抛物线的顶点：抛物线与它的对称轴
．．．．．的交点叫抛物线的顶点．
抛物线y=x2的顶点是原点O（0，0）. 【适时小结】
抛物线y=x2的图形特征：
1．开口方向向上；
2．是轴对称图形，对称轴是y轴，即直线x=0；
3．抛物线的顶点是原点O（0，0）．
试一试：用上述方法取相同的x的值画出二次函数y=-x2的图像，与y=x2的图像进行比较再归纳它的特征.
问：y=x2和y=-x2在图像上有何异同？学生观察交流，老师引导归纳，
讲解顶点的概念．
相同点：
1）都是抛物线，且抛物线的顶点
是同一个点，都是坐标原点．
2）都关于y轴（直线x=0）对称．
不同点：
1）抛物线y=x2开口方向向上，图
教师在几何
画板中输入坐标
数对，几何画板
自动生成平面上
的点．这样比黑
板画图更为漂
亮、精确和高效，
也便于下一步连
线成抛物线．
在几何画板
中用函数绘制工
具画出2x
y=
的图像，曲线经
过已取的各
点．表明这些点
的几何即为此抛
物线．
此时引出抛
物线的概念，便
于后面反复提及
和强调此概念．
通过开放性
问题，我们引出
了图像的一系列
的特征：轴对称；
开口方向向上；
无限延伸特性；
抛物线顶点概念
以及图像的最低
点特征．
【适时小结】
抛物线y =-x 2的图像特征：
1.开口方向向下；图像在y 轴左侧部分上升，y 轴右侧部分下降．
2.它是轴对称图形，对称轴是y 轴，即直线x =0.
3.顶点是坐标原点，而且它是抛物线的最高点．
y =x 2的图像与y =-x 2的图像关于x 轴对称． 例题 在同一个平面直角坐标系xOy 中，分别画出二次函数222
1
21x y x y -==
和的图像． 解： 问1:抛物线222121x y x y -==和有何共同特征？有何不同？ 问2:通过以上研究，抛物线y =ax 2(a ≠0)开口方向的变化规律？ 【适时小结】 1.一般，二次函数y =ax 2(a ≠0)图像是抛物线，称为抛物线y =ax 2(a ≠0)； 2.抛物线y =ax 2(a ≠0)是轴对称图形，对称轴是y 轴,即直线x =0； 3.顶点坐标是原点，抛物线的开口方向由a 所取值的符号决定，当a >0时，它开口向上，顶点是抛物线的最低点；当a <0时，它开口向下，顶点是抛物线的最高点． 师：把2
x y =的图像与2
x y -=；
222
121x y x y -==
和显示在同一个几何画板，进行比较：
问：从上图的y =ax 2(a ≠0)的图像中，我们猜测一下，a 的大小与抛物线开口大小有没有关系？
像在y 轴左侧部分下降，y 轴右侧部分上升．抛物线y =-x 2开口方向向下，图像在y 轴左侧部分是上升的，右侧部分是下降的．
2）y =x 2顶点是图像最低点，y =-x 2顶点是图像最高点．
答1：抛物线22
1x y =开口向上，
向左上方和右上方无限延伸，在y 轴左侧部分下降，在y 轴右侧部分上升．顶点是抛物线最低点． 抛物线221x y -=开口向下，向左
下方右下方无限延伸，在y 轴左侧部分上升，在y 轴右侧部分下降．顶点是抛物线最高点． 答2：当a >0时，开口方向向上；a <0时，开口方向向下． 答：有，a 越大，抛物线开口就
越小；反之，a 越小，抛物线开
口就越大；a 相同，抛物线形状相同，开口大小相等．
2x y -=图像的
出现一方面是强化刚才适时小结中抛物线的一些特征；另一方面为了与2
x
y =的图像进行类
比；从而获得异同点，以及两个图像之间的关于x 轴对称的特
性． 为了便于对比把取值列表合并在一起．并
把两个图像也放
在一起研究，便于比较． 通过比较图像的异同点，强化此类二次函数图像的特征． 学生取值，直接把两个函数放在．便于比较数据与图像之间关于这两个函数的比较． 通过再次画出222
1
21x y x y -==
和的图形在进一步
理解抛物线)
0(2≠=a ax y 图像的特征．
问5把四个函数放在一个坐
三、课堂练习： 1.抛物线231x y =
与抛物线23
1x y -=的图像有何共同点和不同点？两条抛物
线有怎样的对称性？
2.已知关于x 的二次函数y =(1+2k )x 2 ，当k 为何值时，它的图像开口向上？当
k 为何值时，它的图像开口向下？ 3.已知①23x y -=、②22
3
x y =、③
2
3
25x y -=，把这三个二次函数图像开
口大小由小到大按序号排列．
四、课堂小结：
学生完成
五、作业布置：
练习册§26.2（1）
答1：列表呈现．
答2：开口向上；
,2
1->k ,21-<k 开口向下．
答3:②、①、③ 标系内比较，便于学生得理解并归纳出a 的大小与抛物线开口大小之间的关系．
课堂练习中增加了a 的大小与抛物线开口大小之间的关系的习题．
课堂小结用列表的形式，把本节课所归纳的结论在表格中类比展现，便于学生记忆！。