广东省韶关市2019-2020学年中考数学考前模拟卷(4)含解析

广东省韶关市2019-2020学年中考数学考前模拟卷（4）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有30个，黑球有n个．随机地从袋中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，再从中摸出一个球，经过如此大量重复试验，发现摸出的黑球的频率稳定在0.4附近，则n的值约为（）
A．20 B．30 C．40 D．50
2．现有两根木棒，它们的长分别是20cm和30cm，若不改变木棒的长短，要钉成一个三角形木架，则应在下列四根木棒中选取（）
A．10cm的木棒B．40cm的木棒C．50cm的木棒D．60cm的木棒
3．方程
23
x1x
=
-
的解是
A．3 B．2 C．1 D．0
4．下列各图中a、b、c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是（）
A．甲和乙B．乙和丙C．甲和丙D．只有丙
5．已知反比例函数，下列结论不正确的是（）
A．图象必经过点（﹣1，2）B．y随x的增大而增大
C．图象在第二、四象限内D．若，则
6．一组数据1，2，3，3，4，1．若添加一个数据3，则下列统计量中，发生变化的是（）
A．平均数B．众数C．中位数D．方差
7．二次函数y=ax1+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=1，下列结
论：（1）4a+b=0；（1）9a+c＞﹣3b；（3）7a﹣3b+1c＞0；（4）若点A（﹣3，y1）、点B（﹣1
2
，y1）、点
C（7，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y1；（5）若方程a（x+1）（x﹣5）=﹣3的两根为x1和x1，且x1＜x1，则x1＜﹣1＜5＜x1．其中正确的结论有（）
A．1个B．3个C．4个D．5个
8．如图所示的工件，其俯视图是（）
A．B．C．D．
9．下列各数：1.414，2，﹣1
3
，0，其中是无理数的为（）
A．1.414 B． 2C．﹣1
3
D．0
10．如图所示是由几个完全相同的小正方体组成的几何体的三视图．若小正方体的体积是1，则这个几何体的体积为（）
A．2 B．3 C．4 D．5
11．如果实数a=11，且a在数轴上对应点的位置如图所示，其中正确的是（）
A．
B．
C．
D．
12．下列方程中，没有实数根的是( )
A．2x2x30
--=B．2x2x30
-+=
C．2x2x10
-+=D．2x2x10
--=
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．
1
2019
的相反数是_____．
14．已知实数a、b、c2
a+b+c(2005)(6)
a b
+-﹣2c|=0，则代数式ab+bc的值为__．15．如图，△ABC的面积为6，平行于BC的两条直线分别交AB，AC于点D，E，F，G．若AD=DF=FB，则四边形DFGE的面积为_____．
16．关于x 的不等式组20
11
3x a x x +>⎧⎪
-⎨-≤⎪⎩
的整数解有4个，那么a 的取值范围( )
A ．4＜a ＜6
B ．4≤a ＜6
C ．4＜a≤6
D ．2＜a≤4
17．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，…，请根据这组数的规律写出第10个数是______．
18．如图，AC 是以AB 为直径的⊙O 的弦，点D 是⊙O 上的一点，过点D 作⊙O 的切线交直线AC 于点E ，AD 平分∠BAE ，若AB=10，DE=3，则AE 的长为_____．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（6分）某药厂销售部门根据市场调研结果，对该厂生产的一种新型原料药未来两年的销售进行预测，并建立如下模型：设第t 个月该原料药的月销售量为P （单位：吨），P 与t 之间存在如图所示的函数关系，其图象是函数P=
120
4
t +（0＜t≤8）的图象与线段AB 的组合；设第t 个月销售该原料药每吨的毛利润为Q （单位：万元），Q 与t 之间满足如下关系：Q=28,012
44,1224t t t t +<≤⎧⎨
-+<≤⎩
（1）当8＜t≤24时，求P 关于t 的函数解析式；
（2）设第t 个月销售该原料药的月毛利润为w （单位：万元） ①求w 关于t 的函数解析式；
②该药厂销售部门分析认为，336≤w≤513是最有利于该原料药可持续生产和销售的月毛利润范围，求此范围所对应的月销售量P 的最小值和最大值．
20．（6分）如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC 的三个顶点的坐标分别为A （﹣1，3），B （﹣4，0），C （0，0）
（1）画出将△ABC 向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到的△A 1B 1C 1； （2）画出将△ABC 绕原点O 顺时针方向旋转90°得到△A 2B 2O ；
（3）在x 轴上存在一点P ，满足点P 到A 1与点A 2距离之和最小，请直接写出P 点的坐标．
21．（6分）如图，在ABC △中，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D ，过点D 作DE BC ⊥于点E ，且
BDE A ∠=∠．
（1）判断DE 与⊙O 的位置关系并说明理由； （2）若16AC =，3
tan 4
A =
，求⊙O 的半径．
22．（8分）某超市开展早市促销活动，为早到的顾客准备一份简易早餐，餐品为四样A ：菜包、B ：面包、C ：鸡蛋、D ：油条．超市约定：随机发放，早餐一人一份，一份两样，一样一个．
（1）按约定，“某顾客在该天早餐得到两个鸡蛋”是 事件（填“随机”、“必然”或“不可能”）； （2）请用列表或画树状图的方法，求出某顾客该天早餐刚好得到菜包和油条的概率．
23．（8分）P 是C e 外一点，若射线PC 交C e 于点A ，B 两点，则给出如下定义：若0PA PB 3<⋅≤，则点P 为C e 的“特征点”．
()1当O e 的半径为1时．
①在点)
1
P 2,0、()2P 0,2、()3P 4,0中，O e 的“特征点”是______；
②点P 在直线y x b =+上，若点P 为O e 的“特征点”.求b 的取值范围；
()2C e
的圆心在x 轴上，半径为1，直线y x 1=+与x 轴，y 轴分别交于点M ，N ，若线段MN 上的所
有点都不是C e 的“特征点”，直接写出点C 的横坐标的取值范围．
24．（10分）如图，分别延长▱ABCD 的边CD AB ，到E F ，，使DE BF ，连接EF ，分别交AD BC ，于G H ，，连结CG AH.，求证：CG //AH ．
25．（10分）已知开口向下的抛物线y=ax 2-2ax+2与y 轴的交点为A ，顶点为B ，对称轴与x 轴的交点为C ，点A 与点D 关于对称轴对称，直线BD 与x 轴交于点M ，直线AB 与直线OD 交于点N ． (1)求点D 的坐标.
(2)求点M 的坐标(用含a 的代数式表示).
(3)当点N 在第一象限，且∠OMB=∠ONA 时，求a 的值．
26．（12分）如图，四边形ABCD 中，AC 平分∠DAB ，AC 2＝AB•AD ，∠ADC ＝90°，E 为AB 的中点． （1）求证：△ADC ∽△ACB ；
（2）CE 与AD 有怎样的位置关系？试说明理由； （3）若AD ＝4，AB ＝6，求
AC
AF
的值．
27．（12分）中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广，为了传承优秀传统文化，某校团委组织了一次全校3000名学生参加的“汉字听写”大赛，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分．为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了其中200名学生的成绩(成绩x取整数，总分100分)作为样本进行整理，得到下列不完整的统计图表：
成绩x/分频数频率
50≤x＜60 10 0.05
60≤x＜70 30 0.15
70≤x＜80 40 n
80≤x＜90 m 0.35
90≤x≤10050 0.25
请根据所给信息，解答下列问题：m＝，n＝；请补全频数分布直方图；若成绩在90分以上(包括90分)的为“优”等，则该校参加这次比赛的3000名学生中成绩“优”等约有多少人？
参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．A
【解析】
分析：根据白球的频率稳定在0.4附近得到白球的概率约为0.4,根据白球个数确定出总个数,进而确定出黑球个数n.
详解：根据题意得:.n
0430n
=+ ,
计算得出:n=20, 故选A.
点睛：根据概率的求法,找准两点:①全部情况的总数;②符合条件的情况数目;二者的比值就是其发生的概率. 2．B 【解析】 【分析】
设应选取的木棒长为x ，再根据三角形的三边关系求出x 的取值范围．进而可得出结论． 【详解】
设应选取的木棒长为x ，则30cm-20cm ＜x ＜30cm+20cm ，即10cm ＜x ＜50cm ． 故选B ． 【点睛】
本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边差小于第三边是解答此题的关键． 3．A 【解析】
试题分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解：去分母得：2x=3x ﹣3，解得：x=3， 经检验x=3是分式方程的解．故选A ． 4．B 【解析】
分析：根据三角形全等的判定方法得出乙和丙与△ABC 全等，甲与△ABC 不全等． 详解：乙和△ABC 全等；理由如下：
在△ABC 和图乙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：SAS ， 所以乙和△ABC 全等；
在△ABC 和图丙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：AAS ， 所以丙和△ABC 全等； 不能判定甲与△ABC 全等； 故选B ．
点睛：本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、
HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
5．B
【解析】
试题分析：根据反比例函数y=的性质，当k＞0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小；当k＜0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x增大而增大，即可作出判断．
试题解析：A、（-1，2）满足函数的解析式，则图象必经过点（-1，2）；
B、在每个象限内y随x的增大而增大，在自变量取值范围内不成立，则命题错误；
C、命题正确；
D、命题正确．
故选B．
考点：反比例函数的性质
6．D
【解析】
A. ∵原平均数是：(1+2+3+3+4+1) ÷6=3;
添加一个数据3后的平均数是：(1+2+3+3+4+1+3) ÷7=3;
∴平均数不发生变化.
B. ∵原众数是：3；
添加一个数据3后的众数是：3；
∴众数不发生变化；
C. ∵原中位数是：3；
添加一个数据3后的中位数是：3；
∴中位数不发生变化；
D. ∵原方差是：()()()()() 22222 313233234355
=
63 -+-+-⨯+-+-
；
添加一个数据3后的方差是：()()()()()
22222 3132333343510
=
77
-+-+-⨯+-+-
；
∴方差发生了变化.
故选D.
点睛：本题主要考查的是众数、中位数、方差、平均数的，熟练掌握相关概念和公式是解题的关键．7．B
【解析】
根据题意和函数的图像，可知抛物线的对称轴为直线x=-2b
a
=1，即b=-4a ，变形为4a+b=0，所以（1）正确；
由x=-3时，y ＞0，可得9a+3b+c ＞0，可得9a+c ＞-3c ，故（1）正确；
因为抛物线与x 轴的一个交点为(-1,0)可知a-b+c=0，而由对称轴知b=-4a ，可得a+4a+c=0，即c=-5a.代入可得7a ﹣3b+1c=7a+11a-5a=14a ，由函数的图像开口向下，可知a ＜0，因此7a ﹣3b+1c ＜0，故（3）不正确；
根据图像可知当x ＜1时，y 随x 增大而增大，当x ＞1时，y 随x 增大而减小，可知若点A （﹣3，y 1）、点B （﹣
1
2
，y 1）、点C （7，y 3）在该函数图象上，则y 1=y 3＜y 1，故（4）不正确； 根据函数的对称性可知函数与x 轴的另一交点坐标为（5，0），所以若方程a （x+1）（x ﹣5）=﹣3的两根为x 1和x 1，且x 1＜x 1，则x 1＜﹣1＜x 1，故（5）正确． 正确的共有3个. 故选B.
点睛：本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax 1+bx+c （a≠0），二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小，当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置，当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右；常数项c 决定抛物线与y 轴交点． 抛物线与y 轴交于（0，c ）；抛物线与x 轴交点个数由△决定，△=b 1﹣4ac ＞0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b 1﹣4ac=0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b 1﹣4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点． 8．B 【解析】
试题分析：从上边看是一个同心圆，外圆是实线，內圆是虚线， 故选B ．
点睛：本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图．看得见部分的轮廓线要画成实线，看不见部分的轮廓线要画成虚线． 9．B 【解析】
试题分析：根据无理数的定义可得是无理数．故答案选B.
考点：无理数的定义. 10．C 【解析】 【详解】
根据左视图发现最右上角共有2个小立方体，综合以上，可以发现一共有4个立方体，
主视图和左视图都是上下两行，所以这个几何体共由上下两层小正方体组成，俯视图有3个小正方形，所以下面一层共有3个小正方体，结合主视图和左视图的形状可知上面一层只有最左边有个小正方体，故这个几何体由4个小正方体组成，其体积是4.
故选C.
【点睛】
错因分析容易题，失分原因：未掌握通过三视图还原几何体的方法.
11．C
【解析】
.
详解：
49 911,
4 <<
Q
由被开方数越大算术平方根越大，
<<
即
7 3,
2 <<
故选C.
的大小. 12．B
【解析】
【分析】
分别计算四个方程的判别式的值，然后根据判别式的意义确定正确选项．
【详解】
解：A、△=（-2）2-4×（-3）=16＞0，方程有两个不相等的两个实数根，所以A选项错误；
B、△=（-2）2-4×3=-8＜0，方程没有实数根，所以B选项正确；
C、△=（-2）2-4×1=0，方程有两个相等的两个实数根，所以C选项错误；
D、△=（-2）2-4×（-1）=8＞0，方程有两个不相等的两个实数根，所以D选项错误．
故选：B．
【点睛】
本题考查根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0根时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．
1 2019 -
【解析】
【分析】
根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．
【详解】
12019的相反数是−12019
. 故答案为−12019
. 【点睛】
本题考查的知识点是相反数，解题的关键是熟练的掌握相反数.
14．-1
【解析】
试题分析：根据非负数的性质可得：()
()202005b 601020a b c a c ++=⎧⎪+-=⎨⎪-=⎩，解得：1165a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，则ab+bc=(－11)×
6+6×5=－66+30=－1．
15．1．
【解析】
【分析】
先根据题意可证得△ABC ∽△ADE ，△ABC ∽△AFG ，再根据△ABC 的面积为6分别求出△ADE 与△AFG
的面积，则四边形DFGE 的面积=S △AFG -S △ADE .
【详解】
解：∵DE ∥BC ，,
∴△ADE ∽△ABC ，
∵AD=DF=FB ， ∴ADE ABC S S V V =（AD AB
）1,即6ADE S V =（13）1,∴S △ADE =23； ∵FG ∥BC ，∴△AFG ∽△ABC ，
AFG ABC S S △△=（AF AB
）1，即6AFG S V =（23）1，∴S △AFG =83； ∴S 四边形DFGE = S △AFG - S △ADE =83-23
=1.故答案为：1. 【点睛】
本题考查了相似三角形的性质与应用，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的性质与应用.
16．C
分析：先根据一元一次不等式组解出x 的取值，再根据不等式组20113x a x x +>⎧⎪-⎨-≤⎪⎩
的整数解有4个，求出实数a 的取值范围． 详解：2011,3x a x x ①②+>⎧⎪⎨--≤⎪⎩
解不等式①，得 2
a
x ；>- 解不等式②，得
1x ≤； 原不等式组的解集为12
a x -
<≤． ∵只有4个整数解， ∴整数解为：2,101--，，，
322
a ∴-≤-<-． 4 6.a ∴<≤
故选C.
点睛：考查解一元一次不等式组的整数解，分别解不等式，写出不等式的解题，根据不等式整数解的个数，确定a 的取值范围.
17．1
【解析】
解：3=2+1；
5=3+2；
8=5+3；
13=8+5；
…
可以发现：从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．
则第8个数为13+8=21；
第9个数为21+13=34；
第10个数为34+21=1．
故答案为1．
点睛：此题考查了数字的有规律变化，解答此类题目的关键是要求学生通对题目中给出的图表、数据等认真进行分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题．此类题目难度一般偏大．
(1)点E在AC的延长线上时，过点O作OF⊥AC交AC于点F，如图所示
∵OD＝OA，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵AD平分∠BAE，
∴∠OAD＝∠ODA＝∠DAC，
∴OD//AE,
∵DE是圆的切线，
∴DE⊥OD,
∴∠ODE=∠E=90o,
∴四边形ODEF是矩形，
∴OF＝DE，EF＝OD＝5，
又∵OF⊥AC，
∴AF＝2222
534
-=-=，
OA OF
∴AE＝AF+EF＝5+4＝9.
（2）当点E在CA的线上时，过点O作OF⊥AC交AC于点F，如图所示
同（1）可得：EF＝OD＝5，OF＝DE＝3，
在直角三角形AOF中，AF224
-=，
OA OF
∴AE＝EF－AF＝5－4＝1.
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（1）P=t+2；（2）①当0＜t≤8时，w=240；当8＜t≤12时，w=2t2+12t+16；当12＜t≤24时，w=﹣t2+42t+88；
分析：（1）设8＜t≤24时，P=kt+b ，将A （8，10）、B （24，26）代入求解可得P=t+2；
（2）①分0＜t≤8、8＜t≤12和12＜t≤24三种情况，根据月毛利润=月销量×每吨的毛利润可得函数解析式；
②求出8＜t≤12和12＜t≤24时，月毛利润w 在满足336≤w≤513条件下t 的取值范围，再根据一次函数的性质可得P 的最大值与最小值，二者综合可得答案．
详解：（1）设8＜t≤24时，P=kt+b ，
将A （8，10）、B （24，26）代入，得：
8102426k b k b +⎧⎨+⎩
＝＝， 解得：12
k b ⎧⎨⎩＝＝， ∴P=t+2；
（2）①当0＜t≤8时，w=（2t+8）×1204
t +=240； 当8＜t≤12时，w=（2t+8）（t+2）=2t 2+12t+16；
当12＜t≤24时，w=（-t+44）（t+2）=-t 2+42t+88；
②当8＜t≤12时，w=2t 2+12t+16=2（t+3）2-2，
∴8＜t≤12时，w 随t 的增大而增大，
当2（t+3）2-2=336时，解题t=10或t=-16（舍），
当t=12时，w 取得最大值，最大值为448，
此时月销量P=t+2在t=10时取得最小值12，在t=12时取得最大值14；
当12＜t≤24时，w=-t 2+42t+88=-（t-21）2+529，
当t=12时，w 取得最小值448，
由-（t-21）2+529=513得t=17或t=25，
∴当12＜t≤17时，448＜w≤513，
此时P=t+2的最小值为14，最大值为19；
综上，此范围所对应的月销售量P 的最小值为12吨，最大值为19吨．
点睛：本题主要考查二次函数的应用，掌握待定系数法求函数解析式及根据相等关系列出分段函数的解析式是解题的前提，利用二次函数的性质求得336≤w≤513所对应的t 的取值范围是解题的关键． 20．（1）作图见解析；（2）作图见解析；（3）P （
165
，0）． 【解析】
【分析】
（1）分别将点A 、B 、C 向上平移1个单位，再向右平移5个单位，然后顺次连接；（2）根据网格结构找
【详解】
解：（1）如图所示，△A1B1C1为所求做的三角形；（2）如图所示，△A2B2O为所求做的三角形；（3）∵A2坐标为（3，1），A3坐标为（4，﹣4），∴A2A3所在直线的解析式为：y=﹣5x+16，
令y=0，则x=16
5
，
∴P点的坐标（16
5
，0）．
考点：平移变换；旋转变换；轴对称-最短路线问题．
21．（1）DE与⊙O相切，详见解析；（2）5
【解析】
【分析】
(1) 根据直径所对的圆心角是直角，再结合所给条件∠BDE＝∠A，可以推导出∠ODE ＝90°，说明相切的位置关系。

(2)根据直径所对的圆心角是直角，并且在△BDE中，由DE⊥BC,有∠BDE＋∠DBE ＝90°可以推导出∠DAB＝∠C, 可判定△ABC是等腰三角形，再根据BD⊥AC可知D是AC的中点，从而得出AD的长度，再在Rt△ADB中计算出直径AB的长，从而算出半径。

【详解】
（1）连接OD，在⊙O中，因为AB是直径，所以∠ADB＝90°，即∠ODA＋∠ODB＝90°，由OA＝OD，故∠A＝∠ODA，又因为∠BDE＝∠A，所以∠ODA＝∠BDE，故∠ODA＋∠ODB＝∠BDE＋∠ODB＝∠ODE＝90°，即OD⊥DE，OD过圆心，D是圆上一点，故DE是⊙O切线上的一段，因此位置关系是直线DE与⊙O相切；
（2）由（1）可知，∠ADB＝90°，故∠A＋∠ABD＝90°，故BD⊥AC，由∠BDE＝∠A，则∠BDE＋∠ABD ＝90°，因为DE⊥BC，所以∠DEB＝90°，故在△BDE中，有∠BDE＋∠DBE＝90°，则∠ABD＝∠DBE，又因为BD⊥AC，即∠ADB＝∠CDB＝90°，所以∠DAB＝∠C，故△ABC是等腰三角形，BD是等腰△ABC
底边BC上的高，则D是AC的中点，故AD＝1
AC＝
1
×16＝8，在Rt△ABD中，tanA＝
BD
＝
BD
＝
34，可解得BD ＝6，由勾股定理可得AB ＝22()AD BD +＝22(86+＝10，AB 为直径，所以⊙O 的半径是5.
【点睛】
本题主要考查圆中的计算问题和与圆有关的位置关系，解本题的要点在于求出AD 的长，从而求出AB 的长.
22．（1）不可能；（2）
16. 【解析】
【分析】
（1）利用确定事件和随机事件的定义进行判断；
（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出其中某顾客该天早餐刚好得到菜包和油条的结果数，然后根据概率公式计算．
【详解】
（1）某顾客在该天早餐得到两个鸡蛋”是不可能事件；
故答案为不可能；
（2）画树状图：
共有12种等可能的结果数，其中某顾客该天早餐刚好得到菜包和油条的结果数为2，
所以某顾客该天早餐刚好得到菜包和油条的概率=
21126=． 【点睛】
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后利用概率公式
m n 计算事件A 或事件B 的概率． 23．（1）①)
1
P 2,0、()2P 0,2；②22b 22-≤≤；（2）m 221>或，m 221<-． 【解析】
【分析】 ()1①据若03PA PB <⋅≤，则点P 为C e 的“特征点”，可得答案；
②根据若03PA PB <⋅≤，则点P 为C e 的“特征点”，可得2m ≤，根据等腰直角三角形的性质，可得答案；
2根据垂线段最短，可得PC 最短，根据等腰直角三角形的性质，可得，根据若
【详解】
解：()()()1PA PB 2121211①⋅=
-⨯+=-=，0PA PB 3∴<⋅≤， 点()
1P 2,0是O e 的“特征点”； ()()PA PB 212131⋅=-⨯+==，0PA PB 3∴<⋅≤，
点()2P 0,?
2是O e 的“特征点”； ()()PA PB 414115⋅=-⨯+=，PA PB 3∴⋅>，
点()3P 4,0不是O e 的“特征点”；
故答案为()
1P 2,0、()2P 0,2 ②如图1，
在y x b =+上，若存在O e 的“特征点”点P ，点O 到直线y x b =+的距离m 2≤．
直线1y x b =+交y 轴于点E ，过O 作OH ⊥直线1y x b =+于点H ．
因为OH 2=．
在Rt DOE V 中，可知OE 22=
可得1b 2 2.=同理可得2b 22=-．
b ∴的取值范围是：22b 2 2.-≤
()2如图2
，
设C 点坐标为()m,0，
直线y x 1=+，CMP 45∠∴=o ．
PC MN ⊥，CPM 90∠∴=o ，
MC 2PC ∴=，2PC MC 2
=． MC m 1=+．
)22PC MC m 122
==+ )2PA PC 1m 11=-=
+-，)2PB PC 1m 11=+=++ Q 线段MN 上的所有点都不是C e 的“特征点”，
PA PB 3∴⋅>， 即))2221m 11m 11(m 1)13222
⎤⎤+-++=+->⎥⎥⎣⎦⎣⎦， 解得m 221>或m 221<-，
点C 的横坐标的取值范围是m 221>或，m 221<-．
故答案为 ：（1）①)1
P 2,0、()2P 0,2；②22b 22-≤；（2）m 221>或，m 221<-． 【点睛】
本题考查一次函数综合题，解()1①的关键是利用若03PA PB <⋅≤，则点P 为C e 的“特征点”；解()1②的关键是利用等腰直角三角形的性质得出OE 的长；解()2的关键是利用等腰直角三角形的性质得出)22122
PC MC m ==+，又利用了3PA PB ⋅>． 24．证明见解析
AG 和CH 平行且相等，得出四边形AHCG 为平行四边形，从而得出答案．
详解：证明：在▱ABCD 中，AB//CD AD//CB AD CB ，，=，
E F EDG DCH FBH ，∠∠∠∠∠∴===，又 DE BF =，EGD ∴V ≌()FHB AAS V ，
DG BH ∴=，AG HC ∴=，又AD//CB Q ，
∴四边形AGCH 为平行四边形， AH //CG ∴．
点睛：本题主要考查的是平行四边形的性质以及判定定理，属于基础题型．解决这个问题的关键就是根据平行四边形的性质得出四边形AHCG 为平行四边形．
25．（1）D （2,2）；（2）22,0M a ⎛⎫-
⎪⎝⎭
；（3）1 【解析】
【分析】
(1)令x=0求出A 的坐标，根据顶点坐标公式或配方法求出顶点B 的坐标、对称轴直线，根据点A 与点D 关于对称轴对称，确定D 点坐标.
(2)根据点B 、D 的坐标用待定系数法求出直线BD 的解析式，令y=0，即可求得M 点的坐标.
（3）根据点A 、B 的坐标用待定系数法求出直线AB 的解析式，求直线OD 的解析式，进而求出交点N 的坐标，得到ON 的长.过A 点作AE ⊥OD ，可证△AOE 为等腰直角三角形，根据OA=2，可求得AE 、OE 的长，表示出EN 的长.根据tan ∠OMB=tan ∠ONA ，得到比例式，代入数值即可求得a 的值.
【详解】
（1）当x=0时，2y =，
∴A 点的坐标为（0,2）
∵()222212y ax ax a x a =-+=-+-
∴顶点B 的坐标为：（1,2-a ），对称轴为x= 1，
∵点A 与点D 关于对称轴对称
∴D 点的坐标为：（2，2）
（2）设直线BD 的解析式为：y=kx+b
把B （1,2-a ）D （2，2）代入得： 2{22a k b
k b -=+=+ ，解得：{22k a
b a ==-
∴直线BD 的解析式为：y=ax+2-2a
当y=0时，ax+2-2a=0，解得：x=22a -
（3）由D(2，2)可得：直线OD 解析式为：y=x
设直线AB 的解析式为y=mx+n,代入A(0，2)B （1,2-a ）可得： 2
{2n m n a =+=- 解得：{2m a
n =-=
∴直线AB 的解析式为y= -ax+2
联立成方程组：{2y x y ax ==-+ ，解得：2
1{21x a y a =
+=+ ∴N 点的坐标为：（
2211a a ++，）
21
a +） 过A 点作AE ⊥OD 于E 点，则△AOE 为等腰直角三角形. ∵OA=2
∴
，
21a +）
12(1a a -+) ∵M 22,0a ⎛
⎫- ⎪⎝⎭
，C(1,0)， B （1,2-a ） ∴MC=2221a a a
---=，BE=2-a ∵∠OMB=∠ONA
∴tan ∠OMB=tan ∠ONA ∴AE BE EN CM =
，即2211a a a a a -=--⎫⎪+⎭
解得：
a=1
a 1=-∵抛物线开口向下，故a<0，
∴
a=1+
a 1=-
【点睛】
本题是一道二次函数与一次函数及三角函数综合题，掌握并灵活应用二次函数与一次函数的图象与性质，以及构建直角三角形借助点的坐标使用相等角的三角函数是解题的关键.
26．（1）证明见解析；（2）CE∥AD，理由见解析；（3）7
4
．
【解析】
【分析】
（1）根据角平分线的定义得到∠DAC=∠CAB，根据相似三角形的判定定理证明；
（2）根据相似三角形的性质得到∠ACB=∠ADC=90°，根据直角三角形的性质得到CE=AE，根据等腰三角形的性质、平行线的判定定理证明；
（3）根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
【详解】
解：（1）∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠CAB，
又∵AC2=AB•AD，
∴AD：AC=AC：AB，
∴△ADC∽△ACB；
（2）CE∥AD，
理由：∵△ADC∽△ACB，
∴∠ACB=∠ADC=90°，又∵E为AB的中点，∴∠EAC=∠ECA，
∵∠DAC=∠CAE，
∴∠DAC=∠ECA，
∴CE∥AD；
（3）∵AD=4，AB=6，CE=1
2
AB=AE=3，
∵CE∥AD，
∴∠FCE=∠DAC，∠CEF=∠ADF，∴△CEF∽△ADF，
∴CF
AF
=
CE
AD
=
3
4
，
∴AC
AF
=
7
4
．
27．（1）70，0.2（2）70（3）750
【解析】
【分析】
（1）根据题意和统计表中的数据可以求得m、n的值；
（2）根据（1）中求得的m的值，从而可以将条形统计图补充完整；
（3）根据统计表中的数据可以估计该校参加这次比赛的3000名学生中成绩“优”等约有多少人．【详解】
解：（1）由题意可得，
m＝200×0.35＝70，n＝40÷200＝0.2，
故答案为70，0.2；
（2）由（1）知，m＝70，
补全的频数分布直方图，如下图所示；
（3）由题意可得，
该校参加这次比赛的3000名学生中成绩“优”等约有：3000×0.25＝750（人），
答：该校参加这次比赛的3000名学生中成绩“优”等约有750人．
【点睛】
本题考查频数分布直方图、频数分布表、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．。