分形几何在金融上的分析

Julia集
C = -1
Julia集
C = -0.5+0.5i
Julia集
C=-0.2+0.75 i
Julia集
C=0.64 i
Mandelbrot集
令 Pc ( z ) z 2 c
M
{c
{Pcn
(0)}
是有界数列}
n1
称为
Mandelbrot集．
Mandelbrot集
分形几何的历史
Pi ( )
(Ii I av )2 (Ii I av )2
分形在金融分析中的应用
• 或者分开写作
Pi ( )
| I i I av |2 | I i I av |
• 也可以以最小的指数IMIN以下的某一 参考值数If基准：
Pi ( )
| Ii I av |2 | Ii I av |
分形在金融分析中的应用
从实用角度看，分形生成元 可以根据市场的历史资料总结出 来。所用的实际模型并不仅仅考 察市场昨天或上个星期发生的情 况。实际上，它是市场波动的更 现实的描述，称为多分形交易时 间中的分数布朗运动。
分形在金融分析中的应用
• 该模型产生的生成元所创造的图 形可以模拟以前的市场活动为基础 的替代变化图景，这种方法不会使 人们能够更有把握地根据过去的资 料预测某一天的股价是升还是降。 但是，它们提供了关于市场动向的 概率估计值，据此人们可以对必将 发生的重大变化做好准备。
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安全在于心细，事故出在麻痹。20.10.2020.10.2003:35:3103:35:31October 20, 2020
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踏实肯干，努力奋斗。2020年10月20日上午3时35分 20.10.2020.10.20
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追求至善凭技术开拓市场，凭管理增 创效益 ，凭服 务树立 形象。2020年10月20日星期 二上午3时35分 31秒03:35:3120.10.20
谢谢大家！
源于这本书. 它的意思是“不规则
的或者断裂的”拉丁语“fractus”
派生
出来的.
英国的海岸线有多长?
• 测量方法： 我们想象一个人沿着一
段海岸线拣尽可能短的道路步行， 并规定每步长度不超过，设这 样测得的海岸线长度为L().然 后重新开始，并使他在海岸线上 最长的步长越来越短。
英国的海岸线有多长?
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一马当先，全员举绩，梅开二度，业 绩保底 。20.10.2020.10.2003:3503:35:3103:35:31Oc t-20
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牢记安全之责，善谋安全之策，力务 安全之 实。2020年10月20日 星期二3时35分 31秒T uesday, October 20, 2020
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相信相信得力量。20.10.202020年10月 20日星 期二3时35分31秒20.10.20
Julia集
n
f : C C是一个复多项式函数，f (z) ak z k ． k 0
f 的斥性周期点所组成集合的闭包称为 f 的 Julia 集． 若 f (z) z2 ,则 f 的 Julia 集为单位圆周． 若 f (z) z2 C ,则当C 0时，f 的 Julia 集将非常复杂．
• Stanley等发现随着销售额 的增加，下降速率的分布在七 个量级以上呈现幂函数规律。
分形在金融分析中的应用
• Zhang对32间（1966-1998） 纽约市场包含最大的四百家上市 公司综合指数的每日收盘价进行 了统计，发现历史价格可以以一 定概率预测最近的将来指数的涨 落。也就是说，即使是复杂的、 多体相互作用的金融市场，其内 部也隐含有一定的规律。
分形在金融分析中的应用
• 其中，If <Imin保证每一点的概率都 大于0；或者直接利用原始的股指表 示为：
Pi ( )
Ii Ii
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树立质量法制观念、提高全员质量意 识。20.10.2020.10.20Tuesday, October 20, 2020
• 自仿射集（每个映射都是压缩的仿 射映射）。
• 迭代函数系统的不变集（每个映射 都是压缩映射）。
• 分形函数（如：Weierstrass函 数）。
• 随机分形（如：随机Koch曲线）。
分形的应用领域
• 数学中的动力系统等; • 物理中的布朗运动,流体力学中
的湍流等; • 化学中酶的构造等; • 生物中细胞的生长等;
分形在金融分析中的应用
• 多重分形谱是直接由指数随 时间的变化计算出来的，它是对 指数的价位、最高最低指数的比 值和低位指数出现的频率等进行 统计计算，因此应当包含有反映 市场活动趋势的信息。
分形在金融分析中的应用
• 对恒生指数的多重分形谱的计 算可以采用和计数法。这里盒子 或者区间内的价格概率P可有多 种解法，我们以平均指数Iav为基 准把概率表示为
• 萌芽期：十九世纪末，二十世纪 初. Cantor集，Weierstrass函数 等的提出.
分形几何的历史
• 形成期：二十世纪六、七十年代. Mandelbrot的大量工作.
1. 1967年，Science, 英国的海岸 线有多长？
2. 1975年，《分形对象：形，机
遇和维数》.分形(fractal)这个词
分形的应用领域
• 地质学中的地质构造等; • 天文学中土星光环的模拟等; • 其它:计算机,经济学,社会学,
艺术等
Minkowski “香肠”
龙曲线
Hilbert曲线
花草树木(L系统）
Hausdorff Dimension
Box D 金融学的基础之一是现代证券 理论，支撑这一理论的数学在 处理极端问题时，作了尽可能 从宽的处理。认为重大的市场 巨变出现的可能性很小，或者 认为这类变化无法加以考虑。 现代证券理论提出的防范风险 的措施依靠的是一些要求很严 而且没有什么根据的假设。
分形在金融分析中的应用
• Mandelbrot提出用分形生成 元模拟价格随时间的变化，而多 重分形分形中可以得到大的价格 涨落的信息。分形的特点是具有 自相似性，在金融学中，这一概 念并不是无根据的抽象，人们在 市场走势图中经常可以看到局部 和整体有某种程度的相似性。
分形在金融分析中的应用
• 观察者无法确定哪些数据涉 及的是价格从一周到下一周的变 化情况，哪些数据涉及的是价格 从一天到下一天的变化情况，哪 些数据涉及的是价格从某一钟点 到下一钟点的变化情况，换言之， 人们研究发现的哪些金融数据中， 广泛地存在着标度不变规律。
分形在金融分析中的应用
• 分形可以对这一特征从理论的 高度上重新进行表述。而多重分形 又在简单分形的基础上增加了能描 述市场易变性的功能。与常规的统 计方法不同，多重分形的方法能将 复杂体系分成许多奇异程度不同的 区域来研究，
分形理论及其在 股市上的应用
分形几何产生的背景
• 经典几何的研究对象: 规则的图形，如圆，三角形等．
• 问题： 对于不规则的图形：如海岸线，
云的边界，我们如何研究？ 如何用计算机去生成？
分形几何产生的背景
• 下面我们再介绍一些传统方法 难以处理的一些问题．
• 如何研究在闭区间上处处连续 处处不可导的函数：
分形在金融分析中的应用
• 从而使我们能分层次地了解复杂 体系的内部精细结构和所富含的 信息。通过对金融数据的多重分 形分析，有望能找到多重分形参 数与金融数据中大的涨落间的关 联性，并以一定概率反映和预测 金融市场的剧烈动荡。
分形在金融分析中的应用
人们可以利用多分形来对证 券进行“应力测试利用支配多 分形的规则来产生支配真实市 场的未知规则所产生的那些变 化模式。多分形描述了生成元 的形状和实际市场资料图表上 待发现的价格上下波动规律间 的关系。
分形在金融分析中的应用
• 首先，它认为价格的变动统计 上是彼此独立的，例如今天的 价格对于现行价格和明天的价 格之间的变化毫无关系。
• 其次，假设所有价格变化的分 布服从标准的正态分布，正态 分布的宽度描述了价格变化偏 离平均值有多远，极端情况的 事件被认为是及其罕见的。
分形在金融分析中的应用
• 然而，人们经常观察到价 格的急升急降------频繁到每 个月都会出现-----它们的概率 并不像证券理论认为的亿亿亿 分之一，而是高达百分之几。
• 如Weierstrass函数？
一类Weierstrass函数的 具体表达式
W (x) (s2)n sin(n x) n0
• 其中1<s<2, 1
大自然的不规则性
• 树木花草、山川河流、烟雾云彩等 是不规则的。晶体的生长，分子的 运动轨迹等也是不规则的。如何用 几何来描述它？
• B. Mandelbrot 观察到英国海岸线 与Van Koch 曲线的关系，提出了 一门描述大自 然的几何形态的学 科---分形(Fractal).
•
严格把控质量关，让生产更加有保障 。2020年10月 上午3时 35分20.10.2003:35Oc tober 20, 2020
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作业标准记得牢，驾轻就熟除烦恼。2020年10月20日星期 二3时35分31秒 03:35:3120 October 2020
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好的事情马上就会到来，一切都是最 好的安 排。上 午3时35分31秒 上午3时35分03:35:3120.10.20
英国的海岸线有多长(续)?
• Mandelbrot的贡献 把的意义挖掘出来，将1+
=D解释为“分形维数”。
分形几何的历史(续)
• 发展期：二十世纪八十年代至今. 1. Hutchinson, 1981, 分形
与自相似. 给出了自相似集合的数学
理论基础. 2. Mandelbrot, 1982, 《自然
•
人生得意须尽欢，莫使金樽空对月。03:35:3103:35:3103:3510/20/2020 3:35:31 AM
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安全象只弓，不拉它就松，要想保安 全，常 把弓弦 绷。20.10.2003:35:3103:35Oc t-2020- Oct-20
•
加强交通建设管理，确保工程建设质 量。03:35:3103:35:3103:35Tuesday, October 20, 2020
界的分形几何》.
分形几何的历史(续)
3. Barnsley, 1988, 《Fractal everywhere》.
4. Falconer, 1990, 《分形几 何——数学基础
及其应用》.
分形函数
我们的主要研究对像是分形函数。 ① Weierstrass函数
② Weierstrass型函数
分形几何的研究对象（二）
分形在金融分析中的应用
• 最近，人们通过对实际市 场历史数据的研究发现，即使 竞争最激烈的市场，实际上市 场的变化规律也不是严格的随 机的，价格的起伏是相关的， 且具有长程相关性，因此可以 通过分形理论来进行描述。
分形在金融分析中的应用
• Manderbrot在其早期对棉 花价格的分析中发现，棉花的 差价显示出时间标度行为。
用一只小老鼠代替人测量。 用苍蝇代替小老鼠测量。 • 测量结论：随着步长越来越短， 我们测量出来的海岸线长度越来 越长。
英国的海岸线有多长(续)?
• Richardson的经验数据 L()与成正比，其中的值
依赖于具体的海岸线。而且对 同一海岸线，对不同的区段， 常常得到不同的。在 Richardson看来， 没有什么 特别意义。