【沪科版】高中数学必修一期末试卷带答案

一、选择题
1．若()f x 为奇函数，且0x 是()x y f x e =- 的一个零点，则0x -一定是下列哪个函数的零点 （ ）
A ．()1x y f x e =+
B ．()1x y f x e -=--
C ．()1x y f x e =-
D ．()1x y f x e =-+
2．已知函数()21x
f x x =++，()2lo
g 1g x x x =++，()2log 1
h x x =-的零点依次为
,,a b c ，则（ ）
A ．a b c <<
B ．a c b <<
C ．b c a <<
D ．b a c <<
3．用d （A ）表示集合A 中的元素个数，若集合A ={0，1}，B ={x |（x 2-ax ）（x 2-ax +1）=0}，且|d （A ）-d （B ）|=1．设实数a 的所有可能取值构成集合M ，则d （M ）=（ ） A ．3
B ．2
C ．1
D ．4
4．若函数112x
y m -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
的图象与x 轴有公共点，则m 的取值范围是（ ）
A ．1m ≤-
B ．10m -≤<
C ．m 1≥
D ．01m <≤
5．若函数
()()2
12
log 45f x x x =-++在区间()32,2m m -+内单调递增，则实数m 的取值范围为（ ） A ．4,33
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C ．4,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭
D ．4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
6．对数函数log (0a y x a =>且1)a ≠与二次函数()2
1y a x x =--在同一坐标系内的图象
可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7．已知函数()2
1
f x mx mx =++的定义域为R ，则实数m 的取值范围是（ ）
A ．04m ≤≤
B ．04m <≤
C ．04m ≤<
D ．04m <<
8．若函数()y f x =为奇函数，且在(),0∞-上单调递增，若()20f =，则不等式
()0f x >的解集为( )
A ．()()2,02,∞-⋃+
B ．()(),22,∞∞--⋃+
C ．()()
,20,2∞--⋃
D ．()()2,00,2-⋃
9．函数2log x
y x x
=
的大致图象是（ ） A ． B ． C ． D ．
10．已知集合{|25}A x x =-≤≤，{|121}B x m x m =+≤≤-．若B A ⊆，则实数m 的取值范围为（ ） A ．3m ≥
B ．23m ≤≤
C ．3m ≤
D ．2m ≥
11．已知集合{}4A x a x =<<，{}
2
|560B x x x =-+>，若{|34}A B x x ⋂=<<，
则a 的值不可能为（ ） A 2B 5C 6
D ．3
12．设U 为全集，(
)U
B A B =，则A B 为（ ）
A ．A
B ．B
C ．
U
B D ．∅
二、填空题
13．若函数244y ax a x =+-存在零点，则实数a 的取值范围是______．
14．已知函数()()223,ln 1,x x x f x x x λ
λ⎧--≤⎪=⎨->⎪⎩
恰有两个零点，则λ的取值范围为______.
15．函数f （x ）=lg （x 2-3x -10）的单调递增区间是______． 16．已知0x >且1x ≠，0y >且1y ≠，方程组58log log 4log 5log 81x y x y +=⎧⎨
-=⎩
的解为1
1x x y y =⎧⎨=⎩或
2
2
x x y y =⎧⎨
=⎩，则()1212lg x x y y =________. 17．对于任意的1,32m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，不等式224t mt m +>+恒成立，则实数t 的取值范围是
________________.
18．已知函数2220()20x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩，，
，，
则不等式()()f x f x >-的解集为
_______________．
19．已知集合1{}2A =-，
，1{}0|B x mx =+＞，若A B B ⋃=，则实数m 的取值范围是________.
20．若关于x 的方程2210ax x ++=的解集有唯一子集 ，则实数a 的取值范围是_____.
三、解答题
21．某制造商为拓展业务，引进了一种生产体育器材的新型设备．通过市场分析发现，每月需投入固定成本3000元，生产x 台需另投入成本C (x )元，且
210400040()
10000
1004980040100x x x C x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≤≤⎪
⎩
，，
，，若每台售价1000元，且每月生产的体育器材月内能全部售完．
（1）求制造商所获月利润L (x )（元）关于月产量x （台）的函数关系式；
（2）当月产量为多少台时，制造商由该设备所获的月利润最大？并求出最大月利润．
22．如图所示，已知1(,)A x m 、2(,2)B x m +、3(,4)C x m +（其中2m ≥）是指数函数
()2x f x =图像上的三点．
(1)当2m =时，求123()f x x x ++的值；
(2)设ABC ∆的面积为S ，求S 关于m 的函数()S m 及其最大值.
23．已知函数()2
2
2
1log 2m x f x x -=-（0m >且1m ≠）
（1）求()f x 的解析式；
（2）判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由；
（3）若关于x 的方程()1log m f x x =+有解，求m 的取值范围. 24．已知函数2
14
()log (238)f x mx x m =-+.
（Ⅰ）当1m =时，求函数()f x 在1[,2]2
上的值域；
（Ⅱ）若函数()f x 在(4,)+∞上单调递减，求实数m 的取值范围.
25．已知二次函数2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，且0a ≠）的图象过()0,1A ，
()1,5B 两点，且它的对称轴的方程为12
x =-.
（1）求该二次函数的表达式；
（2）当26x ≤≤时，函数()2
2y ax b m x c =+-+的最大值为()G m ，最小值为
()H m ，令()()()h m G m H m =-，求()h m 的表达式.
26．已知集合{1,2,3}A =，2{|(1)0,}B x x a x a x R =-++=∈，若A B A ⋃=，求实数
a ；
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一、选择题 1．A 解析：A 【解析】
试题分析：根据题意有0
0()0x f x e
-=，所以00()x f x e =，而
000000()1()110x x x x f x e f x e e e ----+=-+=-⋅+=，所以有0x -是函数()1x y f x e =+的
零点，故选A ．
考点：函数的零点的定义．
2．A
解析：A 【解析】
令函数()210x
f x x =++=，可得0x <，即0a <，
令()2log 10g x x x =++=，则01x <<，即01b <<，
令()2log 10h x x =-=，可知2x =，即2c =，显然a b c <<，故选A.
3．A
解析：A 【分析】
根据题设条件，可判断出d （B ）的值为1或3，然后研究（x 2﹣ax ）（x 2﹣ax +1）＝0的根的情况，分类讨论出a 可能的取值． 【详解】
解：由题意，|d （A ）-d （B ）|=1，d （A ）=2，可得d （B ）的值为1或3
若d （B ）=1，则x 2-ax=0仅有一根，必为0，此时a=0，则x 2-ax+1=x 2+1=0无根，符合题意 若d （B ）=3，则x 2-ax=0有一根，必为0，此时a=0，则x 2-ax+1=x 2+1=0无根，不合题意 故x 2-ax=0有二根，一根是0，另一根是a ，所以x 2-ax+1=0必仅有一根，所以△=a 2-4=0，
解得a=±2
此时x 2-ax+1=0为1或-1，符合题意
综上实数a 的所有可能取值构成集合M={0，-2，2}，故d （M ）=3． 故选：A ． 【点睛】
本题考查方程的根的个数的判断以及集合中元素个数，综合性较强，考查了分类讨论的思想及一元二次方程根的个数的研究方法，难度中等．
4．B
解析：B 【分析】
11()+2x y m -=与x 有公共点，转化为11()2x
y -=与y m =-有公共点，结合函数图象，可
得结果. 【详解】
11()+2x y m -=与x 有公共点，即11()2x y -=与y m =-有公共点，11()2
x
y -=图象如图
可知0110m m <-≤⇒-≤< 故选：B 【点睛】
本题考查了函数的交点问题，考查了运算求解能力和数形结合思想，属于基础题目.
5．C
解析：C 【分析】
求得函数()y f x =的定义域，利用复合函数法求得函数()y f x =的单调递增区间，根据题意可得出区间的包含关系，由此可求得实数m 的取值范围. 【详解】
解不等式2450x x -++>，即2450x x --<，解得15x -<<，
内层函数245u x x =-++在区间()1,2-上单调递增，在区间()2,5上单调递减，
而外层函数
12
log y u =在定义域上为减函数，
由复合函数法可知，函数
()()2
12
log 45f x x x =-++的单调递增区间为()2,5， 由于函数
()()2
12
log 45f x x x =-++在区间()32,2m m -+上单调递增，所以，322
32225
m m m m -≥⎧⎪-<+⎨
⎪+≤⎩
，解得423m ≤<. 因此，实数m 的取值范围是4,23⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
.
故选：C. 【点睛】
本题考查利用对数型复合函数在区间上的单调性求参数，考查计算能力，属于中等题.
6．A
解析：A 【分析】
由对数函数，对a 分类，01a <<和1a >，在对数函数图象确定的情况下，研究二次函数的图象是否相符．方法是排除法． 【详解】
由题意，若01a <<，则log a y x =在()0+∞，
上单调递减， 又由函数()2
1y a x x =--开口向下，其图象的对称轴()
1
21x a =
-在y 轴左侧，排除C ，D.
若1a >，则log a y x =在()0+∞，
上是增函数， 函数()2
1y a x x =--图象开口向上，且对称轴()
1
21x a =
-在y 轴右侧，
因此B 项不正确，只有选项A 满足. 故选：A ． 【点睛】
本题考查由解析式先把函数图象，解题方法是排除法，可按照其中一个函数的图象分类确定另一个函数图象，排除错误选项即可得．
7．C
解析：C 【分析】
由题意可知，对任意的x ∈R ，210mx mx ++>恒成立，然后分0m =和0m ≠，结合题意可得出关于实数m 的不等式组，由此可解得实数m 的取值范围. 【详解】
由题意可知，对任意的x ∈R ，210mx mx ++>恒成立. 当0m =时，则有10>，合乎题意；
当0m ≠时，则有2
40m m m >⎧⎨∆=-<⎩
，解得04m <<. 综上所述，04m ≤<. 故选：C. 【点睛】
结论点睛：利用二次不等式在实数集上恒成立，可以利用以下结论来求解： 设()()2
0f x ax bx c a =++≠
①()0f x >在R 上恒成立，则0
0a >⎧⎨∆<⎩；
②()0f x <在R 上恒成立，则0
0a <⎧⎨∆<⎩
；
③()0f x ≥在R 上恒成立，则0
0a >⎧⎨
∆≤⎩
； ④()0f x ≤在R 上恒成立，则0
0a <⎧⎨∆≤⎩.
8．A
解析：A 【分析】
根据题意，由奇函数的性质可得f （﹣2）=﹣f （2）=0，结合函数的单调性分析可得在区间（﹣∞，﹣2）上，f （x ）＜0，在（﹣2，0）上，f （x ）＞0，再结合函数的奇偶性可得在区间（0，2）上，f （x ）＜0，在（2，+∞）上，f （x ）＞0，综合即可得答案． 【详解】
根据题意，函数y=f （x ）为奇函数，且f （2）=0， 则f （﹣2）=﹣f （2）=0，
又由f （x ）在（﹣∞，0）上单调递增，
则在区间（﹣∞，﹣2）上，f （x ）＜0，在（﹣2，0）上，f （x ）＞0， 又由函数y=f （x ）为奇函数，
则在区间（0，2）上，f （x ）＜0，在（2，+∞）上，f （x ）＞0， 综合可得：不等式f （x ）＞0的解集（﹣2，0）∪（2，+∞）； 故选A ． 【点睛】
本题考查函数单调性奇偶性的应用，关键是掌握函数的奇偶性与单调性的定义，属于基础题．
9．D
解析：D
【解析】
()222log ,0log log ,0
x x x y x x x x >⎧==⎨--<⎩，所以当0x >时，函数
22log log x y x x x ==为增函数，当0x <时，函数()22log log x
y x x x
=
=--也为增函数，故选D. 【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +
-
→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.
10．C
解析：C 【分析】
讨论,B B =∅≠∅两种情况，分别计算得到答案. 【详解】
当B =∅时：1212m m m +>-∴< 成立；
当B ≠∅时：12112215m m m m +≤-⎧⎪
+≥-⎨⎪-≤⎩
解得：23m ≤≤.
综上所述：3m ≤ 故选C 【点睛】
本题考查了集合的关系，忽略掉空集的情况是容易发生的错误.
11．A
解析：A 【分析】
求出{
2B x x =<或}3x >，利用{|34}A B x x ⋂=<<，得23a ≤≤. 【详解】
集合{}
4A x a x =<<，{}{
2
5602B x x x x x =-+=<或}3x >，
{|34}A B x x ⋂=<<， ∴23a ≤≤， ∴a
故选：A. 【点睛】
本题考查了根据集合间的基本关系求解参数范围的问题，属于中档题.解决此类问题，一般要把参与运算的集合化为最简形式，借助数轴求解参数的范围.
12．D
解析：D 【分析】
根据题意作出“韦恩图”，得出集合A 与集合B 没有公共元素，即可求解. 【详解】
由题意，集合U 为全集，(
)U
B
A B =，
如图所示，可得集合A 与集合B 没有公共元素，即A B =∅，
故选D.
【点睛】
本题主要考查了集合的运算及应用，其中解答中根据题设条件，作出韦恩图确定两集合的关系是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.
二、填空题
13．【分析】将函数存在零点转化为与图像有交点作出图像观察图像得出实数的取值范围【详解】解：设则函数存在零点等价于与图像有交点如图：函数的图像恒过点当其和函数的图像相切时有解得由图像可知所以所以与的图像有
解析：3⎡⎢⎣⎦
【分析】
将函数244y ax a x =+-()()4f x a x =+与2()4g x x =-点，作出图像，观察图像得出实数a 的取值范围. 【详解】
解：设()()4f x a x =+，2()4g x x =
-
则函数244y ax a x =+-()()4f x a x =+与2()4g x x =-点， 如图：
函数()()4f x a x =+的图像恒过点(4,0)-，当其和函数2()4g x x =-
2421a
a =+，解得3a =±，由图像可知，0a >，所以33
a =， 所以()()4f x a x =+与2()4g x x =
-3
03
a ≤≤
. 故答案为：3⎡⎢⎣⎦
.
【点睛】
本题考查函数零点问题的研究，关键是将零点问题转化为函数图像的交点问题，考查数形结合的思想，是中档题.
14．或【分析】当时求出函数的两个零点是和当时求出函数的零点为然后分三类讨论零点可解得结果【详解】当时令得或；当时令得若的两个零点是和则解得若的两个零点是和则解得若的两个零点是和则此不等式组无解综上所述：
解析：12λ-≤<或3λ≥ 【分析】
当x λ≤时，求出函数()f x 的两个零点是1-和3，当x λ>时，求出函数()f x 的零点为
2，然后分三类讨论零点可解得结果.
【详解】
当x λ≤时，令2230x x --=，得1x =-或3x =； 当x λ>时，令()ln 10x -=，得2x =，
若()f x 的两个零点是1-和3，则132λλλ-≤⎧⎪
≤⎨⎪≤⎩，解得3λ≥，
若()f x 的两个零点是1-和2，则132λλλ-≤⎧⎪
>⎨⎪>⎩，解得12λ-≤<，
若()f x 的两个零点是2和3，则132λλλ->⎧⎪
≤⎨⎪>⎩
，此不等式组无解，
综上所述：λ的取值范围为12λ-≤<或3λ≥. 故答案为：12λ-≤<或3λ≥. 【点睛】
关键点点睛：利用方程求出三个实根后，按照三种情况讨论函数()f x 的零点是哪两个进行求解是解题关键.
15．（5+∞）【分析】确定函数的定义域考虑复合函数的单调性即可得出结论【详解】由x2-3x-10＞0可得x ＜-2或x ＞5∵u=x2-3x-10在（5+∞）单调递增而y=lgu 是增函数由复合函数的同增异减
解析：（5，+∞） 【分析】
确定函数的定义域，考虑复合函数的单调性，即可得出结论． 【详解】
由x 2-3x-10＞0可得x ＜-2或x ＞5，
∵u=x 2-3x-10在（5，+∞）单调递增，而y=lgu 是增函数
由复合函数的同增异减的法则可得，函数f （x ）=lg （x 2-3x-10）的单调递增区间是（5，+∞）
故答案为（5，+∞）． 【点睛】
本题考查对数函数的单调性和应用，考查学生的计算能力，属于中档题
16．【分析】利用换底公式得出分别消去和可得出二次方程利用韦达定理可求出和的值进而可计算出的值【详解】由换底公式得由①得代入②并整理得由韦达定理得即则因此故答案为：【点睛】本题考查了对数的换底公式对数的运 解析：6
【分析】
利用换底公式得出585
8log log 4111log log x y x y
+=⎧⎪
⎨-=⎪⎩，分别消去5log x 和8log y ，可得出二次方程，利用韦达定理可求出12x x 和12y y 的值，进而可计算出()1212lg x x y y 的值. 【详解】
由换底公式得585
8log log 4111log log x y x y
+=⎧⎪
⎨-=⎪⎩①
②， 由①得58log 4log x y =-，代入②并整理得()2
88log 2log 40y y --=，
由韦达定理得8182log log 2y y +=，即()812log 2y y =，则26
1282y y ==，
()51528182log log 8log log 6x x y y ∴+=-+=，6125x x ∴=，
因此，()6
1212lg lg106x x y y ==.
故答案为：6. 【点睛】
本题考查了对数的换底公式，对数的运算性质，韦达定理，考查了计算能力，属于中档题．
17．【分析】令由题意得出解出该不等式组即可得出实数的取值范围【详解】对于任意的不等式恒成立即不等式恒成立令则解得或因此实数的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查不等式恒成立问题涉及主元思想的应用将问题转 解析：()
(),52,-∞-+∞
【分析】
令()()2
24f m t m t =-+-，由题意得出()10
230
f f ⎧⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭
⎨
⎪>⎩
，解出该不等式组，即可得出实数t 的取值范围. 【详解】
对于任意的1,32m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，不等式224t mt m +>+恒成立，即不等式()2
240
t m t -+->恒成立，
令()()2
24f m t m t =-+-，则()()()()()()2
211524202223324250
f t t t t f t t t t ⎧⎛⎫⎛⎫=-+-=-+>⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎨
⎪=-+-=-+>⎩
， 解得5t <-或2t >，因此，实数t 的取值范围是()(),52,-∞-+∞.
故答案为：()(),52,-∞-+∞.
【点睛】
本题考查不等式恒成立问题，涉及主元思想的应用，将问题转化为一次函数不等式恒成立是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题.
18．【分析】由表达式可知函数为奇函数则等价转换为解不等式即可【详解】因为当时则；同理当时又综上所述为奇函数则即当时解得；当时解得故的解集为故答案为：【点睛】方法点睛：本题考查由分段函数解不等式函数奇偶性 解析：()
()2,02,-+∞
【分析】
由表达式可知，函数()f x 为奇函数，则()()f x f x >-等价转换为()0f x >，解不等式即可 【详解】
因为2220()20x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩，，
，，
当0x >时，0x -<，则
()()()2
222f x x x x x -=----=-+，
()()f x f x -=-；同理当0x <时，
()()()2
20,22x f x x x x x ->-=---=+，
()()f x f x -=-，又()00f =，综上所述()
f x 为奇函数，则()()()()f x f x f x f x >-⇔>-，即()20f x >，当0x >时，()2020f x x x >⇔->，解得2x >；当0x <时，()2020f x x x >⇔-->，解得
20x -<<，故()()f x f x >-的解集为()
()2,02,-+∞
故答案为：()()2,02,-+∞
【点睛】
方法点睛：本题考查由分段函数解不等式，函数奇偶性的判断，常用以下方法： （1）对于分段函数判断奇偶性可用定义法，也可采用数形结合法，结合图象判断； （2）由函数性质解不等式可采用代数法直接运算求解，也可结合函数图象求解.
19．【分析】讨论和及确定集合利用列不等式求解【详解】由题意知则当时∵∴解得当时∵∴解得当时也有综上实数m 的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查集合的包含关系考查一次不等式解集注意m=0的讨论是易错题
解析：1
(,1)2
-
【分析】
讨论0m >和0m <及0m =确定集合B ，利用A B ⊆列不等式求解 【详解】
由题意知A B B ⋃=，则A B ⊆， 当0m >时，1{|}B x x m
=>-
， ∵1{}2A =-，
， ∴1
1m
-
<- 解得01m <<， 当0m <时，1{|}B x x m
=<-
， ∵1{}2A =-，
， ∴1
2m -
> 解得1
02
m -<<，
当0m =时也有A B ⊆.
综上，实数m 的取值范围是1(,1)2
- 故答案为：1(,1)2
-. 【点睛】
本题考查集合的包含关系，考查一次不等式解集，注意m =0的讨论，是易错题
20．【分析】由题意知关于的方程无实数解可得出由此可解出实数的取值范围【详解】由题意知关于的方程无实数解当时原方程为解得不合乎题意；当时则有解得综上所述实数的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查利用集合的 解析：()1,+∞
【分析】
由题意知，关于x 的方程2210ax x ++=无实数解，可得出00
a ≠⎧⎨∆<⎩，由此可解出实数a 的取值范围. 【详解】
由题意知，关于x 的方程2210ax x ++=无实数解.
当0a =时，原方程为210x +=，解得1
2
x =-，不合乎题意；
当0a ≠时，则有440a ∆=-<，解得1a >. 综上所述，实数a 的取值范围是()1,+∞. 故答案为：()1,+∞. 【点睛】
本题考查利用集合的子集个数求参数，将问题转化为方程无实解是解题的关键，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.
三、解答题
21．（1）2106003000040()10000
6800(4)40100.x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪
=⎨-+≤≤⎪
⎩
，，，；（2）月产量为50台时，所获的月利润最大，最大月利润为6400元． 【分析】
（1）分040x <<和40100x ≤≤时两种情况，利用利润＝销售额－成本列式即可； （2）利用二次函数求040x <<时的最大值，利用基本不等式求40100x ≤≤时的最大值，取最大即可. 【详解】
（1）当0＜x ＜40时，L (x )＝1000x －10x 2－400x －3000＝－10x 2＋600x －3000；
当40≤x ≤100时，L (x )＝10000
1000100498003000x x x
--
+- 10000
=6800(4)x x
-+
． 所以2106003000040()10000
6800(4)40100.x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪
=⎨-+≤≤⎪
⎩
，，， （2）①当0＜x ＜40时，L (x )＝－10(x －30)2＋6000， 所以当x ＝30时，L (x )max ＝L (30)＝6000． ②当40≤x ≤100时，10000()6800(4)L x x x =-
+68006400-=≤， 当且仅当10000
4x x
=
，即x ＝50时取等号． 因为6400＞6000，所以x =50时，L (x )最大．
答：月产量为50台时，所获的月利润最大，最大月利润为6400元． 【点睛】
本题主要考查了分段函数的实际应用，涉及二次函数求最值和基本不等式求最值，属于基础题.
22．（1）48；（2）24log 3
【分析】
（1）根据指数运算法则求解，（2）作辅助线，将所求三角形面积转化为一个大直角三角形面积减去一个小直角三角形面积以及一个直角梯形面积，利用坐标表示面积，最后根据二次函数性质求最值. 【详解】
（1）()()()1
23
312123222224x x x x x x f x x x m m m ++++===++，
∴ 当2m =时，()12348f x x x ++=；
(2)过C 作直线l 垂直于x 轴，分别过,A B 作11,AA BB 垂直于直线l ，垂足分别为11,A B ，
则1
111ABC AAC BB C AA B B S S S S ∆∆∆=--梯形 ()()()31323231111
422222
x x x x x x x x =
-⨯--⨯--+-⨯ ()()()()21322222log 2log log 4x x x m m m =-+=+-++
()
2
2
222
24log log 144m m m m m +⎛⎫==+ ⎪++⎝⎭
即S 关于m 的函数为：()22
4log 14S m m m ⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭
，[)2,m ∈+∞
令24v m m =+，因为24v m m =+在[
)2,+∞上是增函数，∴12v ≥ 再令41t v =+
，则41t v =+在[)12,+∞上是减函数，∴413
t <≤； 而2log S t =在区间41,3
⎛⎤
⎥⎝⎦
上是增函数， 所以，函数()22
4log 14S m m m ⎛⎫
=+ ⎪+⎝⎭
在区间[)2,+∞上是减函数， 故当2m =时，()()2
max 4
2log 3
S m S ==．
【点睛】
本题考查指数函数、对数函数以及二次函数性质，考查基本分析求解能力，属中档题. 23．（1）()1
log 1m x f x x
+=-；（2）()f x 为奇函数，理由见解析；（3）322m ≥+. 【分析】
（1）令21t x =-，采用换元法求解函数解析式；
（2）先确定函数的定义域，再由函数奇偶性的定义判断即可； （3）由条件可转化为()
1
1x m x x +=-在()0,1x ∈上有解问题即可.
【详解】
（1）令2
1t x =-，则2
1x t =+，则()()11
log log 211m m
t t f t t t
++==-+-， 所以()1
log 1m x f x x
+=-； （2）由
101x
x
+>-得11x -<<， 又()()()11log log 11m
m x x
f x f x x x
---===---+，所以()f x 为定义域上的奇函数；
（3）由11
0x x -<<⎧⎨>⎩
得01x <<，
又1log 1log log 1m
m m x x mx x +=+=-，1
1x mx x
+=-在()0,1x ∈上有解， ()
1
1x m x x +=
-，令()11,2u x =+∈，
2
132323t m u u u u =
=≥=+-+-⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，
当且仅当u =,
所以3m ≥+.
【点睛】 易错点睛：
（1）判断函数的奇偶性一定不要忘记先判断定义域是否关于原点对称； （2）利用基本不等式求解范围，一定要注意满足“一正二定三相等”的条件.
24．（Ⅰ）114455log 10,log 8⎡⎤⎢⎥⎣⎦
（Ⅱ）3,10⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭ 【分析】
（Ⅰ）把1m =代入，可得(
)
12
2
()log 238f x x x =-+，令2
238y x x =-+，求出其在
1
[,2]2
上的值域，利用对数函数的单调性即可求解. （Ⅱ）根据对数函数的单调性可得2
()238g x mx x m =-+在(4,)+∞上单调递增，再利用
二次函数的图像与性质可得0,34,4(4)0,
m m g >⎧⎪⎪
≤⎨⎪≥⎪⎩解不等式组即可求解. 【详解】
（Ⅰ）当1m =时，(
)
12
2
()log 238f x x x =-+，
此时函数()f x 的定义域为1,22
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
. 因为函数2
238y x x =-+的最小值为2428355
88
⨯⨯-=
. 最大值为22232810⨯-⨯+=，故函数()f x 在1,22⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上的值域为114455log 10,log 8⎡⎤
⎢⎥⎣⎦； （Ⅱ）因为函数
14
log y x =在(0,)+∞上单调递减，
故2
()238g x mx x m =-+在(4,)+∞上单调递增，则0,34,4(4)0,
m m g >⎧⎪⎪≤⎨⎪≥⎪⎩ 解得310m ≥
，综上所述，实数m 的取值范围3,10⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
. 【点睛】
本题主要考查了利用对数函数的单调性求值域、利用对数型函数的单调区间求参数的取值范围以及二次函数的图像与性质，属于中档题.
25．（1）2221y x x =++；（2）()22728,5
1
16913,5922
1255,91322872,13m m m m m h m m m m m m -<⎧⎪⎪-+≤≤⎪=⎨⎪-+<≤⎪⎪->⎩
.
【分析】
（1）待定系数法求出参数,,a b c ，写出二次函数表达式即可；
（2）由（1）知2
2(22)1y x m x =+-+，即对称轴为12
m x -=
，讨论1
2m -与区间[]
2,6的位置关系求m 范围及对应()h m . 【详解】
解：（1）由题可得12215
b
a c a
b
c ⎧-=-⎪⎪=⎨⎪++=⎪
⎩
，解得221a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，即2
221y x x =++；
（2）22
(2)2(22)1y ax b m x c x m x =+-+=+-+，其图象对称轴的方程为1
2
m x -=
. ①当
1
22
m -<时，即5m <时，()8512G m m =-，()134H m m =-，()728h m m =-；
②当1242m -≤≤时，即59m ≤≤时，()8512G m m =-，221
()2m m H m -++=，21169()1322
h m m m =
-+； ③当1462m -<≤时，即913m <≤时，()134G m m =-，221
()2
m m H m -++=，
2125
()522
h m m m =-+；
④当
1
62
m ->时，即13m >时，()134G m m =-，()8512H m m =-，()872h m m =-.
综上，()22728,51
16913,5922
1255,91322872,13m m m m m h m m m m m m -<⎧⎪⎪-+≤≤⎪=⎨
⎪-+<≤⎪⎪->⎩
. 【点睛】
关键点点睛：已知过定点及对称轴，应用待定系数法求二次函数解析式；当对称轴含参数时，研究区间最值需要讨论对称轴与区间的关系确定最值情况. 26．1a =或2或3 【分析】
由A B A ⋃=可得B A ⊆,分别讨论B =∅与B ≠∅的情况,进而求解即可 【详解】
由A B A ⋃=可得B A ⊆,
若B =∅,则()2
140a a ∆=+-<,解得a ∈∅； 若B ≠∅,则()()10x a x --=,解得1x a =,21x =, ①当1a =,则{}1B =,符合题意； ②当2a =,则{}1,2B =,符合题意； ③当3a =,则{}1,3B =,符合题意； 综上,1a =或2或3 【点睛】
本题考查已知集合的包含关系求参数,考查分类讨论思想。