学校2021届高三上学期期中考试数学试题

周口中英文学校2020--2021学年上期高三期中考试
数学 试题
时间 120分钟 满分150分
一、每小题只有一个答案是正确的，每题5分，共60分
1．已知R 为实数集，集合(){|lg 3}A x y x ==+， {|2}B x x =≥，则
()R
A B ⋃=
A. B. {|3}x x <- C. {|23}x x ≤< D. {|3}x x ≤-
2、.已知命题()()()000:0,,p x f x f x ∃∈+∞-=，命题()():,q x R f x f x ∀∈-=.若p 为真命题，且q 为假命题，则函数()f x 的解析式可能为（ ）
A. ()1f x x =+
B. ()2
1f x x =+ C. ()sin f x x = D. ()312x
f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
3、已知点
是角终边上一点，则 ( )
A. B. 3 C. D. 1 4、函数y ＝⎝⎛⎭⎫
12－x 2＋x ＋2
的单调递增区间是( )
A.⎣⎡⎦⎤－1，12 B ．(－∞，－1] C ．[2，＋∞) D.⎣⎡⎦
⎤1
2，2 5. 已知曲线的一条切线的斜率为,则切点横坐标为（ ） A. B. C. 或 D.
6、已知函数f (x )＝e x －x 2，则下列区间上，函数必有零点的是( )
A ．(－2，－1)
B ．(－1,0)
C ．(0,1)
D ．(1,2)
660︒a =3-1-()213ln 4f x x x =
-1
2
-2-323-2
7、已知p ：幂函数()
21m y m m x =--在()0,+∞上单调递增；
:21q m -<，则p 是q 的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8、(理科学生做) 曲线3y x =与直线1x =及x 轴所围成的图形的面积为 （ ） ．
A 、
13 B 、14 C 、1 D 、1
2
(文科学生做) 已知函数的导数为，且满足关系式，则
的值等于（ ）
A ．
B ．
C ．2
D ．
9. f(x)=
ln|x|+1
e x
的图像大致是（ （
10．《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论述，比西方早一
千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小；以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺，问这块圆柱形木料的直径是多少？长为0.5丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示（阴影部分为镶嵌在墙体内的部分）.己知弦1AB =尺，弓形高1CD =寸，估
算该木材镶嵌墙内部分的体积约为（ ）．（注：一丈=10尺=100寸，
5
3.14,sin 22.513
π≈︒≈，答案四舍五入．．．．．．，．只取整数．．．．
） A 、 285立方寸 B 、300 立方寸 C 、317立方寸 D 、320立方寸
11、已知定义在上的奇函数满足： （其中），且
在区间上是减函数，令， ， ，则， ， 的()f x ()f x '2()3(2)ln f x x xf x '=++(2)f '2-94
-
9
4R ()f x ()()2f x e f x +=- 2.71828e =[]
,2e e ln22a =
ln33b =ln5
5
c =()f a ()f b ()f c B A
C
D
大小关系（用不等号连接）为（ ）
A. B. C. D.
12. 已知函数()()ln ,0{
2,2x x e
f x f e x e x e
<≤=-<<，函数()()F x f x ax =-有4个零点，则实数a 的取值范围是（ ）
A. ()0,e
B. 10,e ⎛
⎫ ⎪⎝⎭
C. [
),e +∞ D. 1[,e
+∞）
二、填空题（每小题5分，共20分）
13、已知43149cos -
=⎪⎭
⎫
⎝⎛+απ，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ76sin 14．已知定义在R 上的函数()f x 满足f(x +2)=f(x)，当时，()21x
f x =-，
则f(5)= _________
15、一个驾驶员喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL ，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，规定驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL ，那么这个驾驶员至少要经过 小时才能开车．(精确到1小时，参考数据lg2≈0.30，lg3≈0.48)
16、设是定义在的奇函数，其导函数为，且当时，
，则关于的不等式的解集为
三：解答题（要求有必要的推理过程） 17（本大题10分）
设全集是实数集R ，集合A ＝{x |y ＝log a (x －1)＋3－x }， B ＝{x |2x ＋m ≤0}．
()()()f b f a f c >>()()()f b f c f a >>()()()f a f b f c >>()()()f a f c f b >>()f x ()(),00,ππ-⋃()f x '()0,x π∈()()sin cos 0f x x f x x '-<x ()2sin 6f x f x π⎛⎫
< ⎪⎝⎭
(1)当m ＝－4时，求A ∩B 和A ∪B ； (2)若(∁R A )∩B ＝B ，求实数m 的取值范围．
18、（本大题共两小题，每小题6分，共12分） 1、若3sin α＋cos α＝0，求
1
cos 2α＋2sin αcos α
的值
2、设f (α)＝2sin （π＋α）cos （π－α）－cos （π＋α）
1＋sin 2α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α
－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫
π2＋α(1＋2sin α≠0)，
求f ⎝
⎛⎭⎪⎫
－
23π6的值.
19、（本大题12分）
已知函数
()()()
⎪⎩⎪⎨⎧<≤+<<+=-1,120,12
x c c x cx x f c x 满足29()8f c =. (1)求常数c 的值;
(2)
解不等式()18
f x >
+.
20、（本大题12分）
已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，满足f (0)＝f (1)＝0，且f (x )的最小值是－14
.
(1)求f (x )的解析式；
(2)设函数h (x )＝ln x －2x ＋f (x )，若函数h (x )在区间⎣⎡⎦⎤12，m －1上是单调函数， 求实数m 的取值范围．
21、（本大题12分） 已知函数()()1
ln f x a x a R x
=+
∈． （1）当2a =时，求曲线()y f x =在点()()
1,1f 处的切线方程．
（2）如果函数()()2g x f x x =-在()0,+∞上单调递减，求a 的取值范围．
( 3 )当e
a 1
=时，求函数()x f 在区间[]
21
a ，上最大值和最小值
22. （本大题12分）
已知函数()()2
1x
f x x e ax =--（e 是自然对数的底数）
（1）判断函数()f x 极值点的个数，并说明理由； （2）若0>∀x ， ()3
x
f x e x x +≥+，求a 的取值范围.
周口中英文学校2020--2021学年上期高三期中考试
数学 试题 答案
一、选择题 （每小题5分，共60分）
二、填空（每小题5分，共20分）
13、
43 14、 1 15、 5 16、
三、解答题
17（本大题10分）
解：(1)由⎩⎨⎧
x －1>0，3－x ≥0，得1<x ≤3，
即集合A ＝(1,3]；
由2x －4≤0，得2x ≤22，x ≤2，即集合B ＝(－∞，2]． 故A ∩B ＝(1,2]，A ∪B ＝(－∞，3]．——————5分 (2)∁R A ＝{x |x >3，或x ≤1}．
∵(∁R A )∩B ＝B ，∴B ⊆∁R A .——————
,0,66πππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
①若B ＝∅，则m ≥0；——————-7分 ②若B ≠∅，则m <0， ∴2x ≤－m ，∴x ≤log 2(－m )． ∵B ⊆∁R A ，∴log 2(－m )≤1，
即log 2(－m )≤log 22，因此0<－m ≤2，－2≤m <0.
综上所述，实数m 的取值范围是[－2，＋∞)．——————10分 18、（本大题共两小题，每小题6分，共12分） 1) 3sin α＋cos α＝0⇒cos α≠0⇒tan α＝－13， 1
cos 2α＋2sin αcos α＝cos 2α＋sin 2αcos 2α＋2sin αcos α＝1＋tan 2α1＋2tan α
＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1321－23＝
103.————————6分 2）∵f (α)＝
（－2sin α）（－cos α）＋cos α
1＋sin 2α＋sin α－cos 2α
＝2sin αcos α＋cos α2sin 2
α＋sin α＝cos α（1＋2sin α）sin α（1＋2sin α）＝1tan α， ∴f ⎝
⎛⎭⎪⎫
－
23π6＝1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－
23π6＝1tan ⎝
⎛
⎭⎪⎫－4π＋π6＝1
tan π6＝ 3.——————12分
19．（本大题12分）
(1)因为01c <<,所以2
c c <; 由29()8f c =
,即3918c +=,∴12
c = (2)由(1)得411122()211x x x f x x -⎧⎛
⎫+0<< ⎪⎪⎪⎝
⎭=⎨1⎛⎫⎪+< ⎪⎪2⎝⎭⎩
，，≤,
由()1f x >+得,
当1
02
x <<
时,12x <<; 当
112x <≤时,解得15
28
x <≤
所以()18f x >
+的解集为58x ⎧⎫⎪⎪
<<⎨⎬⎪⎪⎩
⎭ 20、（本大题12分）
(1)因为二次函数f (x )满足f (0)＝f (1)＝0，所以其对称轴为x ＝1
2.
又f (x )的最小值是－1
4，
故f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x －122－14
. 因为f (0)＝0，所以a ＝1，故f (x )＝x 2－x .————————5分 (2)因为h (x )＝ln x －2x ＋x 2－x ＝ln x ＋x 2－3x ，
所以h ′(x )＝1
x ＋2x －3＝(2x －1)(x －1)x ，所以h (x )的单调递增区间为⎝⎛⎦⎤0，12和[)1，＋∞，单调递减区间为⎣⎡⎦⎤
12，1.
根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧
m －1>12，m －1≤1，
解得3
2
<m ≤2.
故实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤
32，2.——————————————12分
21（本大题12分）
【解析】（1）当2a =时， ()12f x lnx x =+
， ()221
f x x x
-'=，∴()11f =， ()11f '=， ∴()f x 在点()()
1,1f 处的切线方程为： 11y x -=-，即0x y -=．————3分
（2）函数()()2g x f x x =-在()0,+∞上单调递减， 等价于()21
20a g x x x
'=
--≤在()0,+∞上恒成立， 即1
2(0)a x x x
≤+
>恒成立， ∵11222x x x x +
≥⋅=1
2x x
=， 即2x = ∴22a ≤(
,22-∞．——————7分
（3）()[]
2,1,1
ln 1e x x
x e x f ∈+=
()22/11ex
e
x x ex x f -=-=
()()0,,1/<∈x f e x ()x f 递减； ()
()0,,/2>∈x f e e x ()x f 递增；
当e x =时，()x f 最小，()e
e e e e
f 2
1ln 1=+= 又()11=f ()
()111
22
2f e
e e
f =<+=
()x f 的最大值为1——————————————12分
23. （本大题12分）
当1
2
a >时， ()f x 在(),0-∞上单调递增，在()0,ln2a 上单调递减，在()ln2,a +∞上单调递增，
()f x ∴有2个极值点；
综上可得：当0a ≤时， ()f x 有1个极值点；当0a >且1
2
a ≠时， ()f x 有2个极值点；当1
2
a =
时， ()f x 没有极值点．————————6分 （2）由()3
x
f x e x x +≥+得320*x xe x ax x ---≥（）
. ①当0x >时，由不等式*（）
得210x e x ax ---≥， 即21x e x a x
--≤对0x ∀>在0x >上恒成立.
设()21
x e x g x x --=，则()()()
2
11'x x e x g x x ---=.
设()1x
h x e x =--，则()'1x
h x e =-.
0x >， ()'0h x ∴>， ()h x ∴在()0,+∞上单调递增， ()()00h x h ∴>=，即1x e x >+，
()g x ∴在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增， ()()12g x g e ∴≥=-，
2a e ∴≤-.——————————12分
不积跬步无以至千里，不积小流无以成江海！。