常数变易法在高中数学中的妙用

H = 1 ,求证:#43;H = 1消元代入化简证明，也
可采用常数变易法. —(% + 0 + z) 0； = % 0< + 0 0= + - 0C得
%(&」&) +0(&—&) +H 0P-0C) =0,
艮卩 % < + y'=； +z~CP =0.
若%=0,则yBP + + & =0,所以；,=,C三点共线，故
{ 二- - + 0 = 1, r = & 1
亠普,即{
时0等号，哙+
壬的最小值为3+2任
羊 或者这样变形—+寻=凹+2("严
--
3+2-b +
例J3 若 ％>0,0>0,h>0,且 % + 0 + h = 1,求函数)=
(T-1)(十一1)(号一1 )的小值.
解 此题的 函数具有对称性，利用常数 法，用
!关键词】"数变易法
常数 法是微分方程中解线性微分方程的方法，就
是将齐次线性微分方程通解中的常数C变换为待定函数
+(%).不仅如此，它在中数学中也有着 的应用，用
量
一个常数,可以巧妙地解
.下
几种题
型加以阐述. 一、在解方程中的应用
例 1 解方程 /% +12% +40 + /% -12% +40 =20.
二、在不等式中的应用
例2
已知两正数-,b满足-+b
=
1,求— 1+2—的最 -
小值. 解 此题方法多,其中比较便捷的方法就是常数变易
法.-+b=1不仅是一个等式，还 以看作是用两个变量-,
b表示的常数1.
1 + 2 /丄+2
-b
-b
1 =(+
(- +b) =3 +
丰 2 + #3+2
-
2-_ T
3 +2 //
解 将原方程变为 /(%+6)2 +4 + /(%-6)2 +4 =20. 将方程中的常数4换 量，令02 =4,
贝 原方
/(%+6)2 +02 + /(%-6)2 +02 =
20,由椭圆的第一定义知，这个方
点为(±6,0)的
椭圆，它的标准方程为1%0+0 = 1，再将此方程与02 =4联
立解得%= 士导/15
=sin2 + + sin： / cos______ sin2 +______
sin2 + + cos2 +
sin2 + + cos2 +
sin2 +
2
4 +斗
=tan + + coA_____ L = 3
_ 1 +cota _1 +丄一.
2
四、 在向量中的应用
例5设空间任意一点。和不共线的三点<,=,C,若 空间一点P满足关系式& =「& + y& +- &,且%+0 +
解 此题如果先根据An+ = 2求出sin+、c@M的值，再
求sin2 + + sin+cosa的值，
正 ，需要分类讨论，
过
，可以尝试用常数 法•这 要用到一个等式
Mn2 + + cos2 + = 1，把常数1
两个变量.
si•n2 •n&cos+ ： sin2 + + sin—+ / cosa
sin2 + + sin+ / coss
%+0+H = 1部分换掉 函数中1,然后再用均值不等式求 最值.
叫 )( )(— T-1 J"1
0 + H % +H %0
-1)( % + 0 + H 0
% +0 +H -2
当且仅当%= 0= H =寺时取等号，则函数)=
(j1 )( )( j1 )的最小值为&
三、 在三角中的应 例4 已知tan+ =2 ,求代数式sin2 + + sin+cosct的值.
解题技巧与方法 136 --------------------- JIETI JIQIAO YU FANGFA • •
常数变易法学.旳妙用
◎龙 耒 (宜昌市三峡高级中学，湖北 宜昌443100)
!摘要】"数变易法是解微分方程的一种方法，在数学
分析中扮演着重
.它是法国数学家拉格朗日的研究
成果，微分方程中 的仅是他的结论.
,2013(21):160.
数学学习与研究2020. 4
；,<,=,C 四点 .
若%/0,则& = -Z& -丄&，根据平面向量基本定
%
%
理得&，&，&共面，故；,<, = ,C四点共面.
一想，若 % +0 +z = 1 换成 % +0 +z =N(N/0),原命 吗？
【参考文献】 [1] 士襄.“"数变易法”来历的探讨[J].邯郸农业 高等专科学校学报,1998(5) ：40-41. [2] 胡宜寒."数变易法在高等数学中的运用[J].数字