高中数学 第1章 集合与函数概念 1.3.2 奇偶性 第1课时 奇偶性的概念课时作业 新人教A版必修1

1.3.2 奇偶性
第1课时 奇偶性的概念 课时目标 1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；2.掌握判断函数奇偶性的方法；
3.了解函数奇偶性与图象的对称性之间的关系．
1．函数奇偶性的概念
(1)偶函数：如果对于函数f (x )的定义域内______一个x ，都有__________，那么函数f (x )就叫做偶函数．
(2)奇函数：如果对于函数f (x )的定义域内______一个x ，都有__________，那么函数f (x )就叫做奇函数．
2．奇、偶函数的图象
(1)偶函数的图象关于______对称．
(2)奇函数的图象关于______对称．
3．判断函数奇偶性要注意定义域优先原则，即首先要看定义域是否关于原点对称．
一、选择题
1．已知y ＝f (x )，x ∈(－a ，a )，F (x )＝f (x )＋f (－x )，则F (x )是( )
A ．奇函数
B ．偶函数
C ．既是奇函数又是偶函数
D ．非奇非偶函数
2．f (x )是定义在R 上的奇函数，下列结论中，不正确的是( )
A ．f (－x )＋f (x )＝0
B ．f (－x )－f (x )＝－2f (x )
C ．f (x )·f (－x )≤0
D.f x f －x
＝－1 3．下面四个结论：①偶函数的图象一定与y 轴相交；②奇函数的图象一定过原点；③偶函数的图象关于y 轴对称；④没有一个函数既是奇函数，又是偶函数． 其中正确的命题个数是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
4．函数f (x )＝1x
－x 的图象关于( ) A ．y 轴对称 B ．直线y ＝－x 对称
C ．坐标原点对称
D ．直线y ＝x 对称
5．设函数f (x )＝(x ＋1)(x ＋a )为偶函数，则a 等于( )
A ．1
B ．0
C ．－1
D ．－2
6．若函数y ＝f (x ＋1)是偶函数，则下列说法不正确．．．
的是( ) A ．y ＝f (x )图象关于直线x ＝1对称
B ．y ＝f (x ＋1)图象关于y 轴对称
C ．必有f (1＋x )＝f (－1－x )成立
D ．必有f (1＋x )＝f (1－x )成立
二、填空题
7．偶函数y ＝f (x )的定义域为[t －4，t ]，则t ＝________________________________.
8．设奇函数f (x )的定义域为[－5,5]，若当x ∈[0,5]时，f (x )的图象如图所示，则不等式f (x )<0的解集是________．
9．已知奇函数f (x )的定义域为R ，且对于任意实数x 都有f (x ＋4)＝f (x )，又f (1)＝4，那么f [f (7)]＝________.
三、解答题
10．判断下列函数的奇偶性：
(1)f (x )＝3，x ∈R ；
(2)f (x )＝5x 4－4x 2＋7，x ∈[－3,3]； (3)f (x )＝|2x －1|－|2x ＋1|；
(4)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x 2， x >0，0， x ＝0，
x 2－1， x <0.
11．已知奇函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋2x x x ＝x 2＋mx x .
(1)求实数m 的值，并在给出的直角坐标系中画出y ＝f (x )的图象；
(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，试确定a 的取值范围．
能力提升
12．y ＝f (x )在(0,2)上是增函数，y ＝f (x ＋2)是偶函数，则f (1)，f (52)，f (72
)的大小关系是____________________________．
13．已知函数f (x )是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意的a ，b ∈R 都满足f (ab )＝af (b )＋bf (a )．
(1)求f (0)，f (1)的值；
(2)判断f (x )的奇偶性．
1．函数奇偶性
(1)从函数奇偶性定义来看，奇、偶函数的定义域一定关于原点对称，否则此函数是非奇非偶函数．
(2)函数的奇偶性是相对于函数的定义域而言，这一点与函数单调性不同，从这个意义上说，函数单调性是函数的“局部”性质，而奇偶性是函数的“整体”性质．
(3)函数f (x )＝c (c 是常数)是偶函数，当c ＝0时，该函数既是奇函数又是偶函数．
2．函数的奇偶性与图象的对称性的关系
(1)若一个函数是奇函数，则其图象关于原点对称，反之，若一个函数图象关于原点中心对称，则其一定是奇函数．
(2)若一个函数是偶函数，则其图象关于y 轴对称，反之，若一个函数图象关于y 轴成轴对称，则其必为偶函数．
1．3.2 奇偶性
第1课时 奇偶性的概念
知识梳理
1．(1)任意 f (－x )＝f (x ) (2)任意 f (－x )＝－f (x )
2．(1)y 轴 (2)原点
作业设计
1．B [F (－x )＝f (－x )＋f (x )＝F (x )．
又x ∈(－a ，a )关于原点对称，∴F (x )是偶函数．]
2．D [∵f (－x )＝－f (x )，A 、B 显然正确，
因为f (x )·f (－x )＝－[f (x )]2≤0，故C 正确．
当x ＝0时，由题意知f (0)＝0，故D 错误．]
3．A [函数y ＝1x 2是偶函数，但不与y 轴相交，故①错； 函数y ＝1x
是奇函数，但不过原点，故②错； 函数f (x )＝0既是奇函数又是偶函数，故④错．]
4．C [∵x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，且对定义域内每一个x ，
都有f (－x )＝－1x
＋x ＝－f (x )， ∴该函数f (x )＝1x －x 是奇函数，其图象关于坐标原点对称．]
5．C [∵f (x )为偶函数，∴f (－1)＝f (1)，
即(－1＋1)(－1＋a )＝2(1＋a )，∴a ＝－1.]
6．C [由题意，y ＝f (x ＋1)是偶函数，所以f (x ＋1)的图象关于y 轴对称，故B 正确；y ＝f (x ＋1)的图象向右平移一个单位即得函数y ＝f (x )的图象，故A 正确；可令g (x )＝f (x ＋1)，由题意g (－x )＝g (x )，即f (－x ＋1)＝f (x ＋1)，故D 正确，所以选C.]
7．2
解析 偶函数的定义域应当关于原点对称，故t －4＝－t ，得t ＝2.
8．(－2,0)∪(2,5]
解析 由题意知，函数f (x )在[－5,0]的图象与在[0,5]上的图象关于原点对称．画出f (x )在[－5,0]上的图象，观察可得答案．
9．0
解析 ∵f (7)＝f (3＋4)＝f (3)＝f (－1＋4)＝f (－1)
＝－f (1)＝－4，
∴f [f (7)]＝f (－4)＝－f (4)＝－f (0＋4)＝－f (0)＝0.
10．解 (1)f (－x )＝3＝f (x )，
∴f (x )是偶函数．
(2)∵x ∈[－3,3]，f (－x )＝5(－x )4－4(－x )2＋7
＝5x 4－4x 2＋7＝f (x )，∴f (x )是偶函数．
(3)f (－x )＝|－2x －1|－|－2x ＋1|＝－(|2x －1|－|2x ＋1|)＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．
(4)当x >0时，f (x )＝1－x 2，此时－x <0，
∴f (－x )＝(－x )2－1＝x 2－1，∴f (－x )＝－f (x )；
当x <0时f (x )＝x 2－1，
此时－x >0，f (－x )＝1－(－x )2＝1－x 2，
∴f (－x )＝－f (x )；
当x ＝0时，f (－0)＝－f (0)＝0.
综上，对x ∈R ，总有f (－x )＝－f (x )，
∴f (x )为R 上的奇函数．
11．解 (1)当x <0时，－x >0，
f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x .
又f (x )为奇函数，
∴f (－x )＝－f (x )＝－x 2－2x ，
∴f (x )＝x 2＋2x ，∴m ＝2.
y ＝f (x )的图象如图所示．
(2)由(1)知f (x )
＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋2x x x ＝x 2＋2x x ，
由图象可知，f (x )在[－1,1]上单调递增，
要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，只需⎩⎪⎨⎪⎧ a －2>－1a －2≤1，
解得1<a ≤3.
12．f (72)<f (1)<f (52
) 解析 因y ＝f (x ＋2)是偶函数，f (x ＋2)的图象向右平移2个单位即得f (x )的图象．所以函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，又因f (x )在(0,2)上是增函数，所以f (x )
在(2,4)上是减函数，且f (1)＝f (3)，由于72>3>52
， ∴f (72)<f (3)<f (52)，即f (72)<f (1)<f (52
)． 13．解 (1)令a ＝b ＝0，f (0)＝0＋0＝0；
令a ＝b ＝1，f (1)＝f (1)＋f (1)，
∴f (1)＝0.
(2)f (x )是奇函数．
因为f (－x )＝f ((－1)·x )＝－f (x )＋xf (－1)，
而0＝f (1)＝f ((－1)×(－1))＝－f (－1)－f (－1)，
∴f (－1)＝0，∴f (－x )＝－f (x )＋0＝－f (x )，
即f (x )为奇函数．。