认识二元一次方程组(知识梳理与考点分类讲解)-八年级数学上册基础知识专项突破讲与练(北师大版)

专题5.1认识二元一次方程组（知识梳理与考点分类讲解）
【知识点1】二元一次方程
1.定义含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程.
2.二元一次方程的条件（1）整式方程；（2）只含有两个未知数；
3.关于x,y的两元一次方程的一般形式：ax+by=c（a≠0,b≠0）.
特别提醒：“所含未知数的项的次数都是1”不可理解为两个未知数的次数都是1,例如2xy+1=0不是二元一次方程.
【知识点2】二元一次方程组
1.定义共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程,叫做二元一次方程组.
2.二元一次方程组应满足的条件：
（1）两个方程都是整式方程；
（2）共含有两个未知数；
（3）两个方程都是一次方程；
特别提醒：判断二元一次方程组时,误认为每个方程必须是二元一次方程.
【知识点3】二元一次方程的解
1.二元一次方程组的解适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解.
2.判断一对数值是不是二元一次方程的解的方法：
判断一对数值是不是二元一次方程的解，只需将这对数值分别代入方程的左右两边，看其是否相等.
特别提醒：二元一次方程只要给定其中的一个未知数的值，就可以相应地求出另一个未知数的值，因此二元一次方程有无数个解.
二元一次方程的整数解有时只有有限个.
【知识点4】二元一次方程组的解
1.二元一次方程组的解二元一次方程组中各个方程的公共解,叫做这个二元一次方程
组的解.
2.判断一对数值是不是二元一次方程组的解的方法判断一对数值是否为一个二元一次
方程组的解，必须将这对数值分别带入方程组中的每一个方程进行检验，若满足没一个方程，则这对数值就是这个方程组的解，否则就不是这个方程组的解.
特别提醒：方程组的解一定是方程组中每个方程的解，而方程组中某个方程的解不一定是方程组的解.
【考点目录】
【考点1】二元一次方程的认识；【考点2】二元一次方程组的认识【考点3】二元一次方程的解；【考点4】二元一次方程组的解
【答案】0
【分析】根据二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程，进行求解即可
解：∵方程()()3
3420m n m x
n y --+--=是关于x y ，的二元一次方程，
∴40312031
m m n n +≠⎧⎪-=⎪⎨-≠⎪⎪-=⎩，
∴44m n ==，，∴m n -440
=-=【点拨】本题考查二元一次方程的定义，掌握二元一次方程组的定义是解题关键．二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．
【举一反三】
【变式1】（2023上·河北张家口·八年级统考期中）下列是二元一次方程的是（
）
A ．215x -=
B ．21
x y +=C ．23
x y +=D ．1
2y x
+
=【答案】C
【分析】本题考查了二元一次方程的定义，二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程，②方
程中共含有两个未知数，③所有未知项的次数都是一次，不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．
解：A ．215x -=，是一元一次方程，故本选项不符合题意；
B ．21x y +=，是二元二次方程，故本选项不符合题意；
C ．23x y +=，是二元一次方程，故本选项符合题意；
D ．1
2y x
+
=，是分式方程，故本选项不符合题意．故选：C ．
【变式2】（2022下·湖北荆州·七年级校考期中）若方程：223m x +＋514n y -＝6是关于x 、y 的二元一次
方程，则n m -的平方根为
．
【答案】2
±【分析】根据二元一次方程的定义，得各个未知数的次数为1，求得m ，n 的值，进而求解．解：由题意，得：
231m +=，5141n -=，
解得1m =-，3n =．∴()314n m -=--=，∴n m -的平方根
2=±．故答案为：2±．
【点拨】本题考查二元一次方程的定义，平方根，熟练掌握只含有两个未知数，且未知项的次数为1的整式方程是二元一次方程是解题的关键．
【考点二】二元一次方程组的认识
【例2】（2017下·四川宜宾·七年级校联考阶段练习）已知方程组()()22
33112m x m y
m x --⎧--=⎪⎨
+=-⎪⎩
是二元一次方程组，求m 的值．
【答案】m =5
解：依题意，得：|m -2|-2=1，且m -3≠0，且m +1≠0，
解得：m =5．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的定义．二元一次方程组也满足三个条件：①方程组中的两个方程都是整式方程，②方程组中共含有两个未知数，③每个方程都是一次方程．
【举一反三】
【变式1】（2023下·河北廊坊·七年级统考期末）下列方程组中是二元一次方程组的是（）
A ．436231
x y y z -=⎧⎨
-=⎩B ．45342x y x =⎧⎨
-=⎩C ．46323
xy x y =⎧⎨
+=⎩D ．2
3325
y x
y x ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩【答案】B
【分析】根据二元一次方程组定义判断即可.
解： A.此方程组含有,,x y z 三个未知数，故不是二元一次方程组，故此选项不符合题意；
B ．该方程组是二元一次方程组，故此选项符合题意；
C ．46xy =是二元二次方程，故不是二元一次方程组，故此选项不符合题意；
D ．2
33y x
+=是分式方程，故不是二元一次方程组，故此选项不符合题意；
故选：B ．
【点拨】本题主要考查了二元一次方程的定义．一定要紧扣二元一次方程组的定义回答．
【变式2】
（2023下·江苏徐州·七年级统考期末）观察所给的4个方程组：①23x y =⎧⎨=⎩；②415
343x y x =⎧⎨-=-⎩；③216
4
x y x y +=⎧⎨-=⎩；④352494x y x y +=⎧⎨+=⎩，其中，符合二元一次方程组定义的是
（写出所有正确的序号）．
【答案】①②④
【分析】含有两个未知数，且未知数的最高次数是1，这样的整式方程组是二元一次方程组，根据定义逐一判断即可．
解：①2
3x y =⎧⎨=⎩
，符合二元一次方程组定义；
②415343x y x =⎧⎨-=-⎩
，符合二元一次方程组定义；
③2164x y x y +=⎧⎨-=⎩
，未知数x 的最高次数是2，不符合二元一次方程组定义；
④352494x y x y +=⎧⎨+=⎩
，符合二元一次方程组定义；
所以符合二元一次方程组定义的是①②④．故答案为：①②④．
【点拨】本题考查的是二元一次方程组的定义，熟记定义是解本题的关键．
【考点三】二元一次方程的解
【例3】
（2023上·河北张家口·八年级统考期中）已知24x y =⎧⎨=⎩
是关于x ，y 的二元一次方程314x ay +=
的一组解．
（1）求a 的值
（2）请用含有x 的代数式表示y ．
【答案】（1）2a =；（2）3
72
y x
=-【分析】（1）将二元一次方程的解2
4x y =⎧⎨=⎩
代入314x ay +=得到关于a 的方程，解关于a 的方程即可；
（2）将2a =代入314x ay +=得到3214x y +=，将x 看作已知数，y 看作未知数，解关于y 的方程即可．（1）解：将2
4x y =⎧⎨=⎩
代入314x ay +=，得：
32414a ⨯+=，
解得2a =；
（2）解：∵2a =，
∴原方程可变为3214x y +=，∴372
y x =-．
【举一反三】
【变式1】（2023上·陕西西安·八年级高新一中校考期中）若关于x 、y 的二元一次方程221
x y a +=-的一组解为3x =，1y =，则a 的值是（
）A ．3B ．2
C ．1
D ．1
-【答案】A
【分析】本题考查了二元一次方程的解，解题的关键是掌握二元一次方程的定义．把3x =，1y =代入到221x y a +=-中即可求解．
解：把3x =，1y =代入到221x y a +=-中得：
21321a -=+⨯，216a -=，
3a =，
故选：A ．
【变式2】（2023上·全国·八年级专题练习）小方解方程组232ax by cx y +=⎧⎨
-=-⎩时，因抄错了a ，解得1
1x y =⎧⎨=⎩
，
则c 的值为
．
【答案】1
【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，将解代入第二个方程即可解答．
解：把1
1x y =⎧⎨=⎩
代入32cx y -=-得：32c -=-，
解得：1c =．故答案为：1．
【考点四】二元一次方程组的解
【例4】
（2023上·全国·八年级专题练习）甲和乙两人同解方程组125bx y x ay +=⎧⎨+=⎩，甲因抄错了a ，解得5
2
x y =⎧⎨=⎩，
乙因抄错了b ，解得3
2
x y =⎧⎨=⎩，求52a b -的值．
【答案】1
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，将甲、乙求得的解分别代入正确的方程，求出a ，b 的值即可求解，用代入法解方程是解本题关键．
解：由题意5
2x y =⎧⎨=⎩
，是12bx y +=的解，
∴5212b +=，解得2b =，
又 3
2x y =⎧⎨=⎩
是5x ay +=的解，
∴325a +=，解得1a =，5251221a b ∴-=⨯-⨯=．
【举一反三】
【变式1】（2023上·广东深圳·八年级校联考期中）若关于x ，y 的二元一次方程组21
38x ay bx y -=-⎧⎨
+=⎩
的解
是15x y =⎧⎨=⎩，则关于m 、n 的二元一次方程组()()()()21
38m n a m n b m n m n ⎧+--=-⎪⎨++-=⎪⎩
的解是（
）
A ．1
5
m n =⎧⎨
=⎩B ．5
1m n =⎧⎨
=⎩C ．23m n =-⎧⎨
=⎩D ．32
m n =⎧⎨
=-⎩【答案】D
【分析】本题考查了二元一次方程组的解及解二元一次方程组，先将1
5x y =⎧⎨=⎩代入2138x ay bx y -=-⎧⎨+=⎩解得
357a b ⎧=⎪⎨
⎪=-⎩，再将357
a b ⎧=
⎪⎨⎪=-⎩代入()()()()2138m n a m n b m n m n ⎧+--=-⎪⎨++-=⎪⎩即可求解，熟练掌握二元一次方程组的解及利用加减消元法解二元一次方程组是解题的关键．
解：将15x y =⎧⎨=⎩
代入2138x ay bx y -=-⎧⎨+=⎩得：251
158a b -=-⎧⎨+=⎩，
解得：357
a b ⎧=
⎪⎨⎪=-⎩，()()()()3215738m n m n m n m n ⎧+--=-⎪∴⎨⎪-++-=⎩
，解得：3
2m n =⎧⎨=-⎩
，
故选D ．
【变式2】（2023下·七年级单元测试）写出一个解为2
5
x y =⎧⎨=-⎩的二元一次方程组：
．
【答案】3
7x y x y +=-⎧⎨-=⎩
（答案不唯一）
【分析】方程组的解，指的是该数值满足方程组中的每一方程．在求解时，应先围绕2
5
x y =⎧⎨=-⎩列一组算
式，如253-=-，257+=，然后用x ，y 代换，可得方程组．
解：先围绕2
5
x y =⎧⎨=-⎩列一组算式，
如：253-=-，257+=，然后用x ，y 代换，
可得37
x y x y +=-⎧⎨-=⎩等．答案不唯一，符合题意即可．
故答案为：3
7x y x y +=-⎧⎨-=⎩
（答案不唯一）．
【点拨】本题考查二元一次方程组的解，此题是开放性题目，答案不唯一．掌握二元一次方程组解的意义是解题的关键．。