等比数列求和基础练习题

等比数列求和基础练习题
考纲要求：
掌握等差、等比数列的求和公式及其应用；掌握常见的数列求和方法.
教材复习
1.基本公式法：?1?等差数列求和公式：Sn?a1?an?n? 2?nan?n?1?
1?2d ?q?1
?2?等比数列求和公式：S?
na1,nn??a
?
1?1?q?a1?an?
1?q?q
1?q,q?1?3?12?22??n2?1
6n?n?1??2n?1?；?4?13?23?33?
?n3
?1
24??n?n?15?C0?C1nn
?C2n??Cn
n?2n.
2.错位相消法：给Sn?a1?a2??an各边同乘以一个适当的数或式，然后把所得的等
式和原等式相减，对应项相互抵消，最后得出前n项和Sn.
一般适应于数列?anbn?的前n向求和，其中?an?成等差数列，?bn?成等比数列。

3.分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列，然后利用公式法求和。

4.拆项求和：把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程中消去中间项，
只剩下有限项再求和. 常见的拆项公式有：
?1?若?a11?11?
n?是公差为d的等差数列，则a； nan?1d?anan?1? ?2?1
2n?12n?1?1?2?1?2n?1?1?2n?1??
；
?3?
1nn?1n?2?1?2?1nn?
1?1
?n?1n?2?；
??
?4?
?1a?b；
?5?
?1
k
；
?6?C
m?1n
?C
m?Cm
n?1n?1
n
；?7?n?nn?1?!?n!；?8?a?S1,
n??
?S n
?Sn?1,n≥25.倒序相加法：根据有些数列的特点，将其倒写后与原数列相加，以达到求和的目的。

；
6导数法：灵活利用求导法则有时也可以完成数列求和问题的解答..递推法.8.奇偶分析法.
典例分析：
考点一利用公式、等差等比数列的性质求和
问题1．?1?等比数列1,2,22,23，…，求a5?a6?a7?a8?a9?a10的值；
?2?等差数列?an?的前n项和为18，前2n项和为28，
求前3n项和.
考点二倒序相加法求和
问题2．求下列数列前n项和：?1? sin21??sin22??sin23??…?sin289?；
12?5Cn??2?Cn0?3Cn
n
； ??2n?1?Cn
问题
x2
3．设f?，求：?1?f?f?f?f?f?f；
1?x
?2?
f?ff?f. )?f?ff2?的前n项和Sn.
考点四错位相减法求和
*
问题5．“数列?an?的前n项和为Sn，a1?1，an?1?2Sn．求数列?an?的通项an；求数列?nan?的前n项和Tn．
考点五裂项相消法求和
问题6．求和：
1111
1?22?33?4n
问题7．已知二次函数y?
f的图像经过坐标原点，其导函数为
f??6x?2，数列{an}的前n项和为Sn，点均在函数y?f 的图
像上.求数列{an}的通项公式；设bn?求使得Tn?
3
，Tn是数列{bn}的前n项和，anan?1
m?
对所有n?N都成立的最小正整数m；0
课后作业：
1.设f?2?24?27?210??23n?10，则f等于
2n2n?12n?32n?A.B. C. D.
7777
2.明朝程大拉作数学诗：“远望巍巍塔七层，红光点点加倍增，共灯三百八十一，请问尖
头盏灯”.
3. ?1002?992982?972??…??22?12??
4.在数列?an?中，an?
12n2??…?，又bn?，则数列?bn?的前n项n?1n?1n?1an?an?1
和为
5.1?
111的结果为1?21?2?31?2?3n
走向高考：
3.等比数列及其求和
一、典型例题：
1. 若x,2x?2,3x?3成等比数列，则x的值为__________ . ?4
在2与6之间插入n个数，使它们组成等比数列，则这个数列的公比为________ .. 如果一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列
为常数数列为非零的常数数列存在且唯一不存在. 设等比数列?an?的前n项和为Sn，前n项的倒数之和为Tn，则
a1an
SnTn
n?1
3
的值为.
a1an
n
n
4. 在等比数列{an}中，a7?a11?6,a4?a14?5,则
23
32
?.
32
23
2323
32
A． B． C．或 D．－或－
12
5. 等比数列?an?的首项a1??1，前n项和为Sn，若 S10S5
?
3132
,Sn?_________ . ?
)
n
6. 已知数列?an?是公比q?1的等比数列，给出下列六个数列：?kan?； ?a2n?1?； ?an?1?an?； ?an?1an?； ?na n?； ?an?. 其中仍是等比数列的个数为
3
463.
若2,a,b,c,dlog
9
a?bc?d
22
22
=. ?1
8. 设?an?是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和，若｛Sn｝是等差数列，则q= _____.1. 在正项数列?an?中，a?aa?
21
22
2n
4?13
n
，则a1?a2an?___________ .2n?1
nn
10. 已知数列?an?的通项公式为an?3?2?2n?1，求数列?an?的前n项和为Sn .
Sn?
3
n?1
2
?2
n?1
?n?
2
72
11. 已知定义在R上的函数f?0和数列?an?满足：a1?3,a2?5,an?f，
且f?f?2
令bn?an?1?an，证明数列{bn}是等比数列；求数列{an}的通项公式 .
解?b1?a2?a1?2?0,得b2?a3?a2?f?f?2?4?0 由此推知：bn?an?1?an?0,…2分
当n?2时,
bnbn?1
?
an?1?anan?an?1
?
f?fan?an?1
?
2an?an?1
?2…4分
?{bn}是一个首项为2公比为2的等比数
列………………………6分
由知：bn?b12
n?1
?2
n?1
?2………7分
n
当n?N?，且n?2时，b1?b2bn?1?
2
1?2
?2?2…9分
n
而b1?b2bn?1an?an?1
?an?a1?b1?b2bn?1?
2
1?2
n
?2?2?an?2?1……11分
nn
对n=1时a1?3也成立，?an?2?1………………12分 3tSn?Sn?1?3t，12. 设数列?an?的首项a1=1，前n 项和Sn满足关系式：其中t?0为
已知常数.
求证：数列{an}是等比数列；
设?an?的公比为f，作数列?bn?，使b1?1，bn?f，求?bn?的通项bn ；
3?2ta23?2t
,?又3tSn－Sn－1=3t ①ta13t
anan?1
?2t?33t
，
3tSn－1－Sn－2=3t②①－②得
3tan－an－1=0 ∴
所以{an}是一个首项为1，公比为
2t?33t
的等比数列.
由f=
2t?33t
?
23
?
1t
，得bn=f?
23
+bn－1. ∴bn=1+
23
=
2n?13
由bn=
2n?13
，可知{b2n－1}和{b2n}是首项分别为1和
53
，公差均为
43
的等差数列于是
b1b2－b2b3+b3b4－b4b5+…+b2n－1b2n－b2nb2n+1 =b2+b4+b6+…+b2n =－
43
=－
4132
n=－
49
二、练习题：
1. 已知正项数列?an?为等比数列，且a2a4?2a3a5?a4a6?25，则a3?a5?_______ .
2. 等差数列?an?
的公差d?0，且a1,a5,a17成等比数列，则
a1?a5?a17a2?a6?a18
=.
2629
3. 设等比数列?an?的前n项和为Sn，若S3＋S6＝2S9，则数列的公比q?_________.
?
3.解：若q=1，则有S3=3a1，S6=6a1，S9=9a1. 因a1≠0，得S3+S6≠2S9，显然q=1与题设矛盾，故q≠1.
由S3+S6=2S9，得
2
a11?q
3
?
a11?q
6
?
2a11?q
9
，整理得q3=0，由q≠0，得
2q6－q3－1=0，从而=0，因q3≠1，故q3=－
12
3
，所以q=－
42
.
4. 等比数列的前n项的乘积记为Mn，若M10?20,M20?10，则M30?_______ .. 设An为数列?an?的前n项和，An=
18
32
，且bn?4n?3.
求数列｛an｝的通项公式；若d∈｛a1，a2，a3，…，an，…｝∩｛b1，b2，b3，…，bn，…｝，则称d为数列｛an｝与｛bn｝
的公共项，将数列｛an｝｛bn｝的公共项，按它们在原数列中的先后顺序排成一个新的数列
2n?1
｛dn｝，求证：数列?dn?的通项公式为：dn?.
5.解：由已知An=
32
，当n=1时，a1=
32
，解得a1=3，
当n≥2时，an=An－An－1=
32
，由此解得an=3an－1，即
anan?1
=3. 故an=3n；
证明：由计算可知a1，a2不是数列｛bn｝中的项，因为a3=27=4×6＋3，所以d1=27是数列｛bn｝中的第6项设ak=3k是数列｛bn｝中的第n项，则3k=4m+3，
因为ak+1=3k+1=3·3k=3=4+1，所以ak+1不是数列｛bn｝中的项. 而ak+2=3k+2=9·3k=9=4+3，所以ak+2是数列｛bn｝中的项由以上讨论可知d1=a3，d2=a5，d3=a7，…，dn=a2n+1所以数列｛dn｝的通项公式是dn=a2n+1=32n+1 练习题答案：
1..629
3. ?
2
4.
18
5. an?3n
等比数列性质与求和
1、已知数列?1,a1,a2,?4成等差数列, ?1,b1,b2,b3?4成等比数列，则
a2?a1
的值为 b2
A、
11111B、— C、或— D、2224
，
2、等比数列{an}中a1?1，公比q?1，若am?a1a2a3a4a5，则m=
A、B、10 C、11 D、12
3、已知{an}是等比数列，且an?0，a2a4?2a3a5?a4a6?25，那么a3?a5? A． 10B． 1C． D．6
4、设{an}是正数组成的等比数列，公比q?2，且a1a2a3?a30?2，那么a3a6a9?a30? A．10
B．20
2
30
C．1D．215
5、等比数列{an}中，an?0,a1,a99为方程x?10x?16?0的两根，则a20?a50?a80的值为C.25 D.?64A.32B.64
6、等比数列?an?的各项均为正数，且a5a6?a4a7＝18，则log3a1?log3a2log3a10＝
A．1B．10C． D．2＋log35、Sn是公差不为0的等差?an?的前n项和，且S1,S2,S4成等比数列，则
A. B.C.8D.10
8、等比数列{an}的首项为1，公比为q，前n项的和为S，由原数列各项的倒数组成一个新数列{的前n项的和是 a2?a3
等于 a1
11}，由{anan
1
A．
5
1Sqn
B． n C．n?1 D．
qSqS
9、公差不为零的等差数列?an?的前n项和为Sn，若a4是a3与a7的等比中项，S10?60,则S8等于 A、B、3C、3D、40
10、已知等比数列{an }的公比为2，前4项的和是1，则前8项的和为 A ．1 B．1C．19D ．21
11、设等比数列{an}的前n项和为sn。

若a1?1,s6?4s3，则a4= 12、设等比数列{an}的前n项和为Sn，8a2?a5?0，则
S5
= S2
13、设等比数列{an}的前n项和为Sn，若
S6S
?3，则9? S3S6
14、等比数列{an}的公比q?0, 已知a2=1，an?2?an?1?6an，则{an}的前4项和S4= 15、等比数列?an?的前n项和Sn=a?2?a?2，则an=_______.
n
16、记等比数列?an?的前n项和为Sn，已知S4=1，S8=17，求?an?的通项公式。

17、在等比数列?an?中，a1?1,公比q?0，设bn?log2an，且b1?b3?b5?6,b1b3b5?0. 求证：数列?bn?是等差数列；
求数列?bn?的前n项和Sn及数列?an?的通项公式；试比较an与Sn的大小.
18、设有数列{an}，a1?
52
，若以a1,a2,a3,?,an为系数的二次方程an?1x?anx?1?0都有根?,?，且满足6
33??1。

求证：数列{an?是等比数列。

求数列{an}的通项an 以及前n项和Sn。

12。