江苏省镇江市句容高级中学2020学年度高三数学第二次月考试卷 新课标 人教版

江苏省镇江市句容高级中学2020学年度高三数学第二次月考试卷
2020年9月10日 命题人:毛广宽
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题：共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的． 1．已知集合}2,1,0{=A ，},2{A x x y y B ∈==，则=⋂B A （ ）
A ．{}0
B ．{}1,0
C ．{
}2,1 D ． {}2,0 2．已知函数=-=+-=)()(11lg
)(a f b a f x
x
x f ，则，若 ( ) A ．b B ．b - C ．b 1 D ．b
1
-
3．不等式2≤x 成立的一个必要但不充分条件是 （ ）
A ．31≤+x
B ．21≤+x
C ．1)1(log 2≤+x
D ．
2
1
1≥x 4．等差数列{}n a 中，12031581=++a a a ，则=-1092a a （ ） A ．20 B ．22 C ．24 D ．8- 5．给出下列关于互不相同的直线m 、l 、n 和平面α、β的四个命题： ①若不共面与则点m l m A A l m ,,,∉=⋂⊂αα；
②若m 、l 是异面直线，ααα⊥⊥⊥n m n l n m l 则且,,,//,//； ③若m l m l //,//,//,//则βαβα；
④若.//,//,//,,,βαββαα则点m l A m l m l =⋂⊂⊂
其中为假命题的是 （ ）
A ．①
B ．②
C ．③
D ．④
6．把语文、数学、物理、历史、外语这五门课程安排在一天的五节课里，如果数学
必须比历史先上，则不同的排法有 （ ）
A ．120
B ．60
C ． 48
D ．24
7．已知数列}{n a 的通项公式为)(2
1
log 2
+∈++=N n n n a n ，设其前n 项和为S n ，则使5-<n S 成立的自然数n （ ） A ．有最小值63 B ．有最大值63
C ．有最小值31
D ．有最大值31
8．若函数0()(>=x a x f ，且)1≠a ，若0)2(1
<-f
，则函数)1(1
+-x f 的图像是（ ）
A B C D
9． 设数列{}n a 是公比为)1(≠a a ，首项为b 的等比数列，n S 是其前n 项和，对任
意的N n ∈，点),(1+n n S S 都 （ ） A .在直线b ax y -=上 B ．在直线a bx y +=上 C ．在直线a bx y -=上 D ．在直线b ax y +=上
10．编辑一个运算程序：1&1 = 2 , m & n = k , m & (n + 1) = k + 2，则 1 & 2020
的输出结果为 （ ）
A ．4006
B ．4008
C ．4010
D ．4012
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二．填空题：共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．
11．如图是一次数学考试成绩的样本频率分布
直方图（样本容量200=n ）. 若成绩不 低于60分为及格，则样本中的及格人数 是 ______ ______. 12．已知a 为实数，8
()x a +展开式中5
x 的系数为7-，则a =_____ ____．
13．若函数432
--=x x y 的定义域为],0[m ，值域为⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡--
4,425，则m 的取值范围是 ．
14．已知一个半径为21的球中，有一个各棱长都相等的内接正三棱柱，则此三棱
柱的体积是 ．
15．已知)(x f 为R 上的奇函数，且)1()(+-=x f x f ．如果2)3
1(=f ，那么
=-)3
8
(f ．
16．有4位同学参加某种形式的竞赛，竞赛规则是：每位同学必须从甲、乙两题中
任选一题作答，选甲题答对得21分，答错得－21分；选乙答对得7分，答错得－21分.如果4位同学的总分为0分，那么这四位同学不同得分情况的种数是 ．
三．解答题：共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本题12分）从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛。

（Ⅰ）求所选3人中恰有1名女生的概率； （Ⅱ）求所选3人中至少有1名女生的概率。

18．（本题14分）已知数列{}时，且当满足*∈≥=
N n n a a n 2,5
1
1， 有
n
n n n a a a a 211
211-+=--． （Ⅰ）求证：数列⎭
⎬⎫
⎩⎨
⎧n a 1为等差数列； （Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅲ）试问{}n a a a 是否为数列21⋅中的项？如果是，是第几项；如果不是，请
说明理由．
19．（本题14分）如图，正三棱柱中点是中，AC E C B A ABC 111-.
（Ⅰ）求证：平面111A ACC BEC 平面⊥； （Ⅱ）求证：11//BEC AB 平面； （Ⅲ）若的大小，求二面角C BC E AB A A --=112
2.
E
A
C
B 1
A 1
C 1B
20．（本题1６分）已知函数1)(2
3
++=ax x x f 的图象上一点),1(b B ，以),1(b B 为
切点的切线斜率为3-． （Ⅰ）求b a ,的值；
（Ⅱ）求A 的取值范围，使不等式1987)(-≤A x f 对于[]4,1-∈x 恒成立； （Ⅲ）令13)()(2
++--=tx x x f x g ，问：是否存在一个实数t ，使得当(]1,0∈x
时，)(x g 有最大值1？
21．（本题1４分）已知数列{}n x 满足：)(1
2
,111*+∈++=
=N n x x x x n n n ． （Ⅰ）记2-=n n x a ，n n a a a S +++=Λ21．试证明：
①n n a a <+1； ②2
2<
n S ； （Ⅱ）试研究已知递推关系式的结构特征，求出数列{}n x 的通项公式．
省 句 中 高二年级第二学期期末联考数学试卷
参 考 答 案
2020.9.10
一、 选择题（共10小题，计50分）
二、 填空题（共6小题，共计30分）
11．120 12． 21-
13．⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡323， 14．354 15．2- 16． 10
三、 解答题（共5小题，共计70分）
17． （Ⅰ）记“所选3人中恰有1名女生”为事件A ，则
P （A ）53
20623
6
2412=⨯=⋅=C C C …………………………………………5分 答：所选3人中恰有1名女生的概率为5
3
．…………………………………6分
（Ⅱ）记“所选3人中至少有1名女生”为事件B ，则
P （B ）54
204120623
6
1422362412=⨯=⨯=⋅+⋅=C C C C C C …………………………11分
答：所选3人中至少有1名女生的概率为5
4
．………………………………12分
18、解：（１）当时，由
2≥n n
n n n a a a a 211
211-+=--得 n n n n a a a a 114--=-，…4分
两边同除以1-n n a a 得
41
11
=--n n a a ， ∴数列⎭
⎬⎫⎩⎨⎧n a 1为等差数列．…………6分 (2)由(1)知 数列⎭
⎬⎫⎩⎨⎧n a 1的公差5141==a d ，首项
，∴141
+=n a n ． 从而，1
41
+=n a n ．………………………………………………………………10分
(3)由(2)得 45
1
514121=⨯=⋅a a ．……………………………………………11分
设{}项的第是数列t a a a n 21⋅，则*∈==+=N t t a t 1145
1
141，解得，…13分
{}项的第是数列1121n a a a ⋅∴．…………………………………………………………
14分
19．解：(Ⅰ)证明：∵111ABC A B C -是正三棱柱， ∴,1ABC AA 平面⊥∴1AA BE ⊥
∵△ABC 是正三角形，E 是AC 中点，∴AC,BE ⊥ ∴11BE ACC A ⊥平面, 又∵1BE BEC ⊂平面
∴平面111A ACC BEC 平面⊥
……………………………………………………………………………………………4分
(Ⅱ)证明：连111,.B C BC B C D ⋂=设
∵111C B A ABC -是正三棱柱， ∴B BCC 1是矩形，D 是1B C 的中点． 又 ∵E 是AC 的中点， ∴1AB ∥DE ．
∵1BEC DE 平面⊂，11BEC AB 平面⊄ ∴1AB ∥平面
1BEC ………………8分
(Ⅲ)解：作1CF EC ⊥于F ，1FG BC ⊥于G ，连CG ． ∵平面
111BEC ACC A ⊥平面，∴1BEC CF 平面⊥，即FG 是CG 在平面1BEC 上的射
影．
∴据三垂线定理得 1CG BC ⊥ ∴∠CGF 是二面角1E BC C --的平面角．…………10分
设a AB =，∵
122A A AB =，则12
2
A A a =．
在1ECC Rt ∆
中，11EC CC CF EC ⋅==，
在1BCC Rt ∆
中，11BC CC CG BC ⋅=
=．
在CFG Rt ∆
中，sin 2
CF CGF CG ∠=
=
，∴︒=∠45CGF ． ∴二面角1E BC C --的大小是45°．…………………………………………14分
20．解：（１）ax x x f 23)(2
/
+= 依题意得323)1(/
-=+=a f ，3-=∴a 故13)(23
+-=x x x f ，把),1(b B 代入得 1)1(-==f b ． (4)
分
（２）由063)(2
/
=-=x x x f 得 20==x x 或
而17)4(,3)1(,3)2(,1)0(=-=--==f f f f []4,1-∈∴x 时17)(3≤≤-x f ． (7)
分 要使1987)(-≤A x f 对于[]4,1-∈x 恒成立，须且只需1987)(max -≤A x f
2004≥∴A ．…………………………………………………………………………9分
（３）易知tx x x g +-=3
)(，t x x g +-=∴2
/
3)(
又10≤<x ，0332
<-≤-∴x ……………………………………………………10分 ①当0)(,033/2
>>->x g x t t 即时，，(]上为增函数，在1,0)(x g ∴
（舍去），得211)1()(max ==-==∴t t g x g (12)
分
②当t x x g t +-=≤≤2
/3)(30时，，由3
0)(/
t x x g =
=得 为增函数时，当)(,0)(3,0/x g x g t x >⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛∈∴；
当为减函数，时，)(0)(1,3
/
x g x g t x <⎥⎦⎤ ⎝⎛∈． 133)3()(3
max
=+⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-==∴t
t t t g x g ，得符合）(22342733
==t ……13分
③当03)(02
/
<+-=<t x x g t 时，，(]上为减函数，
在10)(x g ∴， (]上无最大值，在10)(x g ∴．………………………………………………………15分 综上：存在一个(]110)(2
2
33上有最大值，在，使得x g t =．…………………16分
21．（１）证明：① 1
)
2)(21(212211+--=-++=-=++n n n n n n x x x x x a Θ
211
2-+-=
n n x x ，
………………………………………２分 又显然0>n x ，故11
1
0<+<
n x ，而1120<-<， n n n n a x x a =-<--<∴+22)12(1．……………………………………４分
② 由①的证明过程知
1
1121)12(2)12(2)12(2)12(+-+-=--<<--<--<n n n n n x x x a Λ……………………………………………………………………………………６分
n n n a a a S )12()12()12(221-++-+-<+++=∴ΛΛ
[
][]
2
2
)12(
12
2)
12(1)12(1)12(<
--=-----=
n n
．………………８分 （3）解：1
)
2)(21(21221+--=
-++=
-+n n n n n x x x x x Θ 1
)
2)(21(21221+++=
+++=
++n n n n n x x x x x ，………………11分
2
2)322(22
21212
211+--=+-⋅+-=
+-∴
++n n
n n n n x x x x x x 所以，⎪⎭
⎪
⎬
⎫⎪⎩⎪⎨
⎧+-22n n x x 是公比为322-=q ，首项为3222211-=+-x x 的等比数列． n
n n x x )322(2
2-=+-∴
，从而得[
]n
n n x )322(1)322(12---+=
． (14)
分。