陕西省商洛市洛南中学2020-2021学年高二上学期期末数学(文)试题

陕西省商洛市洛南中学2020-2021学年高二上学期期末数学
（文）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．抛物线28y x =的准线方程是（ ）
A ．2x =
B ．2x =-
C ．2y =
D ．2y =- 2．命题:p “存在x ∈R ，sin 0x ≤”，则p ⌝为（ ）
A ．存在x ∈R ，sin 0x ≥
B ．任意x ∈R ，sin 0x ≥
C ．任意x ∈R ，sin 0x >
D ．存在x ∈R ，sin 0x >
3．正项等比数列{}n a 中，132435216a a a a a a ++=，则24a a +=（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8
4．若实数a b 、满足2a b +=，则33a b +的最小值是（ ）
A ．18
B ．
C ．
D ．6
5．若在ABC ∆，“A B >”是“sin sin A B >”的（ ）条件
A ．充分非必要
B ．必要非充分
C ．充要
D ．既非充分也非必要
6．在△ABC 中，1,,3AB AC BAC π
==∠=则ABC 的面积为（ ）
A ．4
B ．34
C ．2
D ．32
7．命题:p 函数3y x =是奇函数，命题:cos q y x =是周期为π的周期函数，则下列说法正确的是（ ）
A ．p 且q 为真
B ．非p 为真
C ．p 或q 为真
D ．非p 且非q 为
真
8．设()f x '是函数()f x 的导函数，()y f x '=的图象如图所示，则()y f x =的图象可能是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
9．已知在ABC 中，::3:2:4sinA sinB sinC =，那么cosC 的值为（ ） A ．14- B ．14 C ．23- D ．23
10．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若24S =，412S =，则6S 等于（ ） A ．36
B ．40
C ．48
D ．24 11．曲线y=
13x 3+x 在点（1，43）处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ ） A ．19 B ．13
C ．29
D ．23 12．过双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右焦点F 作圆222x y a +=的切线FM （切点为M ）
，交y 轴于点P .若M 为线段FP 的中点，则双曲线的离心率是（ ） A ．2
B
C
D
二、填空题
13．数列{}n a 的前n 项和n S ，且22n n S =+，则4a =________． 14．若变量x ，y 满足约束条件x y 1y x 1x 1+≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩
，，，则z=2x-y 的最小值为______．
15．在200m 高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30°,60°，则塔高 为
16．设点P 是抛物线24y x =上的一个动点，F 为抛物线的焦点，
若点B 的坐标为()4,2，则PB PF +的最小值为________．
三、解答题
17．已数等差数列{}n a 满足48a =，35222a a +=．
（1）求通项公式n a ；
（2）设{}n b 是等比数列，且11b a =，84b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
18．已知函数()32
2f x x mx nx m =+++在1x =-处取得极值1-． （1）求m 、n 的值；
（2）求()y f x =在()()
1,1f 处的切线方程．
19．在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知sin sin B C =，2b =．
（1）求cos A 的值；
（2）已知ABC S ∆=a 的值．
20．（1）解关于x 的不等式：2601
x x x --≥-； （2）已知()2691
x x f x x ++=+，其中1x >-，求()f x 的最小值．
21，且与双曲线224x y -=有相同焦点． （1）求椭圆标准方程；
（2）过点()1,0M 的直线l 与椭圆交于A 、B 两点，原点O 在以AB 为直径的圆上，求直线l 的方程．
22．已知函数()2ln f x a x x x
=++． （1）若曲线()y f x =在点()()
1,1P f 处的切线与直线22y x =-+平行，求a 的值，并求函数()y f x =的单调区间；
（2）当2a =时，若对任意()0,x ∈+∞，都有()2f x c x ≥+恒成立，试求实数c 的取值范围．
参考答案
1．B
【分析】
根据抛物线的标准方程可得出其准线方程.
【详解】
由题意可得，抛物线2
8y x =的准线方程为2x =-.
故选：B.
【点睛】
本题考查利用抛物线的标准方程求准线方程，考查计算能力，属于基础题.
2．C
【分析】
利用特称命题的否定：改变量词，否定结论，可得出结果.
【详解】
命题p 为特称命题，其否定p ⌝为“任意x ∈R ，sin 0x >”.
故选：C.
【点睛】
本题考查特称命题否定的改写，属于基础题.
3．B
【分析】
将题干中的等式变形为()22416a a +=，结合已知条件可求得24a a +的值.
【详解】
由于数列{}n a 是正项等比数列，则240a a +>，
由等比中项的性质可得()2221324352244242216a a a a a a a a a a a a ++=++=+=， 因此，244a a +=.
故选：B.
【点睛】
本题考查等比中项性质的应用，考查计算能力，属于基础题.
4．D
直接利用基本不等式求解即可.
【详解】
∵实数a b 、满足2a b +=，
∴336a b +≥==，
当且仅当33a b =即1a b ==时取等号，
∴33a b +的最小值为6
故选：D
【点睛】
本题主要考查基本不等式求最值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.
5．C
【分析】
设:p “A B >”，:q “sin sin A B >”，判断命题“若p 则q ”及其逆命题的真假后可得两者之间的条件关系.
【详解】
设:p “A B >”，:q “sin sin A B >”，,,A B C 所对的边为,,a b c .
当A B >时，a b >，故2sin 2sin R A R B >，所以sin sin A B >即“若p 则q ”为真命题. 当sin sin A B >时，故2sin 2sin R A R B >，所以a b >，故A B >，
所以“若q 则p ”为真命题.
故“A B >”是“sin sin A B >”的充分必要条件.
故选：C.
【点睛】
充分性与必要性的判断，可以依据命题的真假来判断，若“若p 则q ”是真命题，“若q 则p ”是假命题，则p 是q 的充分不必要条件；若“若p 则q ”是真命题，“若q 则p ”是真命题，则p 是q 的充分必要条件；若“若p 则q ”是假命题，“若q 则p ”是真命题，则p 是q 的必要不充分条件；若“若p 则q ”是假命题，“若q 则p ”是假命题，则p 是q 的既不充分也不必要条件.
6．B
由三角形面积公式可得：113sin 1sin 2234
ABC S
AB AC BAC π=⨯⨯⨯∠=⨯= . 本题选择B 选项.
7．C
【分析】 先判断出命题p 、q 的真假，进而利用复合命题的真假可得出结论.
【详解】
对于命题p ，函数3
y x =是奇函数，该命题为真命题； 对于命题q ，函数cos y x =是周期为2π的周期函数，该命题为假命题.
因此，p 且q 为假，非p 为假，p 或q 为真，非p 且非q 为假.
故选：C.
【点睛】
本题考查复合命题真假的判断，解答的关键就是判断出各简单命题的真假，考查推理能力，属于基础题.
8．B
【分析】
根据导函数图像的正负得到函数在各个区间的单调性，结合图像判断正确选项.
【详解】
由导函数图像可知函数()f x 在(,1)-∞-单调递减，在(1,1)-单调递增，在(1,+)∞单调递增，结合A ，B ，C ，D ，只有选项B 中的图像满足条件.
故选：B
【点睛】
本题考查了导数在函数单调性中的应用，考查了学生数形结合的能力，属于基础题. 9．A
【详解】
::sin :sin :sin 3:2:4a b c A B C == ，不妨设3,2,4a k b k c k ===，,
则()()()2223241cos 2324
k k k C k k +-==-⨯⨯ ，选A.
【分析】
利用等差数列片断和的性质可知2S 、42S S -、64S S -成等差数列，进而可求得6S 的值.
【详解】
由等差数列片断和的性质可知2S 、42S S -、64S S -成等差数列，则
()()422642-=+-S S S S S ，
因此，642333123424S S S =-=⨯-⨯=.
故选：D.
【点睛】
本题考查利用等差数列片断和的性质求值，考查计算能力，属于基础题.
11．A
【解析】
试题分析：∵y=
13
x 3+x 211|2x y x y =∴=+∴'='，所以在点（1，43）处的切线方程为42(1)63203y x x y -=-∴--=，令x=0，则y=23-，令y=0，则x=13
，所以三角形面积为11212339⨯⨯= 考点：本题考查导数的几何意义
点评：由导数的几何意义可以求得切线的斜率，再利用点斜式直线方程求出切线方程，分别求出横纵截距，就可以求得面积
12．B
【解析】
【分析】
在FPO ∆中，M 为线段FP 的中点，又OM FP ⊥，得到等腰三角形，利用边的关系得到离心率.
【详解】
在FPO ∆中，M 为线段FP 的中点，又OM FP ⊥，则FPO ∆为等腰直角三角形.
c e =⇒=
故答案选B
本题考查了双曲线的离心率，属于常考题型.
13．8
【分析】
由443a S S =-可求得结果.
【详解】
由题意可得()()
4344322228a S S =-=+-+=.
故答案为：8.
【点睛】
本题考查利用前n 项和求数列中的项，考查计算能力，属于基础题.
14．1-
【分析】
【详解】
试题分析：根据题中所给的约束条件，画出相应的可行域，是以(0,1),(1,0),(1,2)A B C 为顶点的三角形区域，可知当直线2y x z =-过点(0,1)A 时取得最小值，代入求得最小值为1-.
考点：线性规划.
15．
【详解】 试题分析：根据题意，设塔高为x ，则可知00tan 60=,t 2an 30=00200a a
x -，a 表示的为塔与山之间的距离，可以解得塔高为
． 考点：解三角形的运用 点评：主要是考查了解三角形中的余弦定理和正弦定理的运用，属于中档题． 16．5
【分析】
设点P 在准线上的射影为D ，则根据抛物线的定义可知PF PD =，进而把问题转化为求PB PD +的最小值，进而可推断出当D 、P 、B 三点共线时PB PD +最小，则答案可得.
【详解】
设点P 在准线上的射影为D ，则根据抛物线的定义可知PF PD =，
所以，要求PB PF +取得最小值，即求PB PD +取得最小，
当D 、P 、B 三点共线时PB PD +最小为()415--=．
故答案为：5．
【点睛】
本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，判断当D 、P 、B 三点共线时
PB PD +最小是解题的关键，考查数形结合思想的应用，属于中等题.
17．（1）2n a n =；（2）1
22n n T +=-.
【分析】
（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，根据已知条件得出关于1a 和d 的方程组，解出这两个量，利用等差数列的通项公式可求得n a ；
（2）设等比数列{}n b 的公比为q ，根据题意计算出q 的值，再利用等比数列的求和公式可计算出n T . 【详解】
（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，
由48a =，35222a a +=得()11
13822422a d a d a d +=⎧⎨+++=⎩，解得12
2a d =⎧⎨
=⎩. ()2212n a n n ∴=+⨯-=；
（2）设等比数列{}n b 的公比为q ，且11b a =，84b a =，12b ∴=，416b =，
则3
4
1
8b q b ==，解得2q ，因此，()()12122212212
n n n n
T +-=
=-=--.
【点睛】
本题考查等差数列通项的求解，同时也考查了等比数列求和，考查计算能力，属于基础题. 18．（1）3
9m n =⎧⎨=⎩
；（2）245y x =-. 【分析】
（1）由题意得出()10f '-=，()11f -=-，可得出关于m 、n 的方程组，解出即可； （2）计算出()1f 和()1f '的值，利用点斜式可得出所求切线的方程. 【详解】 （1）
()322f x x mx nx m =+++，则()234f x x mx n '=++，
由题知()10f '-=，()11f -=-，()()()2
3
31410121
m n m n m ⎧⨯-+⨯-+=⎪
∴⎨-+-+=-⎪⎩，即34030m n m n -+=⎧⎨-=⎩， 解得3
9
m n =⎧⎨
=⎩.
检验：当3m =，9n =时，()()()2
3129313f x x x x x '=++=++，
当3x <-或1x >-时，()0f x '>，当31x -<<-时，()0f x '<. 所以，1x =-是函数()y f x =的极小值点，合乎题意. 综上所述，3m =，9n =；
（2）由（1）知()32693f x x x x =+++，()2
3129f x x x '=++，则()119f =，()124f '=，
因此，所求切线方程为()19241y x -=-，即245y x =-. 【点睛】
本题考查利用函数的极值求参数，同时也考查了利用导数求函数图象的切线方程，考查运算求解能力，属于基础题. 19．（1）1
cos 3
A =；（2
）a =【分析】
（1）
由正弦定理边角互化思想结合已知条件得出b c ==，利用余弦定理可求得cos A 的值；
（2）求得sin A 的值，利用三角形的面积公式可求得a 的值. 【详解】 （1）
sin sin B C =
，且2b =
，所以，2
b c a ==
，
由余弦定理得2
2
22222
2112cos 3232a a b c a A bc a ⎫⎫+-⎪⎪+-====；
（2）由（1
）知sin 3A ===
ABC ∆
的面积为22
113sin 224ABC S bc A a ∆==⨯==
a =【点睛】
本题考查利用余弦定理和三角形的面积公式解三角形，考查计算能力，属于基础题. 20．（1）[)[)2,13,-+∞；
（2）8. 【分析】
（1）将所求不等式变形为()()()132010
x x x x ⎧--+≥⎨-≠⎩，利用高次不等式的解法可得出原不
等式的解集；
（2）将函数()y f x =的解析式变形为()()4
141
f x x x =++++，利用基本不等式可求得函数()y f x =在()1,-+∞上的最小值. 【详解】
（1）原不等式可化为()()2
160x x x -⋅--≥且10x -≠，即()()()1320
10x x x x ⎧--+≥⎨-≠⎩
，
解之得213
1
x x x -≤≤≥⎧⎨
≠⎩或.
综上，原不等式的解集为[)[)2,13,-+∞；
（2）
1x >-，则10x +>，
由基本不等式得()()()()
2
2
2
123694141111x x x x f x x x x x x ++⎡⎤+++⎣⎦====+++++++
84≥=（当且仅当411x x +=+时，即当1x =时取得等号） 因此，函数()()269
11
x x f x x x ++=>-+的最小值为8.
【点睛】
本题考查分式不等式的求解，同时也考查了利用基本不等式求函数的最值，涉及高次不等式的解法，考查运算求解能力，属于基础题.
21．（1）2
219
x y +=；
（2）330x y --=或330x y +-=. 【分析】
（1）设所求椭圆的标准方程为()22
2210x y a b a b +=>>，焦距为()20c c >，求出双曲线
224x y -=的焦点坐标，根据题意求出a 、b 、c 的值，即可得出椭圆的标准方程；
（2）设直线l 的方程为1x my =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线l 的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，由题意得出OA OB ⊥，可得出0OA OB ⋅=，利用平面向量数量积的坐标运算结合韦达定理求出m 的值，即可求得直线l 的方程. 【详解】
（1）设所求椭圆的标准方程为()22
2210x y a b a b +=>>，焦距为()20c c >，
双曲线的标准方程为22
144
x y -=，∴其焦点为(±，则椭圆中c =
又
椭圆的离心率为
3
c a =
，3a ∴=，2221b a c =-=， 因此，椭圆标准方程为2
219
x y +=；
（2）若直线l 的斜率为零，则直线l 与x 轴重合，此时点()30A -,
、()3,0B ， 此时，以AB 为直径的圆的圆心为坐标原点O ，不合乎题意； 设直线l 的方程为1x my =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，
联立22
199
x my x y =+⎧⎨+=⎩，消去x 并整理得()22
9280m y my ++-=， ()()22243293680m m m ∆=++=+>，
由韦达定理得12229m y y m +=-
+，12
28
9
y y m =-+， 由题意知OA OB ⊥，即()()1112
222111OA OB x x y m y y y y y m ⋅++==++
()()()22222
1212228129
191109
9
m m m m m y y m y y m m -+-++-=++++=
==++，解得13
m =±，
所以，直线l 的方程为113x y =+或1
13
x y =-+，即330x y --=或330x y +-=. 【点睛】
本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了利用直线与椭圆相交求解直线方程，考查韦达定理设而不求法的应用，考查运算求解能力，属于中等题.
22．（1）1a =-，函数()y f x =的递增区间为()2,+∞，递减区间为()0,2；（2）(],1-∞. 【分析】
（1）由()12f '=-可求得a 的值，然后利用导数可求得函数()y f x =的单调递增区间和减区间；
（2）由题意得出1ln c x x
≤
+对任意的()0,x ∈+∞恒成立，构造函数()1
ln g x x x =+，利
用导数求出函数()y g x =的最小值，进而可求得实数c 的取值范围. 【详解】 （1）
()2ln f x a x x x =++，定义域为()0,∞+，()222
22
1a x ax f x x x x
+-'=-++=， 由题知()112f a '=-=-，解得1a =-，()2
2
2
x x f x x --'∴=
则()0f x '=，得12x =或21x =-（舍），
令()0f x '>，即220x x -->且0x >，得2x >； 令()0f x '<，即220x x --<且0x >，得02x <<.
所以，函数()y f x =的递增区间为()2,+∞，递减区间为()0,2； （2）当2a =时，()2f x c x ≥+对()0,x ∈+∞恒成立， 即
2
2ln 2x c x +≥，即1ln c x x
≤+对()0,x ∈+∞恒成立，
令1
()ln g x x x
=
+，则()min c g x ≤，()0,x ∈+∞， ()22111
x g x x x x
-'=-
+=，令()0g x '=，得1x =. 令()0g x '>，得1x >；令()0g x '<，得01x <<.
所以，函数()y g x =的单调递减区间为()0,1，单调递增区间为()1,+∞.
所以，函数()y g x =在1x =处取得极小值，亦即最小值，即()()min 11g x g ==，1c ∴≤. 因此，实数c 的取值范围是(],1-∞. 【点睛】
本题考查利用导数求函数的单调区间，以及利用导数求解函数不等式恒成立问题，考查运算求解能力，属于中等题.。