湖南省六校联盟2017届高三数学上学期12月联考试题 文

六校联盟高三年级联考试卷
文科数学试题
时量：120分钟 分值：150分 第Ⅰ卷(选择题，共60分)
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知复数Z 满足1Z i i ⋅=+，则Z 的共轭复数Z 的虚部是 （ ） A ．1 B ．i - C ． i D ．1- 2．已知集合{}
lg(1)A x y x ==-，{}
220B x x x =-<，则A
B =( )
A ．{}
1x x > B. {}0x x > C. {}02x x << D. {}
12x x << 3．已知向量()()1,2,,2a b x ==-，若a b +与a b -平行，则实数x 的值是（ ） A ．4 B ．1 C ．1- D ．4-
4．设,a b R ∈，则“2
0a
a b
<-”是“a b <”的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 5．函数()1x
f x xe x =--的零点的个数为（ ） A ．0 B. 1 C ． 2 D ． 3
6．已知等比数列{}n a 为递增数列．若a 1>0，且2(a n ＋a n ＋2) ＝ 5a n ＋1，则数列{}n a 的公比q ＝（ ）
A ．2或12 B. 2 C ．1
2 D ．-2
7．若,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则3cos 2sin 4παα⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
,则sin 2α的值为（ ） A ．
118 B ．118- C ．1718 D ．1718
- 8．执行如右图所示的程序框图，则输出的结果为（ ） A ．1- B ．1 C ．2- D ．2
9．欧拉是科学史上一位多产的、杰出的数学家！ 他1707年出生在瑞士的巴塞尔城，渊博的知识，无穷无尽的创作精力和空前丰富的著作，都令人惊叹不已。

特别是，他那顽强的毅力和孜孜不倦的治学精神，即使在他双目失明以后，也没有停止对数学的研究。

在失明后的17年间，他还口述了几
本书和400篇左右的论文。

如果你想在欧拉的生日、大学入学日、大学毕业典礼日、第一篇论文发表日、逝世日这5个特别的日子里（这五个日子均不相同），任选两天分别举行班级数学活动，纪念这位伟大的科学家，则欧拉的生日入选的概率为（ ） A ． 310 B ． 2
5
C ． 12
D ．35
10．已知三棱锥C S -AB 外接球的表面积为32π，底面C ∆AB 为正三角形，SC=4 其正视图和侧视图如图所示，则此三棱锥的侧面积为（ ） A
．
．
． D
．
11．已知函数243,1()ln ,1
x x x f x x x ⎧-+-≤=⎨>⎩，若()f x a ax +≥，则a 的取值范围是（ ）
A ．[)2,0-
B ．[]0,1
C ．(]0,1
D ．[]2,0-
12．已知P 是椭圆221122111(0)x y a b a b +=>>和双曲线22
222222
1(0,0)x y a b a b -=>>的一个交点，
12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，12,e e 分别为椭圆和双曲线的离心率123
F PF π
∠=
，则
12
11
e e ⋅的最大值是（ ） A
B
C
D
．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题共4小题，每小题5分，共20分。

13.某校为了解全校高中同学十一小长假参加实践活动的情况，抽查了200名同学，统计他们假期参加活动的时间, 绘成的频率分布直方
正视图
侧视图
图如图所示， 则这200名同学中参加活动的时间在6~10小时内的人数为 .
14.若实数,x y 满足不等式组102110x y x k x y -+≥⎧⎪
≤⎨⎪+-≥⎩
，目标函数2z x y =+的最大值为16，则
实数k = ．
15． 已知数列{}n a 中，0n a >，11a =，21
1
n n a a +=+，62a a =，则20163a a += ． 16．若()1ln (0),()x ex
f x x a x a
g x e
=-- < =
，且对任意的[]()1212,4,5x x x x ∈≠， 12()()f x f x -<1211
|
|()()
g x g x -恒成立，则实数a 的取值范围为 ． 三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（本小题满分12分）
设向量(3sin ,sin )a x x =，(cos ,sin )b x x = （1）设函数()f x a b =⋅，求()f x 的单调递增区间； （2）在△ABC 中，锐角A 满足3
()
2
f A =， 4,b c a +==ABC 的面积．
18．（本小题满分12分）
数列{}n a 的前n 项和为n S ，111,21n n a a S +==+，等差数列{}n b 满足3253,b a b a ==. （1）分别求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；
（2）若对任意的1,()2
n n n N S k b *
∈+⋅≥恒成立，求实数k 的取值范围．
19.（本小题满分12分）
四棱锥P ABCD -中，底面为菱形，且60,DAB PA PD ∠=︒=，平面PAD ⊥平面ABCD ，M 为
CD 上一点，且BD PM ⊥
（1）求证：M 为线段DC 的中点；
（2）若60,PAD ∠=︒求二面角P BM A --的余弦值。

20.（本小题满分12分）
已知椭圆2222:1x y E a b +=的离心率为1
2
,点12,F F 是椭圆E 的左、右焦点, 过1F 的直线与椭圆E 交
于,A B 两点, 且2F AB ∆ 的周长为8. （1）求椭圆E 的标准方程；
（2）动点M 在椭圆E 上，动点N
在直线:l y =OM ON ⊥，探究原点O 到直线MN 的距离是否为定值，并说明理由.
P
M D
B
C
A
21．（本小题满分12分）
已知函数2
2
2
()ln (0),()(1)21f x a x x ax a g x m x mx =-+≠=-+-． （1）讨论函数()f x 的单调性；
（2）若1a =时，关于x 的不等式()()f x g x ≤恒成立，求整数m 的最小值．
选做题(请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按第一题计分，作答时请写清题号)
22．(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程选讲
在平面直角坐标系xoy 中，直线l 过点()3,4M ，其倾斜角为45，圆C 的参数方程为2cos 22sin x y θθ
=⎧⎨
=+⎩（θ为参数），再以原点为极点，以x 正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系xoy 有相同的长度单位.
（1）求圆C 的极坐标方程；
（2）设圆C 与直线l 交于不同的两点,A B ，求MA MB ⋅的值.
23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()2f x x a x =-++
（1）当a ＝3时，求不等式()7f x ≥的解集；
（2）若()4f x x ≤+的解集包含[]1,2，求实数a 的取值范围．
六校联盟高三年级联考试卷 文科数学答案与评分标准
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A
D
C
A
C
B
C
D
B
C
D
A
二、填空题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 116 14. 5 15．
． )0,434[3e -
【15．解析】由112+=
+n n a a ，得641
1
a a =
=+2211
11
a a =++，整理得222210a a +⋅-=，
0>n
a 212a ∴=
，4211a a ∴==+
6411a a ∴==+， 依次类推， 2462016a a a a ====21
5-=
，又21111
3=+=a a ，则20163a a +
=2。

【16．解析】易知1
(),
()
f x
g x 在[]5,4∈x 上均为增函数，不妨设12x x <，则 121211
|()()||
|()()
f x f x
g x g x -<- 等价于212111()()()()f x f x g x g x -<
-即212111
()()()()
f x f x
g x g x -<- 令1()()1ln ()x
e h x
f x x a x
g x ex
=-
=---，则()h x 在[]5,4∈x 为减函数， 则()2
1()10x
e x a h x x ex -'=--≤在[]5,4∈x 上恒成立， []5,4,11
∈+-≥∴--x x e e
x a x x 恒成立. 令()[]5,4,11∈+-=--x x
e e x u x x x ，
()()[]5,4,432111112
12
11
'
∈⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-+-=∴---x x e x x e e
u x x x x 21
3
11331,'()0244
x e
e u x x -⎡⎤⎛⎫-+>>∴<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦Q ，()u x ∴为减函数， ()u x ∴在[]4,5x ∈的最大值为33(4)44
u e =-
综上，实数a 的取值范围为)0,4
34[3
e -
. 三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（本小题满分12分）
解：（1）2
1
()3sin cos sin sin(2)6
2
f x a b x x x x π
=⋅=+=-+
┄┄┄┄┄┄┄┄┄3分 由2222
6
2
k x k π
π
π
ππ-
≤-
≤+
得增区间为：,()6
3k k k Z π
πππ⎡⎤
-
+
∈⎢⎥⎣
⎦
；┄┄6分
（2）由3()2f A =
，得3
A π
=； ┄┄┄┄┄┄┄┄┄8分
又因为4,b c a +==2222cos a b c bc A =+-得：3bc =；┄┄┄10分
所以1sin 2ABC S bc A ∆=
=┄┄┄┄┄┄┄┄┄12分 18．（本小题满分12分）
解：（1）由 121n n a S +=+ ① ， 得2n ≥时121n n a S -=+ ② ①－②得112()n n n n a a S S +--=-13n n a a +∴= ；┄┄┄┄┄┄┄┄┄2分 又
1211,213a a S ==+= ，213a a ∴=┄┄┄┄┄┄┄┄┄3分
{}n a ∴为等比数列，通项公式为：13n n a -=；┄┄┄┄┄┄┄┄┄4分
依题意32533,9b a b a ====，设等差数列{}n b 的公差为d ，则53
32
b b d -==， ∴3(3)336n b n n =+-⨯=-.┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分
（2）1(1)3112n n n a q S q --==-，则对任意的1,()2
n n n N S k b *
∈+⋅≥恒成立，即
2(36)3
n
n k -≥
对任意的n N *
∈恒成立，┄┄┄┄┄┄┄┄┄8分 令2(36)3n n n C -=
，1
11
2(36)2(39)2(27)
333n n n n n n n n C C --------=-=┄┄┄┄9分 当3n ≤时，1n n C C ->，4n ≥时，1n n C C -< ∴max 32()9n C C ==
,则实数k 的取值范围2
9
k ≥.┄┄┄┄┄┄12分 19.（本小题满分12分）
解:（1）取AD 的中点H ，连接PH ，MH ，AC
PA=PD ∴PH ⊥AD
又平面PAD ⊥平面ABCD ，交线为AD ∴PH ⊥面ABCD ∴PH ⊥BD 又 BD PM ⊥ ， PH
PM P =
∴BD ⊥面PHM ∴BD ⊥HM ┄┄┄┄┄┄┄4分
又在菱形ABCD 中， BD ⊥AC
∴HM ∥AC ∴M 为线段DC 的中点。

┄┄┄┄6分
（2）取BM 的中点E ，连接PE ，HE ，
可证得∠PEH 为二面角P BM A --的平面角┄┄8分 设AB=a ，则PH=
a 23 ， HE=a 4
3 ∴PE=42122=
+HE PH ∴7
21
==∠PE HE PEH COS
则二面角P BM A --
的余弦值为7。

┄┄┄┄┄12分 20.（本小题满分12分）
解：（1）由题意得2221
448a b a a ⎧-=⎪
⎨⎪=⎩
，解得2,a b ==，┄┄┄┄┄┄┄┄3分
所以椭圆E 的标准方程为22
143
x y +=.┄┄┄┄┄┄┄4分
（2）①若直线ON 的斜率不存在，
ON =，2OM =，4MN = ，
OM ON
d MN
⋅=
= ┄┄┄┄┄┄┄┄ 6分
②若直线ON 的斜率存在
设直线OM 方程为：y kx =，代入22143x y +=得2
2
1234x k =+，2221234k y k =+┄┄ 7分 直线ON 的方程为1
y x k
=-
代入y =
(,N -┄┄┄┄┄┄┄ 8分
22
2
2
2
2
212(1)()34k MN ON OM k +=+=-+++ 22
2
48(1)34k k +=+
设原点O 到直线l 的距离为d
22
2
2
3OM ON MN d OM ON d MN
⋅⋅=⋅⇒=
=
，则d = 11分
综上所述，原点O 到直线MN
┄┄┄┄┄┄┄ 12分 21．（本小题满分12分）
解：（1）f′（x ）=x a 2﹣2x+a=2
22x
a ax x ---=x a x a x )
)(2(-+-，x ＞0，
①当a ＞0时，由f′（x ）＞0，得0＜x ＜a ，由f′（x ）＜0，得x ＞a ，
∴f（x ）在（0，a ）上递增，在（a ，+∞）上递减； ②当a ＜0时，由f′（x ）＞0，得0＜x ＜﹣
2a ，由f′（x ）＜0，得x ＞﹣2
a ， ∴f（x ）在（0，﹣
2a ）上递增，在（﹣2
a
，+∞）；上递减。

┄┄┄┄┄ 5分
（2）令h （x ）=f （x ）﹣g （x ）=lnx ﹣mx 2+（1﹣2m ）x+1，x ＞0，
则h′（x ）=x 1﹣2mx+1﹣2m=x
x m mx 1
)21(22+-+-=x x mx )1)(12(+--
当m≤0时，h′（x ）＞0，∴h（x ）在（0，+∞）上单调递增， ∵h（1）=ln1﹣m×12
+（1﹣2m ）+1=﹣3m+2＞0，
∴关于x 的不等式f （x ）≤g（x ）不恒成立，舍去。

┄┄┄┄┄ 7分 当m ＞0时，由h′（x ）＞0，得0＜x ＜
m 21，由f′（x ）＜0，得x ＞m
21
， ∴h（x ）的单调增区间为（0，
m 21），单调减区间为（m
21，+∞）； ∴h（x ）max =h （
m 21）=ln m 21﹣m•（m 21）2
+（1﹣2m ）×m 21+1=m
41﹣ln （2m ）， ┄┄┄┄┄ 9分
令φ（m ）=
m
41
﹣ln （2m ），∵φ（21）=21，φ（1）=41﹣ln2＜0，
又φ（x ）在（0，+∞）是减函数，∴当m≥1时，φ（m ）＜0，满足题意。

故整数m 的最小值为1． ┄┄┄┄┄ 12分
选做题(请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号)
22．(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程选讲
解：（1）消去参数可得圆的直角坐标方程为2
2
(2)4x y +-=┄┄┄┄┄┄┄2分 由极坐标与直角坐标互化公式得2
2
(cos )(sin 2)4ρθρθ+-=， 化简得4sin ρθ=；┄┄┄┄┄┄┄ 5分
（2）直线l 的参数方程为3cos 454sin 45x t y t =+︒⎧⎨=+︒⎩（t 为参数）
，即3242
x y t ⎧
=+⎪⎪
⎨
⎪=+
⎪⎩
（t 为参数）
，代入圆方
程得：2
90t ++=，┄┄┄┄┄┄┄ 7分
设,A B 对应的参数分别为12,t t ，则12129t t t t +=-=┄┄┄┄┄┄┄ 8分 所以12cos09MA MB MA MB t t ⋅=⨯⨯︒==┄┄┄┄┄┄┄ 10分 23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 解：（1）当a ＝3时，()7f x ≥⇔327x x -++≥
由绝对值的几何意义得3x ≤-或4x ≥
故不等式解集为{
3x x ≤-或}4x ≥．┄┄┄┄┄┄ 5分
（2）原命题⇔()4f x x ≤+在[]
2,
1上恒成立 ┄┄┄┄┄┄ 6分 ⇔24x a x x -++≤+在[]1,2上恒成立
⇔x-2≤a≤x +2在[]1,2上恒成立 ┄┄┄┄┄┄ 8分
⇔0≤a ≤3. 故a 的取值范围是[]0,3a ∈．┄┄┄┄┄┄ 10分。