吉林省东北师范大学附属中学2015届高三理科数学一轮复习教案-直线的倾斜角与斜率,直线的方程

一、知识梳理：（阅读必修2第82-99页内容） 1．倾斜角：一条直线l 向上的方向与x 轴的正方向所成的最小正角，叫做直线的倾斜角，范围为[)π,0。

规定：当直线与l 轴平行或重合时，它的倾斜角为。

2．斜率：当直线的倾斜角不是900时，则称其正切值为该直线的斜率，即k=t a n α;当直线的倾斜角等于900时，直线的斜率不存在。

注：直线的倾斜角与斜率的关系可以利用正切函数的图象帮助解决；
3、过两点p 1(x 1,y 1),p 2(x 2,y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式:k=t a n 1
212x x y y --=
α（若x 1＝x 2，则直线p 1p 2的斜率不存在，此时直线的倾斜角为900）。

4、直线的方向向量：=（1，k ），k 是直线的斜率；
5、直线方程的五种形式确定直线方程需要有两个互相独立的条件。

确定直线方程的形式名称
方程 说明 适用条件 斜截式
y =k x +b k ——斜率 b ——纵截距 倾斜角为90°的直线不能用此式 点斜式 y -y 0=k(x -x 0) (x 0，y 0)——直线上
已知点，k ——斜率 倾斜角为90°的直线不能用此式 两点式 121y y y y --=121x x x x -- (x 1，y 1)，(x 2，y 2)是直线上两个已知点 与两坐标轴平行的直线不能用此式
截距式 a x +b y =1 a ——直线的横截距 b ——直线的纵截距 过（0，0）及与两坐标轴平行的直线不能用此式 一般式 Ax +By +C =0 B A -，A C -，B C -分别为斜率、横截距和纵截距
A 、
B 不能同时为零
直线的点斜式与斜截式不能表示斜率不存在（垂直于x 轴）的直线；两点式不能表示平行或重合两坐标轴的直线；截距式不能表示平行或重合两坐标轴的直线及过原点的直线。

二、题型探究
直线的倾斜角与斜率
例1：（2008四川理，4）．直线3y x =绕原点逆时针旋转090，再向右平移１个单位，所得到的直线为( A )
（Ａ）1133y x =-+ （Ｂ）113
y x =-+
（Ｃ）33y x =- （Ｄ）113
y x =+ 【解】：∵直线3y x =绕原点逆时针旋转090的直线为13
y x =-，从而淘汰（Ｃ），（D ）
又∵将13y x =-向右平移１个单位得()113y x =--，即1133
y x =-+ 【点评】：此题重点考察互相垂直的直线关系，以及直线平移问题；
【突破】：熟悉互相垂直的直线斜率互为负倒数，过原点的直线无常数项；重视平移方法：“左加右减”；
点评：本题重点考查直线的倾斜角、斜率的关系，考查数形结合的能力。

例2：（全国Ⅰ文16）若直线m 被两平行线12:10:30l x y l x y -+=-+=与所截得的线段的长为22，则m 的倾斜角可以是（ ）
①15o ②30o ③45o ④60o ⑤75o
其中正确答案的序号是 .（写出所有正确答案的序号） 【解析】解：两平行线间的距离为21
1|13|=+-=d ，由图知直线m 与1l 的夹角为o
30，1l 的倾斜角为o 45，所以直线m 的倾斜角等于00754530=+o 或00153045=-o 。

【答案】①⑤
：求直线方程
例3：．已知直线的点斜式方程为()y x -=--134
2，求该直线另外三种特殊形式的方程。

解析：（1）将()y x -=--1342移项、展开括号后合并，即得斜截式方程2
543+-=x y 。

（2）因为点（2，1）、（0，
52）均满足方程()y x -=--1342，故它们为直线上的两点。

由两点式方程得：y x --=--1521202 即y x -=--132
22 （3）由y x =-+3452知：直线在y 轴上的截距b =52
又令y =0，得x =
103，
故直线的截距式方程x y 103521+= 点评：直线方程的四种特殊形式之间存在着内在的联系，它是直线在不同条件下的不同表现形式，要掌握好它们之间的互化。

在解具体问题时，要根据问题的条件、结论，灵活恰当地选用公式，使问题解得简捷、明了。

例4．直线l 经过点P （-5，-4），且与两坐标轴围成的三角形面积为5，求直线l 的方程。

解析：设所求直线l 的方程为1=+b y a x ， ∵直线l 过点P （-5，-4），∴
-+-=541a b ，即45a b ab +=-。

又由已知有12
5a b =，即ab =10， 解方程组4510a b ab ab +=-=⎧⎨⎩，得：a b =-=⎧⎨⎪⎩⎪524
或a b ==-⎧⎨⎩52 故所求直线l 的方程为：
x y -+=52
41，或x y 521+-=。

即85200x y -+=，或25100x y --=
点评：要求l 的方程，须先求截距a 、b 的值，而求截距的方法也有三种： （1）从点的坐标()a ，0或()0，b 中直接观察出来；
（2）由斜截式或截距式方程确定截距；
（3）在其他形式的直线方程中，令x =0得y 轴上的截距b ；令y =0得出x 轴上的截距a 。

总之，在求直线方程时，设计合理的运算途径比训练提高运算能力更为重要。

解题时善于观察，勤于思考，常常能起到事半功倍的效果。

：直线方程综合问题
例5．（重庆理，1）直线1y x =+与圆221x y +=的位置关系为（ ）
A ．相切
B ．相交但直线不过圆心
C ．直线过圆心
D ．相离 【解析】圆心(0,0)为到直线1y x =+，即10x y -+=的距离222d =
=，而2012<<，选B 。

【点评】：此题重点考察圆的标准方程和点到直线的距离；
【突破】：数形结合，使用点C 到直线l 的距离距离公式
例6．（天津文，14）若圆422=+y x 与圆)0(06222>=-++a ay y x 的公共弦长为32，则a =________.
【解析】由已知，两个圆的方程作差可以得到相交弦的直线方程为a
y 1= ， 利用圆心（0，0）到直线的距离d 1|1|
a =为13222=-，解得a =1.
例7：已知动圆过定点P （1，0），且与定直线l ：x =－1相切，点C 在l 上。

（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹M 的方程；
（Ⅱ）设过点P ，且斜率为－3的直线与曲线M 相交于A 、B 两点。

（i ）问：△ABC 能否为正三角形？若能，求点C 的坐标；若不能，说明理由； （ii ）当△ABC 为钝角三角形时，求这种点C 的纵坐标的取值范围。

（Ⅰ）解法一，依题意，曲线M 是以点P 为焦点，直线l 为准线的抛物线，所以曲线M 的方程为y 2=4x .
解法二：设M （x ，y ），依题意有|MP |=|MN |，
所以|x +1|=22)1(y x +-。

化简得：y 2=4x 。

（Ⅱ）（i ）由题意得，直线AB 的方程为y =－3（x －1）.
由⎪⎩⎪⎨⎧=--=.
4),1(32x y x y 消y 得3x 2－10x +3=0， 解得x 1=31
，x 2=3。

所以A 点坐标为（3
32,31），B 点坐标为（3，－23）， |AB |=x 1+x 2+2=3
16。

假设存在点C （－1，y ），使△ABC 为正三角形，则|BC |=|AB |且|AC |=|AB |，即
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++=+++.)316()32()13
1(,)316()32()13(222222y y 由①－②得42+（y +23）2=（34）2+（y －332）2，解得y =－9
314。

但y =－9
314不符合①，所以由①，②组成的方程组无解 因此，直线l 上不存在点C ，使得△ABC 是正三角形。

（ii ）解法一：设C （－1，y ）使△ABC 成钝角三角形，由⎩⎨⎧-=--=.
1),1(3x x y 得y =23，
即当点C 的坐标为（－1，23）时，A 、B 、C 三点共线，故y ≠23。

又|AC |2=（－1－31
）2+（y －332）2=3
34928y -+y 2， 图 ① ②
|BC |2=（3+1）2+（y +23）2=28+43y +y 2，|AB |2=（316）2=9256。

当∠CAB 为钝角时，c o sA =|
|||2||||||2
22AC AB BC AC AB ⋅-+<0。

即|BC |2 >|AC |2+|AB |2，即9
256334928342822++->++y y y y ， 即y >39
2时，∠CAB 为钝角 当|AC |2>|BC |2+|AB |2，即9
256342833492822+++>+-y y y y ， 即y <－33
10时，∠CBA 为钝角。

又|AB |2>|AC |2+|BC |2，即2234283
349289256y y y y ++++->， 即0)3
2(,03433422<+<++y y y 。

该不等式无解，所以∠ACB 不可能为钝角
因此，当△ABC 为钝角三角形时，点C 的纵坐标y 的取值范围是)32(9
323310≠>-<y y y 或。

解法二：以AB 为直径的圆的方程为（x －
35）2+（y +332）2=（38）2。

圆心（332,35-）到直线l ：x =－1的距离为3
8， 所以，以AB 为直径的圆与直线l 相切于点G （－1，－3
32）。

当直线l 上的C 点与G 重合时，∠ACB 为直角，当C 与G 点不重合，且A 、B 、C 三点不共线时，∠ACB 为锐角，即△ABC 中，∠ACB 不可能是钝角。

因此，要使△ABC 为钝角三角形，只可能是∠CAB 或∠CBA 为钝角
过点A 且与AB 垂直的直线方程为)3
1(33332-=-x y 。

令x =－1得y =9
32。

过点B 且与AB 垂直的直线方程为y +2333=（x －3）。

令x =－1得y =－3310。

又由⎩⎨⎧-=--=.
1),1(3x x y 解得y =23， 所以，当点C 的坐标为（－1，23）时，A 、B 、C 三点共线，不构成三角形。

因此，当△ABC 为钝角三角形时，点C 的纵坐标y 的取值范围是y <－3310或y >932（y ≠23）。

点评：该题全面综合了解析几何、平面几何、代数的相关知识，充分体现了“注重学科知识的内在联系”.题目的设计新颖脱俗，能较好地考查考生综合运用数学知识解决问题的能力。

比较深刻地考查了解析法的原理和应用，以及分类讨论的思想、方程的思想.该题对思维的目的性、逻辑性、周密性、灵活性都进行了不同程度的考查.对运算、化简能力要求也较高，有较好的区分度。

三、 方法提升：
四、反思感悟
五、课时作业
一、选择题
1 ．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）直线2310x y -+=的一个方向向量是（ ）
A ．(2 3)-，
B ．(2 3)，
C ．(3 2)-，
D ． (3 2)，
【答案】D 2 ．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD 版含答案））已知点
(1,0),(1,0),(0,1)A B C -,直线(0)y ax b a =+>将△ABC 分割为面积相等的两部分,则b 的取值范围是（ ）
A ．(0,1)
B
．1(1)2
( C) 1(1]3 D ． 11[,)32
【答案】B 3．若直线l 的斜率k 的变化范围是，则它的倾斜角的变化范围是( )
A ．(k ∈Z)
B ．
C ．
D ．∪[3π4
，π) 解析：由－1≤k ≤3，即－1≤tan α≤3，∴α∈∪[3π4
，π)．答案：D 4．(2009·济宁模拟)“m ＝－1”是“直线mx ＋(2m －1)y ＋1＝0和直线3x ＋my ＋3＝0垂直”的 ( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：当m ＝－1时，两条直线方程为x ＋3y －1＝0和3x －y ＋3＝0，显然两直线垂直，充分性成立．反之，当这两直线垂直时，3m ＋m (2m －1)＝0得m ＝0或－1，必要性不成立．答案：A
5．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））已知点
()()()30,0,0,,,.ABC ,O A b B a a ∆若为直角三角形则必有（ ）
A ．3b a =
B ．31b a a =+
C ．()3310b a b a a ⎛⎫---
= ⎪⎝⎭ D ．3310b a b a a
-+--= 【答案】C 6．已知直线l 的倾斜角为34
π，直线l 1经过点A (3,2)和B (a ，－1)，且直线l 1与直线l 垂直，直线l 2的方程为2x ＋by ＋1＝0，且直线l 2与直线l 1平行，则a ＋b 等于 ( )
A ．－4
B ．－2
C ．0
D ．2
解析：由直线l 的倾斜角得l 的斜率为－1，l 1的斜率为33－a .∵直线l 与l 1垂直，∴33－a
＝1，得a ＝0.又直线l 2的斜率为－2b ，∵l 1∥l 2，∴－2b
＝1，b ＝－2.因此a ＋b ＝－2.答案：B 二、填空题
7．给定三点A (0,1)，B (a,0)，C (3,2)，直线l 经过B 、C 两点，且l 垂直AB ，则a 的值为________．
解析：由题意知AB ⊥BC ，则0－1a －0·0－2a －3
＝－1，解得a ＝1或2. 8．(2009·淮安模拟)已知直线l 1：x ＋ay ＋6＝0和l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0，则l 1∥l 2的充要条件是a ＝________.
解析：由a (a －2)＝1×3且a ×2a ≠3×6，∴a ＝－1.
9．已知直线l 的斜率为k ，经过点(1，－1)，将直线向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到直线m ，若直线m 不经过第四象限，则直线l 的斜率k 的取值范围是________． 解析：依题意可设直线l 的方程为y ＋1＝k (x －1)，即y ＝kx －k －1，将直线l 向右平移3个单位，得到直线y ＝k (x －3)－k －1，再向上平移2个单位得到直线m ：y ＝k (x －3)－k
－1＋2，即y ＝kx －4k ＋1.由于直线m 不经过第四象限，所以应有⎩
⎪⎨⎪⎧
k ≥0，－4k ＋1≥0，解得0≤k ≤14.答案：0≤k ≤14
三、解答题
10．已知两直线l 1：x ＋y sin θ－1＝0和l 2：2x sin θ＋y ＋1＝0，试求θ的值，使得：(1)l 1∥l 2；
(2)l 1⊥l 2.
解：(1)法一：当sin θ＝0时，l 1的斜率不存在，l 2的斜率为零，l 1显然不平行于l 2. 当sin θ≠0时，k 1＝－1sin θ，k 2＝－2sin θ，欲使l 1∥l 2，只要－1sin θ＝0－2sin θ，sin θ＝±22，∴θ＝kπ±π4，k ∈Z ，此时两直线截距不相等．∴当θ＝kπ±π4
，k ∈Z 时，l 1∥l 2. 法二：由A 1B 2－A 2B 1＝0，即2sin 2θ－1＝0，得sin 2θ＝12
， ∴sin θ＝±22，由B 1C 2－B 2C 1≠0，即1＋sin θ≠0，即sin θ≠－1，得θ＝kπ±π4
，k ∈Z ， ∴当θ＝kπ±π4
，k ∈Z 时，l 1∥l 2. (2)∵A 1A 2＋B 1B 2＝0是l 1⊥l 2的充要条件，
∴2sin θ＋sin θ＝0，即sin θ＝0，∴θ＝kπ(k ∈Z)，
∴当θ＝kπ，k ∈Z 时，l 1⊥l 2.
11．已知l 1：(a 2－1)x ＋ay －1＝0，l 2：(a －1)x ＋(a 2＋a )y ＋2＝0，若l 1∥l 2，求a 的值． 解：当a ＝0时，l 1：x ＝－1，l 2：x ＝2，
此时l 1∥l 2，∴a ＝0满足题意；
当a 2＋a ＝0，即a ＝0(舍去)或a ＝－1时，
l 1：y ＝－1，l 2：x ＝1，此时l 1⊥l 2，∴a ＝－1不满足题意；
12．已知点M(2,2)，N(5，－2)，点P在x轴上，分别求满足下列条件的P点坐标．
(1)∠MOP＝∠OPN(O是坐标原点)．
(2)∠MPN是直角．
解：设P(x,0)，(1)∵∠MOP＝∠OPN，
∴OM∥NP.∴k OM＝k NP.又k OM＝2－0
2－0
＝1，k NP＝
0－(－2)
x－5
＝2
x－5
(x≠5)，
∴1＝2
x－5
，∴x＝7，即P(7,0)．(2)∵∠MPN＝90°，∴MP⊥NP，
∴k MP·k NP＝－1.又k MP＝
2
2－x
(x≠2)，k NP＝
2
x－5
(x≠5)，
∴
2
2－x
×
2
x－5
＝－1，解得x＝1或x＝6，即P(1,0)或(6,0)．。