第五章相交线与平行线单元试卷试卷(word版含答案)

第五章相交线与平行线单元试卷试卷（word版含答案）
一、选择题
1．如图，∠1＝20º，AO⊥CO，点B、O、D在同一条直线上，则∠2的度数为
（）
A．70ºB．20ºC．110ºD．160º
2．如图，AB∥CD，直线EF与AB，CD分别交于点M，N，过点N的直线GH与AB交于点P，则下列结论错误的是（）
A．∠EMB=∠END
B．∠BMN=∠MNC
C．∠CNH=∠BPG
D．∠DNG=∠AME
3．如图，已知AB∥CD，AD平分∠BAE，∠D＝40°，则∠DAE的度数是（）
A．20°B．40°C．60°D．80°
4．如图，有一块含有30°角的直角三角形板的两个顶点放在直尺的对边上．如果
∠2=44°，那么∠1的度数是（）
A．14°B．15°C．16°D．17°
5．如图，面积为12cm2的△ABC沿BC方向平移到△DEF的位置，平移的距离是边BC长的2倍，则图中四边形ACED的面积为（）
A ．24cm 2
B ．36cm 2
C ．48cm 2
D ．无法确定
6．如图，AB ∥CD ，直线MN 与AB 、CD 分别交于点E 、F ，FG 平分∠EFD ，EG ⊥FG 于点G ，若∠CFN ＝110°，则∠BEG ＝( )
A ．20°
B ．25°
C ．35°
D ．40°
7．定义：平面内的直线l 1与l 2相交于点O ，对于该平面内任意一点M ，点M 到直线l 1、l 2的距离分别为a 、b ，则称有序非负实数对（a ，b ）是点M 的“距离坐标”，根据上述定义，距离坐标为（2，1）的点的个数有（ ）
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个 8．如图，25AOB ︒∠=，90AOC ︒∠=，点B ，O ，D 在同一直线上，则COD ∠的度数为
（ ）
A ．65
B ．25
C ．115
D ．155
9．下列命题：①同位角相等；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ③过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ④如果同一平面内的三条直线只有两个交点，那么这三条直线中必有两条直线互相平行．其中假命题的个数是（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 10．在下列命题中，为真命题的是（ ） A ．相等的角是对顶角
B ．平行于同一条直线的两条直线互相平行
C ．同旁内角互补
D ．垂直于同一条直线的两条直线互相垂直
11．如图，直线a ，b 被直线c 所截，且a//b ，若∠1=55°，则∠2等于（ ）
A ．35°
B ．45°
C ．55°
D ．125°
12．下列命题中，是真命题的是（ ）
A ．在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行
B ．相等的角是对顶角
C ．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补
D ．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
二、填空题
13．如图，△ABC 的边长AB =3 cm ，BC =4 cm ，AC =2 cm ，将△ABC 沿BC 方向平移a cm （a ＜4 cm ），得到△DEF ，连接AD ，则阴影部分的周长为_______cm ．
14．如图，在平面内，两条直线1l ，2l 相交于点O ，对于平面内任意一点M ，若p ，q 分别是点M 到直线1l ，2l 的距离，则称(,)p q 为点M 的“距离坐标”．根据上述规定，“距离坐标”是(2,1)的点共有________个．
15．如图，已知AB CD ∥，CE 、BE 的交点为E ，现作如下操作：
第一次操作，分别作ABE ∠和DCE ∠的平分线，交点为1E ，
第二次操作，分别作1ABE ∠和1DCE ∠的平分线，交点为2E ，
第三次操作，分别作2ABE ∠和2DCE ∠的平分线，交点为3E ，
…
第n 次操作，分别作1n ABE -∠和1n DCE -∠的平分线，交点为n E ．
若1n E ∠=度，那BEC ∠等于__________度．
16．若平面上4条直线两两相交且无三线共点，则共有同旁内角________对．
17．如图，BC AE ⊥，垂足为C ，过C 作CD AB ．若48ECD ∠=︒，则
B ∠=__________．
18．如果一张长方形的纸条，如图所示折叠，那么∠α等于____．
19．如图，//AB CD ，FN AB ⊥，垂足为点O ，EF 与CD 交于点G ，若130∠=︒，则2∠=______．
20．如图，AB ∥CD ，∠β=130°，则∠α=_______°．
三、解答题
21．如图，两个形状，大小完全相同的含有30°、60°的三角板如图放置，PA、PB与直线MN重合，且三角板PAC，三角板PBD均可以绕点P逆时针旋转．
（1）①如图1，∠DPC＝度．
②我们规定，如果两个三角形只要有一组边平行，我们就称这两个三角形为“孪生三角形”，如图1，三角板BPD不动，三角板PAC从图示位置开始每秒10°逆时针旋转一周（0°<旋转<360°），问旋转时间t为多少时，这两个三角形是“孪生三角形”．
（2）如图3，若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转，转速3°/秒，同时三角板PBD的边PB从PM处开始绕点P逆时针旋转，转速2°/秒，在两个三角板旋转过程中，（PC转到与PM重合时，两三角板都停止转动）．设两个三角板旋转时间为t秒，以
下两个结论：①
CPD
BPN
∠
∠
为定值；②∠BPN+∠CPD为定值，请选择你认为对的结论加以证
明．
22．问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°．求∠APC度数．
小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可得∠APC=50°+60°=110°．问题迁移：
(1)如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，
∠ADP=∠α，∠BCP=∠β．∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由；
(2)在(1)的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时(点P与点A、B、O三点不重合)，请你直接写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系．
23．已知AB∥CD，点C在点D的右侧，连接AD，BC，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE，DE相交于点E．
（1）如图1，当点B在点A的左侧时，
①若∠ABC=50º，∠ADC=70º，求∠BED的度数；
②请直接写出∠BED与∠ABC，∠ADC的数量关系；
（2）如图2，当点B在点A的右侧时，试猜想∠BED与∠ABC，∠ADC的数量关系，并说明理由．
24．已知：直线l分别交AB、CD与E、F两点，且AB∥CD．
（1）说明：∠1=∠2；
（2）如图2，点M、N在AB、CD之间，且在直线l左侧，若∠EMN+∠FNM=260°，
①求：∠AEM+∠CFN的度数；
②如图3，若EP平分∠AEM，FP平分∠CFN，求∠P的度数；
（3）如图4，∠2=80°，点G在射线EB上，点H在AB上方的直线l上，点Q是平面内一点，连接QG、QH，若∠AGQ=18°，∠FHQ=24°，直接写出∠GQH的度数．
25．如图，已知C 为两条相互平行的直线AB ，ED 之间一点，ABC ∠和CDE ∠的角平分线相交于F ，180FDC ABC ∠+∠=︒．
（1）求证：//AD BC ；
（2）连结CF ，当//CF AB ，且32
CFB DCF ∠=∠时，求BCD ∠的度数；
（3）若DCF CFB ∠=∠时，将线段BC 沿直线AB 方向平移，记平移后的线段为PQ （B ，C 分别对应P ，Q ，当20PQD QDC ∠-∠=︒时，请直接写出DQP ∠的度数______．
26．（问题提出）
（1）如图①，已知 AB ∥CD ，求证 ：∠1+∠MEN+∠2=360°
（推广应用）
（2）如图②，已知 AB∥ CD，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5 +∠6的度数为___________．
如图③，已知 AB∥CD ，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5 +∠6+…+∠n的度数为_________．
27．直线AB∥CD，点M，N分别在直线AB，CD上，点E为平面内一点．
(1)如图①，探究∠AME，∠MEN，∠ENC的数量关系，并说明理由；
(2)如图②，∠AME=30°，EF平分∠MEN，NP平分∠ENC，EQ∥NP，求∠FEQ的度数；（3）如图③，点G为CD上一点，∠AMN=m∠EMN，∠GEK=m∠GEM，EH∥MN交AB于点H，直接写出∠GEK，∠BMN，∠GEH之间的数量关系(用含m的式子表示)．
28．如图1，已知a∥b，点A、B在直线a上，点C、D在直线b上，且AD⊥BC于E．
（1）求证：∠ABC+∠ADC=90°；
（2）如图2，BF平分∠ABC交AD于点F，DG平分∠ADC交BC于点G，求∠AFB+∠CGD 的度数；
（3）如图3，P为线段AB上一点，I为线段BC上一点，连接PI，N为∠IPB的角平分线上
一点，且∠NCD=1
2
∠BCN，则∠CIP、∠IPN、∠CNP之间的数量关系是______．
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一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
由AO⊥CO和∠1＝20º求得∠BOC＝70º，再由邻补角的定义求得∠2的度数．
【详解】
∵AO⊥CO和∠1＝20º，
∴∠BOC＝90 º-20 º＝70º，
又∵∠2+∠BOC＝180 º（邻补角互补），
∴∠2＝110º．
故选：C．
【点睛】
考查了邻补角和垂直的定义，解题关键是利用角的度数之间的和差的关系求未知的角的度数．
2．D
解析：D
【解析】
试题分析：根据平行线的性质可得A、∵AB∥CD，∴∠EMB=∠END（两直线平行，同位角相等）；B、∵AB∥CD，∴∠BMN=∠MNC（两直线平行，内错角相等）；C、∵AB∥CD，∴∠CNH=∠MPN（两直线平行，同位角相等），∵∠MPN=∠BPG（对顶角），
∴∠CNH=∠BPG（等量代换）；D、∠DNG与∠AME没有关系，无法判定其相等．故答案选D.
考点：平行线的性质.
3．B
解析：B
【分析】
根据平行线的性质得出∠DAB＝∠D＝40°,再由角平分线即可得解．
【详解】
解：∵AB∥CD，
∴∠DAB＝∠D＝40°（两直线平行，内错角相等），
∵AD平分∠BAE，
∴∠DAE＝∠DAB＝40°，
故选：B．
【点睛】
本题考查平行线的性质和角平分线性质，关键是求出∠DAE的度数，题目比较好，难度适中．
4．C
解析：C
【分析】
依据∠ABC=60°，∠2=44°，即可得到∠EBC=16°，再根据BE∥CD，即可得出
∠1=∠EBC=16°．
【详解】
如图，
∵∠ABC=60°，∠2=44°，
∴∠EBC=16°，
∵BE∥CD，
∴∠1=∠EBC=16°，
故选C．
【点睛】
考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
5．B
解析：B
【解析】
试题分析：由题意可知根据平移的性质可以知道四边形ACED的面积是三个△ABC的面积，依此计算即可．
∵平移的距离是边BC长的两倍，
∴BC=CE=EF，
∴四边形ACED的面积是三个△ABC的面积；
∴四边形ACED的面积=12×3=36cm2．
考点：平移的性质.
6．C
解析：C
【分析】
已知∠CFN＝110°，根据对顶角相等可得∠DFE＝∠CFN＝110°，因为FG平分∠EFD，由角
平分线的定义可得∠EFG＝1
2
∠EFD＝55°；再由EG⊥FG，可得∠G＝90°，即可求得∠GEF
＝35°；又因AB∥CD,∠EFD＝110°，根据平行线的性质可得∠BEF＝70°，即可得∠BEG＝∠BEF﹣∠GEF＝35°.
【详解】
∵∠CFN＝110°，
∴∠DFE＝∠CFN＝110°，
∵FG平分∠EFD，
∴∠EFG＝1
2
∠EFD＝55°，
又EG⊥FG，即∠G＝90°，
∴∠GEF＝35°，
∵AB∥CD,∠EFD＝110°，
∴∠BEF＝70°，
∴∠BEG＝∠BEF﹣∠GEF＝35°.
故选C.
【点睛】
本题考查了平行线的性质，垂直的定义以及角平分线的性质．熟练运用相关知识是解决问题的关键．
7．C
解析：C
【分析】
首先根据题意，可得距离坐标为（2，1）的点是到l1的距离为2，到l2的距离为1的点；然后根据到l1的距离为2的点是两条平行直线，到l2的距离为1的点也是两条平行直线，可得所求的点是以上两组直线的交点，一共有4个，据此解答即可．
【详解】
解：如图1，
，
到l1的距离为2的点是两条平行直线l3、l4，到l2的距离为1的点也是两条平行直线l5、l6，
∵两组直线的交点一共有4个：A、B、C、D，
∴距离坐标为（2，1）的点的个数有4个．
故选C．
【点睛】
此题主要考查了点的坐标，以及对“距离坐标”的含义的理解和掌握，解答此题的关键是要明确：到l1的距离为2的点是两条平行直线，到l2的距离为1的点也是两条平行直线．8．C
解析：C
【分析】
先求出∠BOC，再由邻补角关系求出∠COD的度数．
【详解】
∵∠AOB=25°，∠AOC=90°，
∴∠BOC=90°-25°=65°，
∴∠COD=180°-65°=115°．
故选：C．
【点睛】
本题考查了余角、邻补角的定义和角的计算；弄清各个角之间的关系是解题的关键．9．A
解析：A
【分析】
根据平行线的性质、八个基本事实、平行线的判定等知识分别判断即可．
【详解】
解：同位角不一定相等，①是假命题；
过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，②是假命题；
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，③是假命题；
如果同一平面内的三条直线只有两个交点，那么这三条直线中必有两条直线互相平行，④是真命题，
故选：A．
【点睛】
本题考查了命题与定理、平行线的判定与性质、八个基本事实，熟记八个基本事实，会判断命题的真假是解答的关键．
10．B
解析：B
【分析】
分别利用对顶角的性质以及平行线的性质和推论进而判断得出即可．
【详解】
解：A、相等的角不一定是对顶角，故此选项错误；
B、平行于同一条直线的两条直线互相平行，正确；
C、两直线平行，同旁内角互补，故此选项错误；
D、垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故此选项错误．
故选B．
【点睛】
此题主要考查了命题与定理，熟练掌握平行线的性质与判定是解题关键．
11．C
解析：C
【解析】
试题分析：根据图示可得：∠1和∠2是同位角，根据两直线平行，同位角相等可得：∠2=∠1=55°.
考点：平行线的性质
12．A
解析：A
【解析】
分析：根据平行线的判定与性质，对顶角的性质，平行线的作图，逐一判断即可.
详解：根据平行公理的推论，可知：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行，故正确；
根据对顶角的定义，可知相等的角不一定是对顶角，故不正确；
根据两条平行的直线被第三条直线所截，同旁内角互补，故不正确；
根据平行公理，可知过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故不正确.
故选A.
点睛：此题主要考查了平行线的判定与性质，关键是熟记公理的内容和特点，找到反例说明即可.
二、填空题
13．9
【分析】
根据平移的特点，可直接得出AC、DE、AD的长，利用EC=BC－BE可得出EC的长，进而得出阴影部分周长．
【详解】
∵AB=3cm，BC=4cm，AC=2cm，将△ABC沿BC方向平
解析：9
【分析】
根据平移的特点，可直接得出AC、DE、AD的长，利用EC=BC－BE可得出EC的长，进而得出阴影部分周长．
【详解】
∵AB=3cm，BC=4cm，AC=2cm，将△ABC沿BC方向平移a cm
∴DE=AB=3cm，BE=a cm
∴EC=BC－BE=(4－a)cm
∴阴影部分周长=2+3+(4－a)+a=9cm
故答案为：9
【点睛】
本题考查平移的特点，解题关键是利用平移的性质，得出EC=BC－BE．
14．4
【分析】
到的距离是2的点，在与平行且与的距离是2的两条直线上；同理，点在与的距离是1的点，在与平行，且到的距离是1的两直线上，四条直线的距离有四个交点．因而满足条件的点有四个．
【详解】
解：
解析：4
【分析】
到1l的距离是2的点，在与1l平行且与1l的距离是2的两条直线上；同理，点M在与2l的距离是1的点，在与2l平行，且到2l的距离是1的两直线上，四条直线的距离有四个交点．因而满足条件的点有四个．
【详解】
解：到1l的距离是2的点，在与1l平行且与1l的距离是2的两条直线上；
到2l的距离是1的点，在与2l平行且与2l的距离是1的两条直线上；
以上四条直线有四个交点，故“距离坐标”是(2,1)的点共有4个．
故答案为：4．
【点睛】
本题主要考查了到直线的距离等于定长的点的集合．
15．【分析】
先过E作EF∥AB，根据AB∥CD，得出AB∥EF∥CD，再根据平行线的性质，得出∠B=∠1，∠C=∠2，进而得到∠BEC=∠ABE+∠DCE；根据∠ABE和∠DCE的平分线交点为E1，
解析：2n
【分析】
先过E作EF∥AB，根据AB∥CD，得出AB∥EF∥CD，再根据平行线的性质，得出
∠B=∠1，∠C=∠2，进而得到∠BEC=∠ABE+∠DCE；根据∠ABE和∠DCE的平分线交点为
E1，则可得出∠CE1B=∠ABE1+∠DCE1
1
2
=∠ABE
1
2
+∠DCE
1
2
=∠BEC；同理可得
∠BE2C=∠ABE2+∠DCE2
1
2
=∠ABE1
1
2
+∠DCE1
1
2
=∠CE1B
1
4
=∠BEC；根据∠ABE2和∠DCE2
的平分线，交点为E3，得出∠BE3C
1
8
=∠BEC；…据此得到规律∠E n
1
2n
=∠BEC，最后求得
∠BEC的度数．
【详解】
如图1，过E作EF∥AB．
∵AB∥CD，
∴AB∥EF∥CD，
∴∠B=∠1，∠C=∠2．
∵∠BEC=∠1+∠2，
∴∠BEC=∠ABE+∠DCE；
如图2．
∵∠ABE和∠DCE的平分线交点为E1，
∴∠CE1B=∠ABE1+∠DCE1
1
2
=∠ABE
1
2
+∠DCE
1
2
=∠BEC．
∵∠ABE1和∠DCE1的平分线交点为E2，
∴∠BE2C=∠ABE2+∠DCE2
1
2
=∠ABE1
1
2
+∠DCE1
1
2
=∠CE1B
1
4
=∠BEC；
∵∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，
∴∠BE3C=∠ABE3+∠DCE3
1
2
=∠ABE2
1
2
+∠DCE2
1
2
=∠CE2B
1
8
=∠BEC；
…
以此类推，∠E n
1
2n
=∠BEC，
∴当∠E n=1度时，∠BEC等于2n度．
故答案为：2n．
【点睛】
本题考查了角平分线的定义以及平行线性质：两直线平行，内错角相等的运用．解决问题的关键是作平行线构造内错角，解题时注意：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．
16．24
【解析】
【分析】
根据三线八角的特点，对四条直线产生的6个交点，两两一组进行分类求解即可.
【详解】
解：如图所示
观测点A和点B，同旁内角有2对；A和C有2对；A和D，没有同旁内角；A
和
解析：24
【解析】
【分析】
根据三线八角的特点，对四条直线产生的6个交点，两两一组进行分类求解即可.
【详解】
解：如图所示
观测点A和点B，同旁内角有2对；A和C有2对；A和D，没有同旁内角；A和E有2对；A和F有2对.B和C有2对；B和D有2对；B和E有2对；B和F没有同旁内角.C和D有2对，C和E没有同旁内角，C和F有2对.D和E有2对；D和F有2对.E和F有2对.共有2×12=24对.
故答案是：24.
【点睛】
本题主要考察三线八角中的同旁内角，正确理解同旁内角和准确的分类是解题的关键. 17．42°
【解析】
先根据两直线平行，同位角相等求出∠A=∠ECD=48°，再根据直角三角形两锐角互余即可求出∠B=90°-∠A=42°．
故答案为：42°.
点睛：本题考查平行线的性质和直角三角形两
解析：42°
【解析】
先根据两直线平行，同位角相等求出∠A=∠ECD=48°，再根据直角三角形两锐角互余即可求出∠B=90°-∠A=42°．
故答案为：42°.
点睛：本题考查平行线的性质和直角三角形两锐角互余的性质，灵活确定试题中的角之间的关系是关键．
18．70°．
【分析】
依据平行线的性质，可得∠BAE=∠DCE=140°，依据折叠即可得到∠α=70°．【详解】
解：如图，
∵AB∥CD，
∴∠BAE=∠DCE=140°，
由折叠可得：，
∴∠
解析：70°．
【分析】
依据平行线的性质，可得∠BAE=∠DCE=140°，依据折叠即可得到∠α=70°．
【详解】
解：如图，
∵AB∥CD，
∴∠BAE=∠DCE=140°，
由折叠可得：
1
2
DCF DCE ∠=∠，
∴∠α=70°．
故答案为：70°．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等．
19．120°
【分析】
过点F作PT//AB，则有PT//CD，根据平行线的性质可得∠GFP=30゜，∠OFP=90゜，从而可求出∠2的度数.
【详解】
过点F作PT//AB，如图，
∴∠OFP=∠N
解析：120°
【分析】
过点F作PT//AB，则有PT//CD，根据平行线的性质可得∠GFP=30゜，∠OFP=90゜，从而可求出∠2的度数.
【详解】
过点F作PT//AB，如图，
∴∠OFP=∠NOA
∵FN AB
∴∠NOA=90゜
∴∠OFP=90゜
∵AB//CD
∴CD//PT
∴∠DGF=∠GFP
∵∠DGF=∠1=30゜
∴∠GFP=30゜
∴∠2=∠OFP+∠GFP=90゜+30゜=120゜
故答案为：120゜
【点睛】
此题主要考查了平行线的判定与性质，关键是掌握两直线平行，内错角相等，同位角相等．
20．50
【分析】
根据平行线的性质解答即可．
【详解】
解：∵AB∥CD，
∴ =∠1，
∵∠1+=180°，∠=130°，
∴∠1=180°-=180°-130°=50°，∴=50°，
故答案为：5
解析：50
【分析】
根据平行线的性质解答即可．
【详解】
解：∵AB∥CD，
∴α∠ =∠1，
∵∠1+β∠=180°，∠β=130°，
∴∠1=180°-β∠=180°-130°=50°，∴α∠=50°，
故答案为：50．
【点睛】
本题考查了平行线的性质和平角的定义，解题的关键掌握平行线的性质和平角的定义．
三、解答题
21．（1）①90；②t 为3s 或6s 或9s 或18s 或21s 或24s 或27s ；（2）①正确，②错误，证明见解析．
【分析】
（1）①由平角的定义，结合已知条件可得：180,DPC CPA DPB ∠=︒-∠-∠从而可得答案；②当//BD PC 时，有两种情况，画出符合题意的图形，利用平行线的性质与角的和差求解旋转角，可得旋转时间；当//PA BD 时，有两种情况，画出符合题意的图形，利用平行线的性质与角的和差关系求解旋转角，可得旋转时间；当//AC DP 时，有两种情况，画出符合题意的图形，利用平行线的性质与角的和差关系求解旋转角，可得旋转时间；当//AC BD 时，画出符合题意的图形，利用平行线的性质与角的和差关系求解旋转角，可得旋转时间；当//AC BP 时的旋转时间与//PA BD 相同；
（2）分两种情况讨论：当PD 在MN 上方时，当PD 在MN 下方时，①分别用含t 的代数
式表示,CPD BPN ∠∠，从而可得CPD BPN
∠∠的值；②分别用含t 的代数式表示,CPD BPN ∠∠，得到BPN CPD ∠+∠是一个含t 的代数式，从而可得答案．
【详解】
解：（1）①∵∠DPC ＝180°﹣∠CPA ﹣∠DPB ，∠CPA ＝60°，∠DPB ＝30°，
∴∠DPC ＝180﹣30﹣60＝90°，
故答案为90；
②如图1﹣1，当BD ∥PC 时，
∵PC∥BD，∠DBP＝90°，
∴∠CPN＝∠DBP＝90°，
∵∠CPA＝60°，
∴∠APN＝30°，
∵转速为10°/秒，
∴旋转时间为3秒；
如图1﹣2，当PC∥BD时，
PC BD∠PBD＝90°，
∵//,
∴∠CPB＝∠DBP＝90°，
∵∠CPA＝60°，
∴∠APM＝30°，
∵三角板PAC绕点P逆时针旋转的角度为180°+30°＝210°，
∵转速为10°/秒，
∴旋转时间为21秒，
如图1﹣3，当PA∥BD时，即点D与点C重合，此时∠ACP＝∠BPD＝30°，则AC∥BP，
∵PA∥BD，
∴∠DBP＝∠APN＝90°，
∴三角板PAC绕点P逆时针旋转的角度为90°，
∵转速为10°/秒，
∴旋转时间为9秒，
如图1﹣4，当PA∥BD时，
∵∠DPB＝∠ACP＝30°，
∴AC∥BP，
∵PA∥BD，
∴∠DBP＝∠BPA＝90°，
∴三角板PAC绕点P逆时针旋转的角度为90°+180°＝270°，∵转速为10°/秒，
∴旋转时间为27秒，
如图1﹣5，当AC∥DP时，
∵AC∥DP，
∴∠C＝∠DPC＝30°，
∴∠APN＝180°﹣30°﹣30°﹣60°＝60°，
∴三角板PAC绕点P逆时针旋转的角度为60°，
∵转速为10°/秒，
∴旋转时间为6秒，
AC DP时，
如图1﹣6，当//
AC DP，
//
DPA PAC
∴∠=∠=︒，
90
∠+∠=︒-︒+︒=︒，
DPN DPA
1803090240
∴三角板PAC绕点P逆时针旋转的角度为240︒，
∵转速为10°/秒，
∴旋转时间为24秒，
如图1﹣7，当AC∥BD时，
∵AC∥BD，
∴∠DBP＝∠BAC＝90°，
∴点A在MN上，
∴三角板PAC绕点P逆时针旋转的角度为180°，
∵转速为10°/秒，
∴旋转时间为18秒，
当//
AC BP时，如图1-3，1-4，旋转时间分别为：9s，27s．
综上所述：当t为3s或6s或9s或18s或21s或24s或27s时，这两个三角形是“孪生三角形”；
（2）如图，当PD在MN上方时，
①正确，
理由如下：设运动时间为t秒，则∠BPM＝2t，
∴∠BPN＝180°﹣2t，∠DPM＝30°﹣2t，∠APN＝3t．
∴∠CPD＝180°﹣∠DPM﹣∠CPA﹣∠APN＝90°﹣t，
21802,
BPN CPD t
∴∠=∠=︒-
∴
1
.
2 CPD BPN
∠
=∠
②∠BPN+∠CPD＝180°﹣2t+90°﹣t＝270°﹣3t，可以看出∠BPN+∠CPD随着时间在变化，不为定值，结论错误．
当PD在MN下方时，如图，
①正确，
理由如下：设运动时间为t秒，则∠BPM＝2t，
∴∠BPN＝180°﹣2t，∠DPM＝230,
t-︒∠APN＝3t．∴∠CPD＝360CPA APN DPB BPN
︒-∠-∠-∠-∠
() 360603301802
t t
=︒-︒--︒-︒-
=90t
︒-
21802,
BPN CPD t
∴∠=∠=︒-
∴
1
.
2 CPD BPN
∠
=∠
②∠BPN+∠CPD＝180°﹣2t+90°﹣t＝270°﹣3t，可以看出∠BPN+∠CPD随着时间在变化，不为定值，结论错误．
综上：①正确，②错误．
【点睛】
本题考查的是角的和差倍分关系，平行线的性质与判定，角的动态定义（旋转角）的理解，掌握分类讨论的思想是解题的关键．
22．（1）CPDαβ
∠=∠+∠，理由见解析；
（2）当点P在B、O两点之间时，CPDαβ
∠=∠-∠；
当点P在射线AM上时，CPDβα
∠=∠-∠.
【分析】
（1）过P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根据平行线的性质得出
∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案；
（2）分两种情况：①点P在A、M两点之间，②点P在B、O两点之间，分别画出图形，根据平行线的性质得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出结论．
【详解】
解：(1)∠CPD＝∠α＋∠β，理由如下：
如图，过P作PE∥AD交CD于E.
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠DPE＋∠CPE＝∠α＋∠β.
(2)当点P在A、M两点之间时，∠CPD＝∠β－∠α.
理由：如图，过P作PE∥AD交CD于E.
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠CPE－∠DPE＝∠β－∠α；
当点P在B、O两点之间时，∠CPD＝∠α－∠β.
理由：如图，过P作PE∥AD交CD于E.
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠DPE－∠CPE＝∠α－∠β.
【点睛】
本题考查了平行线的性质的运用，主要考核了学生的推理能力，解决问题的关键是作平行线构造内错角，利用平行线的性质进行推导．解题时注意：问题（2）也可以运用三角形外角性质来解决．
23．（1）①∠BED=60º；②∠BED=1
2
∠ABC+
1
2
∠ADC；（2）∠BED=180º-
1 2∠ABC+
1
2
∠ADC，理由见解析．
【分析】
（1）①过点E作EF∥AB，然后说明AB∥CD∥EF，再运用平行线的性质、角平分线的性质和角的和差即可解答；
②利用平行线的性质和角平分线的性质即可确定它们的关系．
（2）过点E作EF∥AB，再运用平行线的性质、角平分线的定义和角的和差即可确定它们的关系．
【详解】
（1）①如图1，过点E作EF∥AB．
∵AB∥CD
∴AB∥CD∥EF
∴∠ABE=∠BEF，∠EDC=∠DEF．∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∴∠ABC=50º，∠ADC=70º
∴∠ABE=1
2∠ABC=15025
2
⨯=
°°，
∠EDC=1
2∠ADC=17035
2
⨯︒=︒，
∴∠BEF=25º，∠DEF=35º，
∴∠BED=∠BEF+∠DEF=25º+35º=60º；
②∵AB∥CD
∴AB∥CD∥EF
∴∠ABE=∠BEF=1
2∠ABC，∠EDC=∠DEF=1
2
∠ADC；．
∴∠BED=∠BEF +∠DEF =1
2∠ABC+1
2
∠ADC
∴∠BED=1
2∠ABC+1
2
∠ADC
（2）如图2，过点E作EF∥AB．∵AB∥CD
∴AB∥CD∥EF
∴∠EDC=∠DEF，
∵∠ABE+∠BEF=180º，
∴∠BEF=180º-∠ABE．
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，
∴∠ABE=1
2∠ABC，∠DEF=1
2
∠ADC，
∴∠BED=∠BEF+∠DEF=180º-1
2∠ABC+1
2
∠ADC．
【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质，添加辅助线构造平行线并灵活利用平行线的性质是解答本题的关键．
24．（1）理由见解析；（2）①80°，②40°；（3）38°、74°、86°、122°．
【分析】
（1）根据平行线的性质及对顶角的性质即可得证；
（2）①过拐点作AB 的平行线，根据平行线的性质推理即可得到答案；
②过点P 作AB 的平行线，根据平行线的性质及角平分线的定义求得角的度数； （3）分情况讨论，画出图形，根据三角形的内角和与外角的性质分别求出答案即可．
【详解】
（1）
//AB CD
1EFD ∴∠=∠，
2EFD ∠=∠
12∠∠∴=； （2）①分别过点M ，N 作直线GH ，IJ 与AB 平行，则//////AB CD GH IJ ，如图：
AEM EMH ∴∠=∠，CFN FNJ ∠=∠，180HMN MNJ ∠+∠=︒，
()80AEM CFN EMH FNJ EMN MNF HMN MNJ ∴∠+∠=∠+∠=∠+∠-∠+∠=︒；
②过点P 作AB 的平行线，
根据平行线的性质可得：3AEP ∠=∠，4CFP ∠=∠，
∵EP 平分∠AEM ，FP 平分∠CFN ， ∴11344022
AEP CFP AEM CFM ∠+∠=∠+∠=
∠+∠=︒， 即40P ∠=︒；
（3）分四种情况进行讨论：
由已知条件可得80BEH ∠=︒，
①如图：
118082EPG BEH AGQ ∠=︒-∠-∠=︒
182HPQ EPG ∴∠=∠=︒
11118074GQ H EHQ HPQ ∴∠=︒-∠-∠=︒
②如图：
104 BPH FHP BEH
∠=∠+∠=︒，
22122
BQ H BPH AGQ
∴∠=∠+∠=︒；
③如图：
56
BPH BEH FHP
∠=∠-∠=︒，
3338
BQ H BPH AGQ
∴∠=∠-∠=︒；
④如图：
104 BPH BEH FHP
∠=∠+∠=︒，
4486
GQ H BPH AGQ
∴∠=∠-∠=︒；
综上所述，∠GQH的度数为38°、74°、86°、122°．
【点睛】
本题考查平行线的性质，三角形外角的性质等内容，解题的关键是掌握辅助线的作法以及分类讨论的思想．
25．（1）证明见解析；（2）∠BCD＝108°；（3）70°
【分析】
（1）根据两直线平行，内错角相等得出∠EDF＝∠DAB，由角平线的定义得出∠EDF＝
∠FDC，最后根据同旁内角互补，两直线平行进行求证；
（2）设∠DCF＝x，则∠CFB＝1.5x，由两直线平行，内错角相等得出∠ABF＝1.5x，由角平分线的定义得出∠ABC＝3x，最后利用两直线平行，同旁内角互补得出关于x的方程，求解即可；
（3）画出图形，根据两直线平行，同旁内角互补得出∠CDF＝∠CBF，由角平分线的定义与已知条件可求出∠ABC与∠FDC，由平移的性质与平行公理的推论得出AD∥PQ，最后根据两直线平行，同旁内角互补列式求解．
【详解】
解：（1）证明：∵AB∥DE，
∴∠EDF＝∠DAB，
∵DF平分∠EDC，
∴∠EDF＝∠FDC，
∴∠FDC＝∠DAB，
∵∠FDC+∠ABC＝180°，
∴∠DAB+∠ABC＝180°，
∴AD∥BC；
（2）∵
3
2
CFB DCF
∠=∠，设∠DCF＝x，则∠CFB＝1.5x，
∵CF∥AB，
∴∠ABF＝∠CFB＝1.5x，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠ABF＝3x，
∵AD∥BC，
∴∠FDC+∠BCD＝180°，
∵∠FDC+∠ABC＝180°，
∴∠BCD＝∠ABC＝3x，
∴∠BCF＝2x，
∵CF∥AB，
∴∠ABC+∠BCF＝180°，
∴3x+2x＝180°，
∴x＝36°，
∴∠BCD＝3×36°＝108°；
（3）如图，∵∠DCF＝∠CFB，
∴BF∥CD，
∴∠CDF +∠BFD＝180°，
∵AD∥BC，
∴∠CBF +∠BFD＝180°，
∴∠CDF＝∠CBF，
∵AD，BE分别平分∠ABC，∠CDE，
∴∠ABC＝2∠CBF，∠CDE＝2∠FDC，
∴∠ABC＝∠CDE＝2∠FDC，
∵∠FDC+∠ABC＝180°，
∴∠ABC＝120°，∠FDC＝60°，
∵线段BC沿直线AB方向平移得到线段PQ，
∴BC∥PQ，
∵AD∥BC，
∴AD∥PQ，
∵∠PQD﹣∠QDC＝20°，
∴∠QDC＝∠PQD﹣20°，
∴∠FDC+∠QDC +∠PQD＝60°+∠PQD﹣20°+∠PQD＝180°，∴∠PQD＝70°，即∠DQP＝70°．
故答案为：70°．
【点睛】
本题考查平行线的判定与性质，平行公理的推论，角平分线的定义，平移的性质，熟练运用平行线的判定与性质是解题的关键．
26．（1）见解析，（2）900,180(1).n ︒︒-
【分析】
（1）过点E 作EF ∥CD ，根据平行线的判定得出EF ∥AB ，根据平行线的性质得出即可；（2）如图②过E 作EQ ∥CD ，过F 作FW ∥CD ，过G 作GR ∥CD ，过H 作HY ∥CD ，根据平行线的判定得出EQ ∥FW ∥GR ∥HY ∥AB ∥CD ，根据平行线的性质得出即可；如图③，利用
（1）（2）②发现规律，直接得到答案．
【详解】
证明：（1）证明：过点E 作EF ∥CD ，
∵AB ∥CD ， ∴EF ∥AB ，
∴∠1+∠MEF=180°，
同理∠2+∠NEF=180°，
∴∠1+∠2+∠MEN =360°；
（2）如图②过E 作EQ ∥CD ，过F 作FW ∥CD ，过G 作GR ∥CD ，过H 作HY ∥CD ，
∵CD ∥AB ， ∴EQ ∥FW ∥GR ∥HY ∥AB ∥CD ，
∴∠1+∠MEQ=180°，∠QEF+∠EFW=180°，∠WFG+∠FGR=180°，
∠RGH+∠GHY=180°，∠YHN+∠6=180°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=5×180°=900°，
如图③，由∠1+∠2+∠MEN 3601802=︒=︒⨯，
∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠69001805=︒=︒⨯，
可得：∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+…+∠n 180(1)n =︒-，
故答案为：900°，180(1)n ︒-；
【点睛】
本题考查了平行线的性质和判定，能灵活运用平行线的性质进行推理是解此题的关键．
27．（1）∠MEN=∠AME+∠ENC ，见解析；（2）∠FEQ=15°；（3）∠BMN+∠GEK-m ∠GEH=180°．
【分析】
（1）过点E 作l ∥AB ，利用平行线的性质可得∠1=∠BME ，∠2=∠DNE ，由
∠MEN=∠1+∠2，等量代换可得结论；
（2）利用角平分线的性质可得∠NEF=12∠MEN ，∠ENP=12∠END ，由EQ ∥NP ，可得∠QEN=∠ENP=12
∠ENC ，由（1）的结论可得∠MEN =∠AME +∠ENC ，等量代换得出结论； （3）由已知可得∠EMN=
1m ∠BMN ，∠GEN=1m ∠GEK ，由EH ∥MN ，可得∠HEM=∠ENM=
1m
∠AMN ，因为∠GEH=∠GEM-∠HEM ，等量代换得出结论． 【详解】
解：(1)过点E 作l ∥AB ，
∵AB ∥CD ，∴l ∥AB ∥CD
∴∠1=∠AME ，∠2=∠CNE ．
∵∠MEN =∠1+∠2，
∴∠MEN =∠AME +∠ENC ；
（2）∵EF 平分∠MEN ，NP 平分∠ENC ，
∴∠NEF =12∠MEN ，∠ENP =12
∠ENC ． ∵EQ ∥NP ，∴∠QEN =∠ENP =
12∠ENC ． 由（1）可得∠MEN =∠AME +∠ENC ，∴∠MEN -∠ENC =∠AME =30°．
∴∠FEQ=∠NEF-∠NEQ=1
2
（∠MEN-∠ENC）=
1
2
×30°=15°；
(3)∠BMN+∠GEK-m∠GEH=180°．理由如下：∵∠AMN=m∠EMN，∠GEK=m∠GEM，
∴∠EMN=1
m
∠AMN，∠GEM=
1
m
∠GEK．
∵EH∥MN，∴∠HEM=∠EMN=1
m
∠AMN．
∵∠GEH=∠GEM-∠HEM=1
m
∠GEK-
1
m
∠AMN，
∴m∠GEH=∠GEK-∠AMN．
∵∠BMN+∠AMN=180°，
∴∠BMN+∠GEK-m∠GEH=180°．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，平行公理以及角平分线的定义等知识点，作出适当的辅助线，结合图形等量代换是解答此题的关键．
28．（1）见解析；（2）225°；（3）3∠CNP=∠CIP+∠IPN或3∠IPN=∠CIP+∠CNP．
【分析】
(1)如图1中，过E作EF∥a，利用平行线的性质即可解决问题；
(2)如图2中，作FM∥a，GN∥b，设∠ABF=∠EBF=x，∠ADG=∠CDG=y，可得x+y=45°，证明∠AFB=180°-（2y+x），∠CGD=180°-（2x+y），推出∠AFB+∠CGD=360°-（3x+3y）即可解决问题；
(3)分两种情形：①当点N在∠DCB内部时，②当点N′在直线CD的下方时，分别画出图形求解即可．
【详解】
(1)证明：如图1中，过E作EF∥a．
∵a∥b，
∴a∥b∥EF，
∵AD⊥BC，
∴∠BED=90°，
∵EF∥a，
∴∠ABE=∠BEF，
∵EF∥b，
∴∠ADC=∠DEF，
∴∠ABC+∠ADC=∠BED=90°．
(2)解：如图2中，作FM∥a，GN∥b，
设∠ABF=∠EBF=x，∠ADG=∠CDG=y，
由（1）知：2x+2y=90°，x+y=45°，
∵FM∥a∥b，
∴∠BFD=2y+x，
∴∠AFB=180°-（2y+x），
同理：∠CGD=180°-（2x+y），
∴∠AFB+∠CGD=360°-（3x+3y），
=360°-3×45°=225°．
(3)解：如图，设PN交CD于E．
当点N在∠DCB内部时，∵∠CIP=∠PBC+∠IPB，∴∠CIP+∠IPN=∠PBC+∠BPN+2∠IPE，
∵PN平分∠EPB，
∴∠EPB=∠EPI，
∵AB∥CD，
∴∠NPE=∠CEN，∠ABC=∠BCE，
∵∠NCE=1
2
∠BCN，
∴∠CIP+∠IPN=3∠PEC+3∠NCE=3（∠NCE+∠NEC）=3∠CNP．
当点N′在直线CD的下方时，同理可知：∠CIP+∠CNP=3∠IPN，
综上所述：3∠CNP=∠CIP+∠IPN或3∠IPN=∠CIP+∠CNP．
【点睛】
本题考查平行线的性质，对顶角相等等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．。