【金版学案】2021届高考数学总温习 第十一章 第四节参数方程课时精练 理(1)

第四节 参数方程
1．直线⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝－1＋3t ，
y ＝2－3t (t 为参数)的倾斜角为________．
解析：消去参数t ，得直线的一般方程为y ＝－x ＋1，斜率k ＝－1，因此直线的倾斜角为3π
4.
答案：3π4
2．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝2＋5cos θ，
y ＝－1＋5sin θ
(θ为参数)，以O 为极点，x 轴正方
向为极轴成立极坐标系，那么曲线C 的极坐标方程为________．
解析：曲线C 的参数方程化为一般方程是(x －2)2＋(y ＋1)2＝5，即x 2＋y 2－4x ＋2y ＝0 ，利用极坐标与直
角坐标的互化公式⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝ρcos α，
y ＝ρsin α，将曲线C 的一般方程化为极坐标方程，得ρ2－4ρcos α＋2ρsin α＝0，即ρ
＝4cos α－2sin α.
答案：ρ＝4cos α－2sin α
3．(2021·新课标全国卷Ⅰ改编)已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝4＋5cos t ，
y ＝5＋5sin t
(t 为参数)，以坐标原点为极点，
x 轴的正半轴为极轴成立极坐标系，那么曲线C 的极坐标方程为______________________．
解析：将⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝4＋5cos t ，
y ＝5＋5sin t 消去参数t ，化为一般方程(x －4)2＋(y －5)2＝25，
即C ：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，将⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝ρcos θ，
y ＝ρsin θ代入上述方程得，
ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0，即为C 的极坐标方程．
答案：ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0
4．(2021·湛江二模)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝2＋2cos θ，
y ＝2sin θ(θ∈[0,2π]，θ为参数)，
假设以O 为极点，x 轴正半轴为极轴，那么曲线C 的极坐标方程是________．
解析：将⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ，化为一般方程为(x －2)2＋y 2＝4，由互化公式⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝ρcos θ，
y ＝ρsin θ，
将(x －2)2＋y 2
＝4化为极坐标方程，得(ρcos θ－2)2＋(ρsin θ)2＝4，即ρ＝4cos θ.
答案：ρ＝4cos θ
5．假设直线3x ＋4y ＋m ＝0与圆⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝1＋cos θ，
y ＝－2＋sin θ(θ为参数)没有公共点，那么实数m 的取值范围是
________________．
答案：(－∞，0)∪(10，＋∞)
6．过点A (2,3)的直线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2＋t ，
y ＝3＋2t
(t 为参数)，假设此直线与直线x －y ＋3＝0相交于点B ，那
么|AB |＝________.
解析：将直线的参数方程代入一般方程中，可得t ＝2，于是得B (4,7)，由两点间距离公式得|AB |＝2 5.
答案：2
5
7.在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴成立坐标系．已知射线θ＝π
4
与曲线
⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝t ＋1，y ＝t －1
2
(t 为参数)相交于A ，B 两点，那么线段AB 的中点的直角坐标为______________．
解析：曲线⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝t ＋1，
y ＝（t －1）2
化为直角坐标方程是y ＝(x －2)2，射线θ＝π
4
化为直角坐标方程是y ＝
x (x ≥0)．联立⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝（x －2）2，
y ＝x （x ≥0），消去y 得x 2－5x ＋4＝0，解得x 1＝1，x 2＝4.因此y 1＝1，y 2＝4.故线段AB
的中点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，即⎝ ⎛⎭
⎪⎫
52，52. 答案：⎝ ⎛⎭
⎪⎫
52，52
8．(2021·西安八校联考)已知曲线C: ⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝cos θ，
y ＝2sin θ
(参数θ∈R )通过点⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，12，那么实数m ＝________.
解析：将曲线C ：⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝cos θ，
y ＝2sin θ(参数θ∈R )化为一般方程为x 2＋y 24＝1，将点⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，12代入该椭圆方程，得
m 2＋
1
4×4
＝1，即
m 2＝
1516，因此m ＝±15
4
. 答案：±15
4
9．已知动圆：x 2＋y 2－2ax cos θ－2by sin θ＝0(a ，b 是正常数，a ≠b ，θ是参数)，那么圆心的轨迹是________． 答案：椭圆
10．直线⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝1－2t ，y ＝2＋2t
(t 为参数)上到点A (1,2)的距离为42的点的坐标为__________．
解析：设直线上的点为(1－2t,2＋2t )，那么有（1－2t －1）2＋（2＋2t －2）2＝42，解得t 1
＝2
2或t 2＝－2
2，于是得点的坐标为(－3,6)或(5，－2)．
答案：(－3,6)或(5，－2)
11．曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1＋cos θ，
y ＝sin θ
(θ为参数)上的点到直线
C 2
：⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝－2
2＋1
2
t ，
y ＝1－1
2t (t 为参数)上的点的最短距离为________．
答案：1
12．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝12
t ，y ＝22＋3
2t
(t 为参数)，假设以直角坐标系xOy 的O 点为极点，Ox
方向为极轴，选择相同的长度单位成立极坐标系，得曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
θ－π4.
(1)求直线l 的倾斜角；
(2)假设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求|AB |.
解析：(1)直线参数方程能够化为⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝t cos 60°，y ＝2
2
＋t sin 60°，
依照直线参数方程的意义，这是一条通过点⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫0，
22，倾斜角为60°的直线．
(2)直线l 的直角坐标方程为y ＝
3x ＋
22，
即
3x －y ＋2
2
＝0，
极坐标方程ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4的直角坐标方程为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －222＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫y －222＝1， 因此圆心⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫22，22到直线l 的距离
d ＝⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
⎪3×22（
3）2＋（－1）2
＝
64
，
因此|AB |＝2r 2－d 2＝
10
2
.
13．在平面直角坐标系xOy 中，求过椭圆⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)的右核心，且与直线⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝4－2t ，
y ＝3－t (t 为参数)平行的直线的一般方程．
解析：由题设知，椭圆的长半轴长a ＝5，短半轴长b ＝3，从而c ＝a 2－b 2＝4，因此右核心为(4,0)．将
已知直线的参数方程化为一般方程：x －2y ＋2＝0.
故所求直线的斜率为1
2
，
因此其方程为y ＝1
2
(x －4)，即x －2y －4＝0.
14．已知曲线C 1的参数方程是⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝2cos φ，
y ＝3sin φ(φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴成立
极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2，正方形ABCD 的极点都在C 2上，且A ，B ，C ，D 依逆时针顺序排列，
点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫
2，π3.
(1)求点A ，B ，C ，D 的直角坐标；
(2)设P 为C 1上任意一点，求|PA |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2的取值范围． 解析：(1)由已知可得A ，B ，C ，D 四点的直角坐标别离为：
A ⎝
⎛⎭⎪⎫2cos π3，2sin π3，
B ⎝ ⎛⎭⎪⎫
2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π2，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π2， C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π， D 2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋3π2，2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3＋3π2，
即A (1，
3)，B (－
3，1)，C (－1，－
3)，D （
3，－1）.
(2)设P (2cos φ，3sin φ)，
令S ＝|PA |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2，则
S＝16cos2φ＋36sin2φ＋16＝32＋20sin2φ.
因为0≤sin2φ≤1，因此S的取值范围是[32,52]．。