安徽省合肥168中学高三数学上学期10月月考试卷 理(含解析)

2015-2016学年安徽省合肥168中学高三（上）10月月考数学试卷（理
科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.把答案填在答题卡的相应位置.）
1．设集合M={（x，y）|x2+y2=1，x∈R，y∈R}，N={（x，y）|x2﹣y=0，x∈R，y∈R}，则集合M∩N中元素的个数为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．函数y=的定义域是（）
A．[﹣，﹣1）∪（1，] B．（﹣，﹣1）∪（1，）C．[﹣2，﹣1）∪（1，2] D．（﹣2，﹣1）∪（1，2）
3．设曲线y=ax﹣ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x，则a=（）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．在曲线y=x2上切线倾斜角为的点是（）
A．（0，0）B．（2，4）C．（，）D．（，）
5．偶函数f（x）的定义域为R，若f（x+2）为奇函数，且f（1）=1，则f（89）+f（90）为（）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
6．已知a为常数，则使得成立的一个充分而不必要条件是（）
A．a＞0 B．a＜0 C．a＞e D．a＜e
7．若f′（x0）=﹣3，则=（）
A．﹣3 B．﹣12 C．﹣9 D．﹣6
8．已知三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则=（）
A．﹣1 B．2 C．﹣5 D．﹣3
9．已知f（x）=x3﹣3x+m，在区间[0，2]上任取三个数a，b，c，均存在以f（a），f（b），f（c）为边长的三角形，则m的取值范围是（）
A．m＞2 B．m＞4 C．m＞6 D．m＞8
10．已知f（x），g（x）都是R上的奇函数，f（x）＞0的解集为（a2，b），g（x）＞0的解集为（，），且a2＜，则f（x）g（x）＞0的解集为（）
A．（﹣，﹣a2）∪（a2，）B．（﹣，a2）∪（﹣a2，）
C．（﹣，﹣a2）∪（a2，b）D．（﹣b，﹣a2）∪（a2，）
11．设x，y∈R，且满足，则x+y=（）
A．1 B．2 C．3 D．4
12．函数y=2|x|的定义域为[a，b]，值域为[1，16]，当a变动时，函数b=g（a）的图象可以是（）
A．B．C．
D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.）
13．f（x）=x（x﹣c）2在x=2处有极大值，则常数c的值为
．
14．已知集合，若3∈M，5∉M，则实数a的取值范围是．
15．x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，则函数f（x）=x﹣[x]的最小正周期
是．
16．已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，g（x）≠0，f′（x）g（x）＞f（x）g′（x），且f（x）=a x g（x）（a＞0且a≠1），+=．若数列{}的前n项和大于62，则n的最小值为．
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡的制定区域内.）
17．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且它的图象关于直线x=1对称．
（1）证明：f（x）是周期为4的周期函数；
（2）若f（x）=（0＜x≤1），求x∈[﹣5，﹣4]时，函数f（x）的解析式．
18．已知函数f（x）=是奇函数．
（1）求实数m的值；
（2）若函数f（x）在区间[﹣1，a﹣2]上单调递增，求实数a的取值范围．
19．已知函数f（x）=ln．
（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）求证：当x∈（0，1）时，f（x）＞2（x+）
20．已知P（x，y）为函数y=1+lnx图象上一点，O为坐标原点，记直线OP的斜率k=f（x）．（Ⅰ）若函数f（x）在区间（a，a+）（a＞0）上存在极值，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）如果对任意的x1，x2∈[e2，+∞），有|f（x1）﹣f（x2）|≥m||，求实数m的取值范围．
21．已知x n是函数f（x）=x n+x n﹣1+x n﹣2+…+x﹣1（x＞0，n∈N且n≥2）的零点．
（1）证明：＜x n+1＜x n＜1；
（2）证明：＜．
22．已知曲线C1：ρ=1，曲线C2：（t为参数）
（1）求C1与C2交点的坐标；
（2）若把C1，C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线C1′与C2′，写出C1′与C2′的参数方程，C1与C2公共点的个数和C1′与C2′公共点的个数是否相同，说明你的理由．
2015-2016学年安徽省合肥168中学高三（上）10月月考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.把答案填在答题卡的相应位置.）
1．设集合M={（x，y）|x2+y2=1，x∈R，y∈R}，N={（x，y）|x2﹣y=0，x∈R，y∈R}，则集合M∩N中元素的个数为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】交集及其运算．
【专题】计算题．
【分析】此题是点集求交集的题，也就是求交点问题，所以此题可以联立方程组，求方程组有几组解就有几个交点，也可以画图求解．
【解答】解：根据题意，M∩N={（x，y）|x2+y2=1，x∈R，y∈R}∩{（x，y）|x2﹣y=0，x∈R，y∈R}═{（x，y）|}
将x2﹣y=0代入x2+y2=1，
得y2+y﹣1=0，△=5＞0，
所以方程组有两组解，
因此集合M∩N中元素的个数为2个，
故选B．
【点评】本题既是交集运算，又是函数图形求交点个数问题
2．函数y=的定义域是（）
A．[﹣，﹣1）∪（1，] B．（﹣，﹣1）∪（1，）C．[﹣2，﹣1）∪（1，2] D．（﹣2，﹣1）∪（1，2）
【考点】函数的定义域及其求法；对数的运算性质．
【专题】计算题．
【分析】由函数表达式知，被开方数大于或等于0，故对数的真数大于0且对数值小于或等于1，x2﹣1＞0，且x2﹣1≤1；解可得答案．
【解答】解：
﹣≤x＜﹣1或1＜x≤．
∴y=的定义域为[﹣，﹣1）∪（1，]．
答案：A
【点评】考查对数的定义域和单调性．
3．设曲线y=ax﹣ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x，则a=（）
A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】导数的概念及应用．
【分析】根据导数的几何意义，即f′（x0）表示曲线f（x）在x=x0处的切线斜率，再代入计算．
【解答】解：，
∴y′（0）=a﹣1=2，
∴a=3．
故答案选D．
【点评】本题是基础题，考查的是导数的几何意义，这个知识点在高考中是经常考查的内容，一般只要求导正确，就能够求解该题．在高考中，导数作为一个非常好的研究工具，经常会被考查到，特别是用导数研究最值，证明不等式，研究零点问题等等经常以大题的形式出现，学生在复习时要引起重视．
4．在曲线y=x2上切线倾斜角为的点是（）
A．（0，0）B．（2，4）C．（，）D．（，）
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】计算题．
【分析】根据切线的倾斜角的大小，求出其切点的坐标，故先设切点的坐标，利用导数求出在切点处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．
【解答】解：y'=2x，设切点为（a，a2）
∴y'=2a，得切线的斜率为2a，所以2a=tan45°=1，
∴a=，
在曲线y=x2上切线倾斜角为的点是（，）．
故选D．
【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．
5．偶函数f（x）的定义域为R，若f（x+2）为奇函数，且f（1）=1，则f（89）+f（90）为（）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
【考点】函数奇偶性的性质．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】根据函数的奇偶性的性质，得到f（x+8）=f（x），即可得到结论．
【解答】解：∵f（x+2）为奇函数，
∴f（﹣x+2）=﹣f（x+2），
∵f（x）是偶函数，
∴f（﹣x+2）=﹣f（x+2）=f（x﹣2），
即﹣f（x+4）=f（x），
则f（x+4）=﹣f（x），f（x+8）=﹣f（x+4）=f（x），
即函数f（x）是周期为8的周期函数，
则f（89）=f（88+1）=f（1）=1，
f（90）=f（88+2）=f（2），
由﹣f（x+4）=f（x），
得当x=﹣2时，﹣f（2）=f（﹣2）=f（2），
则f（2）=0，
故f（89）+f（90）=0+1=1，
故选：D．
【点评】本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性的性质，得到函数的对称轴是解决本题的关键．
6．已知a为常数，则使得成立的一个充分而不必要条件是（）
A．a＞0 B．a＜0 C．a＞e D．a＜e
【考点】微积分基本定理；必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【专题】计算题；导数的概念及应用．
【分析】由定积分计算公式，求出函数f（x）=的一个原函数F（x）=lnx，从而利用微积分基本定理得到=lne，结合充分条件、必要条件的定义，即可得到不等式成立的一个充分而不必要条件．
【解答】解：由积分运算法则，得
=lnx=lne﹣ln1=1
因此，不等式即即a＞1，对应的集合是（1，+∞）
将此范围与各个选项加以比较，只有C项对应集合（e，+∞）是（1，+∞）的子集
∴原不等式成立的一个充分而不必要条件是a＞e
故选：C
【点评】本题给出关于定积分的一个不等式，求使之成立的一个充分而不必要条件，着重考查了定积分计算公式和充要条件的判断等知识，属于基础题．
7．若f′（x0）=﹣3，则=（）
A．﹣3 B．﹣12 C．﹣9 D．﹣6
【考点】导数的运算．
【专题】导数的概念及应用．
【分析】根据= [4]=4（）=4f′（x0），利用条件求得结果．
【解答】解：∵f′（x0）=﹣3，则=
[4]=4（）=4f′（x0）=4×（﹣3）=﹣12，
故选：B．
【点评】本题主要考查函数在某一点的导数的定义，属于基础题．
8．已知三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则=（）
A．﹣1 B．2 C．﹣5 D．﹣3
【考点】函数在某点取得极值的条件；导数的运算．
【专题】导数的综合应用．
【分析】根据函数导数和极值之间的关系，求出对应a，b，c的关系，即可得到结论．
【解答】解：由三次函数的图象可知，x=2函数的极大值，x=﹣1是极小值，
即2，﹣1是f′（x）=0的两个根，
∵f（x）=ax3+bx2+cx+d，
∴f′（x）=3ax2+2bx+c，
由f′（x）=3ax2+2bx+c=0，
得2+（﹣1）==1，
﹣1×2==﹣2，
即c=﹣6a，2b=﹣3a，
即f′（x）=3ax2+2bx+c=3ax2﹣3ax﹣6a=3a（x﹣2）（x+1），
则===﹣5，
故选：C
【点评】本题主要考查函数的极值和导数之间的关系，以及根与系数之间的关系的应用，考查学生的计算能力．
9．已知f（x）=x3﹣3x+m，在区间[0，2]上任取三个数a，b，c，均存在以f（a），f（b），f（c）为边长的三角形，则m的取值范围是（）
A．m＞2 B．m＞4 C．m＞6 D．m＞8
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】三角形的边长为正数，而且任意两边之和大于第三边才能构成三角形，故只需求出函数在区间[0，2]上的最小值与最大值，从而可得不等式，即可求解．
【解答】解：由f′（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1）=0得到x1=1，x2=﹣1（舍去）
∵函数的定义域为[0，2]
∴函数在（0，1）上f′（x）＜0，（1，2）上f′（x）＞0，
∴函数f（x）在区间（0，1）单调递减，在区间（1，2）单调递增，
则f（x）min=f（1）=m﹣2，f（x）max=f（2）=m+2，f（0）=m
由题意知，f（1）=m﹣2＞0 ①；
f（1）+f（1）＞f（2），即﹣4+2m＞2+m②
由①②得到m＞6为所求．
故选C
【点评】本题以函数为载体，考查构成三角形的条件，解题的关键是求出函数在区间[0，2]上的最小值与最大值
10．已知f（x），g（x）都是R上的奇函数，f（x）＞0的解集为（a2，b），g（x）＞0的解集为（，），且a2＜，则f（x）g（x）＞0的解集为（）
A．（﹣，﹣a2）∪（a2，）B．（﹣，a2）∪（﹣a2，）
C．（﹣，﹣a2）∪（a2，b）D．（﹣b，﹣a2）∪（a2，）
【考点】函数奇偶性的性质．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】根据函数奇偶性的性质，求出不等式f（x）＜0和g（x）＜0的解集，进行求解即可．
【解答】解：∵f（x），g（x）都是R上的奇函数，f（x）＞0的解集为（a2，b），g（x）＞0的解集为（，），且a2＜，
∴f（x）＜0的解集为（﹣b，﹣a2），g（x）＜0的解集为（﹣，﹣），
则不等式f（x）g（x）＞0等价为或，
即a2＜x＜或﹣＜x＜﹣a2，
故不等式的解集为（﹣，﹣a2）∪（a2，），
故选：A．
【点评】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性的对称性的性质求出f（x）＜0和g （x）＜0的解集是解决本题的关键．
11．设x，y∈R，且满足，则x+y=（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】函数的零点．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】根据条件，构造函数f（t）=t3+2t+sint，利用函数f（t）的奇偶性和单调性解方程即可．
【解答】解：∵（x﹣2）3+2x+sin（x﹣2）=2，
∴（x﹣2）3+2（x﹣2）+sin（x﹣2）=2﹣4=﹣2，
∵（y﹣2）3+2y+sin（y﹣2）=6，
∴（y﹣2）3+2（y﹣2）+sin（y﹣2）=6﹣4=2，
设f（t）=t3+2t+sint，
则f（t）为奇函数，且f'（t）=3t2+2+cost＞0，
即函数f（t）单调递增．
由题意可知f（x﹣2）=﹣2，f（y﹣2）=2，
即f（x﹣2）+f（y﹣2）=2﹣2=0，
即f（x﹣2）=﹣f（y﹣2）=f（2﹣y），
∵函数f（t）单调递增
∴x﹣2=2﹣y，
即x+y=4，
故选：D．
【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，利用条件构造函数f（t）是解决本题的关键，综合考查了函数的性质．
12．函数y=2|x|的定义域为[a，b]，值域为[1，16]，当a变动时，函数b=g（a）的图象可以是（）
A．B．C．
D．
【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数的图象．
【专题】计算题；压轴题；数形结合．
【分析】根据a变动时，以及函数的值域可知b为定值4，结合选项即可得到答案．
【解答】解：根据选项可知a≤0
a变动时，函数y=2|x|的定义域为[a，b]，值域为[1，16]，
∴2|b|=16，b=4
故选B．
【点评】本题主要考查了指数函数的定义域和值域，同时考查了函数图象，属于基础题．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.）
13．f（x）=x（x﹣c）2在x=2处有极大值，则常数c的值为
6 ．
【考点】利用导数研究函数的极值．
【专题】计算题．
【分析】先求出f′（x），根据f（x）在x=2处有极大值则有f′（2）=0得到c的值为2
或6，先让c=2然后利用导数求出函数的单调区间，从而得到x=2取到极小值矛盾，所以舍去，所以得到c的值即可．
【解答】解：f（x）=x3﹣2cx2+c2x，f′（x）=3x2﹣4cx+c2，
f′（2）=0⇒c=2或c=6．若c=2，f′（x）=3x2﹣8x+4，
令f′（x）＞0⇒x＜或x＞2，f′（x）＜0⇒＜x＜2，
故函数在（﹣∝，）及（2，+∞）上单调递增，在（，2）上单调递减，
∴x=2是极小值点．故c=2不合题意，c=6．
故答案为6
【点评】考查学生利用导数研究函数极值的能力，会利用待定系数法求函数解析式．
14．已知集合，若3∈M，5∉M，则实数a的取值范围是[1，）∪（9，25] ．
【考点】其他不等式的解法．
【专题】集合．
【分析】根据分式不等式的解法，对实数a进行分类讨论，然后结合条件3∈M，5∉M进行求解．
【解答】解：∵集合，
得（ax﹣5）（x2﹣a）＜0，
当a=0时，显然不成立，
当a＞0时，原不等式可化为
，
若时，只需满足
，
解得；
若，只需满足
，
解得
9＜a≤25，
当a＜0时，不符合条件，
综上，
故答案为[1，）∪（9，25]．
【点评】本题重点考查分式不等式的解法，不等式的性质及其应用和分类讨论思想的灵活运用，属于中档题．
15．x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，则函数f（x）=x﹣[x]的最小正周期是 1 ．
【考点】函数的周期性．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】当x∈[0，1）时，画出函数f（x）=x﹣[x]的图象，再左右扩展知f（x）为周期函数．由此利用数形结合思想能求出函数f（x）=x﹣[x]的最小正周期．
【解答】解：∵x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，
∴如图，当x∈[0，1）时，画出函数f（x）=x﹣[x]的图象，
再左右扩展知f（x）为周期函数．
结合图象得到函数f（x）=x﹣[x]的最小正周期是1．
故答案为：1．
【点评】本题考查函数的最小正周期的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．
16．已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，g（x）≠0，f′（x）g（x）＞f（x）g′（x），且f（x）=a x g（x）（a＞0且a≠1），+=．若数列{}的前n项和大于62，则n的最小值为 6 ．
【考点】数列的求和；导数的运算．
【专题】等差数列与等比数列．
【分析】由已知条件推导出=a x，利用导数的性质求出=a x是增函数，利用+=推导出a=2．从而得到数列{}为{2n}．由此能求出结果．
【解答】解：∵f（x）=a x g（x）（a＞0且a≠1），
∴=a x，
又∵f′（x）g（x）＞f（x）g′（x），
∴（）′=＞0，
∴=a x是增函数，
∴a＞1，
∵+=．
∴a1+a﹣1=，解得a=或a=2．
综上得a=2．
∴数列{}为{2n}．
∵数列{}的前n项和大于62，
∴2+22+23+…+2n==2n+1﹣2＞62，
即2n+1＞64=26，
∴n+1＞6，解得n＞5．
∴n的最小值为6．
故答案为：6．
【点评】本题考查等比数列的前n项和公式的应用，巧妙地把指数函数、导数、数列融合在一起，是一道好题．
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡的制定区域内.）
17．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且它的图象关于直线x=1对称．
（1）证明：f（x）是周期为4的周期函数；
（2）若f（x）=（0＜x≤1），求x∈[﹣5，﹣4]时，函数f（x）的解析式．
【考点】函数奇偶性的性质；函数解析式的求解及常用方法；函数的周期性．
【专题】计算题；证明题．
【分析】（1）由函数f（x）的图象关于直线x=1对称，有f（x+1）=f（1﹣x），即有f（﹣x）=f（x+2）．又函数f（x）是定义在R上的奇函数，故f（x+2）=﹣f（x），得到f（x）是周期为4的周期函数．
（2）根据函数f（x）是定义在R上的奇函数，得到x∈[﹣1，0]时的解析式．当x∈[﹣5，﹣4]时，x+4∈[﹣1，0]，写出解析式，得到x∈[﹣5，﹣4]时，函数f（x）的解析式．
【解答】（1）证明：由函数f（x）的图象关于直线x=1对称，
有f（x+1）=f（1﹣x），即有f（﹣x）=f（x+2）．
又函数f（x）是定义在R上的奇函数，有f（﹣x）=﹣f（x）．故f（x+2）=﹣f（x）．
从而f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x）．即f（x）是周期为4的周期函数．
（2）解：由函数f（x）是定义在R上的奇函数，有f（0）=0．x∈[﹣1，0）时，﹣x∈（0，1]，．故x∈[﹣1，0]时，．x∈[﹣5，﹣4]时，x+4∈[﹣1，0]，．
从而，x∈[﹣5，﹣4]时，函数f（x）的解析式为．
【点评】本题考查函数奇偶性的性质，函数解析式的求解常用的方法，本题解题的关键是根据函数是一个奇函数对函数式进行整理，本题是一个中档题目．
18．已知函数f（x）=是奇函数．
（1）求实数m的值；
（2）若函数f（x）在区间[﹣1，a﹣2]上单调递增，求实数a的取值范围．
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】（1）根据函数奇偶性的性质建立条件关系即可．
（2）利用数形结合，以及函数奇偶性和单调性的关系进行判断即可．
【解答】解：（1）∵f（x）是奇函数，
∴设x＞0，则﹣x＜0，
∴f（﹣x）=（﹣x）2﹣mx=﹣f（x）=﹣（﹣x2+2x）
从而m=2．
（2）由f（x）的图象知，若函数f（x）在区间[﹣1，a﹣2]上单调递增，
则﹣1≤a﹣2≤1
∴1≤a≤3
【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用以及函数单调性的判断，利用数形结合是解决本题的关键．
19．已知函数f（x）=ln．
（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）求证：当x∈（0，1）时，f（x）＞2（x+）
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．
【专题】导数的概念及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．
【分析】（1）求得函数的导数，求得切线的斜率和切点坐标，即可得到所求切线的方程；（2）构造函数y=ln﹣2（x+），0＜x＜1，求得导数，判断符号，由单调性即可得证．【解答】（1）解：f（x）=ln的导数为
f′（x）==﹣，
可得在点（0，f（0））处的切线斜率为2，切点（0，0），
即有在点（0，f（0））处的切线方程为y=2x；
（2）证明：由y=ln﹣2（x+），0＜x＜1，
导数为y′=﹣2（1+x2）
=﹣2（1+x2）=，
由0＜x＜1可得＞0，
即导数y′＞0在（0，1）恒成立，
则有函数y=ln﹣2（x+）在（0，1）递增，
则有ln﹣2（x+）＞0，
故有当x∈（0，1）时，f（x）＞2（x+）．
【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间，考查不等式的证明，注意运用单调性，属于中档题．
20．已知P（x，y）为函数y=1+lnx图象上一点，O为坐标原点，记直线OP的斜率k=f（x）．（Ⅰ）若函数f（x）在区间（a，a+）（a＞0）上存在极值，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）如果对任意的x1，x2∈[e2，+∞），有|f（x1）﹣f（x2）|≥m||，求实数m的取值范围．
【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】导数的综合应用．
【分析】（I）由斜率计算公式可得f（x）=，再利用函数在区间（a，a+）（a＞0）上存在极值时与参数的关系即可得出；
（（II）由（I）可知：函数f（x）在∈[e2，+∞）单调递减，不妨设，则|f （x1）﹣f（x2）|≥m||，⇔f（x2）﹣f（x1）
|≥m⇒．⇔函数F（x）=f（x）﹣在∈[e2，+∞）单调递减，再利用导数研究其单调性即可．
【解答】解：（I）k=f（x）=，f′（x）=，
当0＜x＜1时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；当1＜x时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减．
故f（x）在x=1处取得极大值1．
∵函数f（x）在区间（a，a+）（a＞0）上存在极值，
∴，解得，
∴实数a的取值范围是．
（II）由（I）可知：函数f（x）在∈[e2，+∞）单调递减，
不妨设，
则|f（x1）﹣f（x2）|≥m||⇔f（x2）﹣f（x1）|≥m
⇒⇔函数F（x）=f（x）﹣在x∈[e2，+∞）单调递减．F（x）=，x∈[e2，+∞）．∴F′（x）=≤0在x∈[e2，+∞）恒成立，
∴m≤lnx在x∈[e2，+∞）上恒成立，
∴m≤2．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、在给出含参数区间上取得极值的条件、恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．
21．已知x n是函数f（x）=x n+x n﹣1+x n﹣2+…+x﹣1（x＞0，n∈N且n≥2）的零点．
（1）证明：＜x n+1＜x n＜1；
（2）证明：＜．
【考点】综合法与分析法(选修）；函数零点的判定定理；利用导数求闭区间上函数的最值．
【专题】综合题；导数的综合应用．
【分析】（1）求导数，证明f（x）在（0，+∞）上是增函数，利用f（1）=n﹣1＞0，f（）=1﹣＜0，可得f（x）在（，1）内有唯一零点，利用反证法证明x n+1＜x n；
（3）原不等式等价于x2+x3+…+x n＜，证明x n＜+，即可得出结论．
【解答】证明：（1）∵f（x）=x n+x n﹣1+x n﹣2+…+x﹣1，
∴f′（x）=nx n﹣1+（n﹣1）x n﹣2+…+2x+1，
∵x＞0，
∴f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数，且连续
∵f（1）=n﹣1＞0，f（）=1﹣＜0，
∴f（x）在（，1）内有唯一零点，
∴＜x n＜1，
假设：x n+1≥x n，
∴x n+1n+1+x n+1n+x n﹣2+…+x n+1﹣1＞x n n+x n n﹣1+x n n﹣2+…+x n﹣1，
∴f（x n+1）＞f（x n），
即0＞0，矛盾，
∴x n+1＜x n，
∴＜x n+1＜x n＜1；
（2）原不等式等价于x2+x3+…+x n＜，
∵|f（x n）﹣f（）|=|x n n+x n n﹣1+x n n﹣2+…+x n﹣1﹣）n﹣…﹣+1|＞x n﹣
f（x n）=0，f（）=﹣，
∴x n＜+，
∴x2+…+x n＜+=+﹣＜
∴＜．
【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的零点，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，难度大．
22．已知曲线C1：ρ=1，曲线C2：（t为参数）
（1）求C1与C2交点的坐标；
（2）若把C1，C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线C1′与C2′，写出C1′与C2′的参数方程，C1与C2公共点的个数和C1′与C2′公共点的个数是否相同，说明你的理由．
【考点】简单曲线的极坐标方程．
【专题】计算题；转化思想；综合法；坐标系和参数方程．
【分析】（1）分别求出C1的直角坐标方程和C2的普通方程，联立方程组能求出C1与C2交点的坐标．
（2）压缩后的参数方程分别为：（θ为参数）：（t
为参数），化为普通方程，联立消元，由其判别式得到压缩后的直线与椭圆仍然只有一个公共点，和C1与C2公共点个数相同．
【解答】解：（1）∵曲线C1：ρ=1，∴C1的直角坐标方程为x2+y2=1，
∴C1是以原点为圆心，以1为半径的圆，
∵曲线C2：（t为参数），∴C2的普通方程为x﹣y+=0，是直线，
联立，解得x=﹣，y=．
∴C2与C1只有一个公共点：（﹣，）．
（2）压缩后的参数方程分别为
：（θ为参数）：（t为参数），
化为普通方程为：：x2+4y2=1，：y=，
联立消元得，
其判别式，
∴压缩后的直线与椭圆仍然只有一个公共点，和C1与C2公共点个数相同．
【点评】本题考查两曲线的交点坐标的求法，考查压缩后的直线与椭圆的公共点个数的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意一元二次方程的根的判别式的合理运用．。