2018-2019学年福建省漳州市台商投资区八年级(下)期中数学试卷

2018-2019学年福建省漳州市台商投资区八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）若等腰三角形的顶角为40°，则它的底角度数为（）
A．40°B．50°C．60°D．70°
2．（4分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
3．（4分）不等式x+1≥2x﹣1的解集在数轴上表示为（）
A．B．
C．D．
4．（4分）如图，已知AB＝AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（）
A．CB＝CD B．∠BAC＝∠DAC C．∠BCA＝∠DCA D．∠B＝∠D＝90°
5．（4分）如图，将“笑脸”图标向右平移4个单位，再向下平移2个单位，点P的对应点P'的坐标是（）
A．（﹣1，6）B．（﹣9，6）C．（﹣1，2）D．（﹣9，2）
6．（4分）如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则∠EBC的度数是（）
A．15°B．20°C．65°D．100°
7．（4分）下列说法中，错误的是（）
A．不等式﹣2x＞6的解集是x＜﹣3
B．不等于x＞﹣3的正数解有有限个
C．﹣3不是不等式﹣3x＞9的解
D．若a＞b，则c﹣2a＜c﹣2b
8．（4分）为有效开展“阳光体育”活动，某校计划购买篮球和足球共50个，购买资金不超过3000元．若每个篮球80元，每个足球50元，则篮球最多可购买（）
A．16个B．17个C．33个D．34个
9．（4分）如图，直线y＝kx+b经过点A（﹣1，﹣2）和点B（﹣2，0），直线y＝2x过点A，则不等式2x＜kx+b＜0的解集为（）
A．x＜﹣2B．﹣2＜x＜﹣1C．﹣2＜x＜0D．﹣1＜x＜0
10．（4分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝1，且AC在直线l上，将△ABC绕点A顺时针旋转到B位置①，可得到点P1，此时AP1＝2；将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，可得到点P2，此时AP2＝2+；将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3，此时AP3＝3+；…按此规律继续旋转，直到点P2018为止，则AP2018等于（）
A．2016+673B．2017+673C．2018+673D．2019+673
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．）
11．（4分）x与3的和是负数，用不等式表示为．
12．（4分）用反证法证明“三角形中至少有一个角不小于60°时，假设“”，则与“”矛盾，所以原命题正确．
13．（4分）如图，O是∠BAC内一点，且点O到AB，AC的距离OE，OF相等，则△AEO≌△AFO的依据是．
14．（4分）如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝60°，点D为AB边的中点，DE⊥BC于E，若BE＝1，则AC的长为．
15．（4分）如图所示，在△ABC中，∠CAB＝70°，在同一平面内，将△ABC绕A点逆时针旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，则∠BAB′＝．
16．（4分）若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是．
三、解答题（共86分）
17．（12分）解不等式：
（1）＜x+1，并把它的解集在数轴上表示出来．
（2）求不等式3（x+1）≥5x﹣3的正整数解．
18．（8分）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
19．（8分）如图，已知△ABC中，AB＝AC，D为AC上一点，∠DBC＝∠BAC求证：AC⊥BD．请将下面的证明过程补充完整，并在相应的括号内注明理由．
证明：如图，过点A作AE⊥BC于点E，交BD于点F．
AB＝AC，AE⊥BC．
∴∠CAE＝
∵∠DBC＝∠BAC，（已知）
∴∠CAE＝∠DBC（）
又∵∠1＝∠2，∠ADF＝180°﹣∠2﹣，
∠BEF＝180°﹣∠1﹣
∴AC⊥BD（）．
20．（6分）如图，在钝角△ABC中，过钝角顶点B作BD⊥BC交AC于点D．请用尺规作图法在BC边上求作一点P，使得点P到AC的距离等于BP的长．（保留作图痕迹，不写作法）
21．（8分）△ABC在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示．
（1）作△ABC关于点C成中心对称的△A1B1C1．
（2）将△A1B1C1向右平移4个单位，作出平移后的△A2B2C2．
（3）在x轴上求作一点P，使P A1+PC2的值最小，并写出点P的坐标（不写解答过程，直接写出结果）
22．（10分）如图1、图2，△AOB，△COD均是等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°，（1）在图1中，AC与BD相等吗？请说明理由；
（2）若△COD绕点O顺时针旋转一定角度后，到达图2的位置，请问AC与BD还相等吗？为什么？
23．（10分）定义运算min{a，b}：当a≥b时，min{a，b}＝b；当a＜b时，min{a，b}＝a；如：min{4，0}＝0；
min{2，2}＝2；min{﹣3，﹣1}＝﹣3．根据该定义运算完成下列问题：
（1）min{﹣3，2}＝，当x≤2时，min{x，2}＝；
（2）若min{3x﹣1，﹣x+3}＝3x﹣1，求x的取值范围；
（3）如图，已知直线y1＝x+m与y2＝kx﹣2相交于点P（﹣2，1），若min{x+m，kx﹣2}＝kx﹣2，结合图象，直
接写出x的取值范围是．
24．（12分）市园林处为了对一段公路进行绿化，计划购买A，B两种风景树共900棵．A，B两种树的相关信息如下表：
若购买A种树x棵，购树所需的总费用为y元．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若购树的总费用不超过82 000元，则购A种树不少于多少棵？
（3）若希望这批树的成活率不低于94%，且使购树的总费用最低，应选购A，B两种树各多少棵？此时最低费用为多少？
25．（12分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E．
（1）当∠BDA＝115°时，∠EDC＝°，∠DEC＝°；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变（填“大”或“小”）；
（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；
（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数．若不可以，请说明理由．
2018-2019学年福建省漳州市台商投资区八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．【解答】解：因为等腰三角形的两个底角相等，
又因为顶角是40°，
所以其底角为＝70°．
故选：D．
2．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：B．
3．【解答】解：移项，得：x﹣2x≥﹣1﹣1，
合并同类项，得：﹣x≥﹣2，
系数化为1，得：x≤2，
将不等式的解集表示在数轴上如下：
，
故选：B．
4．【解答】解：A、添加CB＝CD，根据SSS，能判定△ABC≌△ADC，故A选项不符合题意；
B、添加∠BAC＝∠DAC，根据SAS，能判定△ABC≌△ADC，故B选项不符合题意；
C、添加∠BCA＝∠DCA时，不能判定△ABC≌△ADC，故C选项符合题意；
D、添加∠B＝∠D＝90°，根据HL，能判定△ABC≌△ADC，故D选项不符合题意；
故选：C．
5．【解答】解：由题意P（﹣5，4），向右平移4个单位，再向下平移2个单位，点P的对应点P'的坐标是（﹣1，2），
故选：C．
6．【解答】解：∵等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，
∴∠ABC＝，
∵DE是线段AB垂直平分线的交点，
∴AE＝BE，∠A＝∠ABE＝50°，
∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝65°﹣50°＝15°．
故选：A．
7．【解答】解：A、不等式﹣2x＞6的解集是x＜﹣3正确；
B、不等式x＞﹣3的正数解有有限个错误，应为无限个；
C、不等式﹣3x＞9的解集为x＜﹣3，故﹣3不是不等式﹣3x＞9的解正确；
D、若a＞b，则﹣2a＜﹣2b，所以﹣2a+c＜﹣2b+c，即c﹣2a＜c﹣2b正确；
故选：B．
8．【解答】解：设买篮球m个，则买足球（50﹣m）个，根据题意得：
80m+50（50﹣m）≤3000，
解得：m≤16，
∵m为整数，
∴m最大取16，
∴最多可以买16个篮球．
故选：A．
9．【解答】解：不等式2x＜kx+b＜0体现的几何意义就是直线y＝kx+b上，位于直线y＝2x上方，x轴下方的那部分点，
显然，这些点在点A与点B之间．
故选：B．
10．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝1，
∴AB＝2，BC＝，
∴将△ABC绕点A顺时针旋转到①，可得到点P1，此时AP1＝2，
将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②可得到点P2，此时AP2＝2+，
将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3，此时AP3＝3+，…
∵2018÷3＝672…2，
∴AP2018＝672（3+）+2+＝2018+673，
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．）
11．【解答】解：根据题意，得x+3＜0．
故答案是：x+3＜0．
12．【解答】解：用反证法证明“三角形中至少有一个角不小于60°时，假设“三角形的三个内角都小于60°”，则与“三角形的内角和是180°”矛盾，所以原命题正确．
13．【解答】解：∵OE⊥AB，OF⊥AC，
∴∠AEO＝∠AFO＝90°，
在Rt△AOE和Rt△AOF中，
，
∴Rt△AOE≌Rt△AOF（HL）．
故答案为HL．
14．【解答】解：∵DE⊥BC，∠B＝∠C＝60°，
∴∠BDE＝30°，
∴BD＝2BE＝2，
∵点D为AB边的中点，
∴AB＝2BD＝4，
∵∠B＝∠C＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴AC＝AB＝4，
故答案为：4．
15．【解答】解：∵△ABC绕A点逆时针旋转到△AB′C′的位置
∴AC＝AC′∠C′AB′＝∠CAB
∴∠AC′C＝∠ACC′∠C′AC＝∠B′AB
∵CC′∥AB
∴∠C′CA＝∠CAB＝70°
∴∠CAC′＝180°﹣70°×2＝40°
∵∠BAB′＝40°
16．【解答】解：，
∵不等式组无解，
∴a+4≥3a+2．
解得：a≤1
故答案为：a≤1．
三、解答题（共86分）
17．【解答】解：（1）去分母得：5x﹣1＜3x+3，移项合并得：2x＜4，
解得：x＜2，
（2）去括号得：3x+3≥5x﹣3，
移项合并得：2x≤6，
解得：x≤3，
则不等式的正整数解为1，2，3．
18．【解答】解：
解不等式①得：x＞﹣1，
解不等式②得：x≤3，
则不等式组的解集是：﹣1＜x≤3，
不等式组的解集在数轴上表示为：
19．【解答】证明：如图，过点A作AE⊥BC于点E，交BD于点F．∵AB＝AC，AE⊥BC．
∴∠CAE＝∠BAC
∵∠DBC＝∠BAC，（已知）
∴∠CAE＝∠DBC（等量代换）
又∵∠1＝∠2，∠ADF＝180°﹣∠2﹣∠CAE，
∠BEF＝180°﹣∠1﹣∠DBC，
∴AC⊥BD（垂直定义）．
故答案为：∠BAC，等量代换，∠CAE，∠DBC，垂直定义．
20．【解答】解：如图，点P即为所求．
21．【解答】解；（1）如图所示：
（2）如图所示：
（3）如图所示：作出A1关于x轴的对称点A′，连接A′C2，交x轴于点P，可得P点坐标为：（，0）．
22．【解答】解：（1）相等．
在图1中，∵△AOB，△COD均是等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°，∴OA＝OB，OC＝OD，
∴0A﹣0C＝0B﹣OD，
∴AC＝BD；
（2）相等．
在图2中，∠AOB＝∠COD＝90°，
∵∠DOB＝∠COD﹣∠COB，∠COA＝∠AOB﹣∠COB，
∴∠DOB＝∠COA
在△DOB和△COA中，
，
∴△DOB≌△COA（SAS），
∴BD＝AC．
23．【解答】解：（1）min{﹣3，2}＝﹣3，当x≤2时，min{x，2}＝x；
故答案为：﹣3，x；
（2）由题意得：3x﹣1≤﹣x+3，
4x≤4，
x≤1；
（3）∵min{x+m，kx﹣2}＝kx﹣2，
∴y1≥y2，
由图象得：x≥﹣2，
故答案为：x≥﹣2．
24．【解答】解：（1）y＝80x+100（900﹣x）
＝﹣20x+90000（0≤x≤900且为整数）；
（2）由题意得：﹣20x+90000≤82000，
解得：x≥400，
又因为计划购买A，B两种风景树共900棵，
所以x≤900，
即购A种树为：400≤x≤900且为整数．
（3）92%x+98%（900﹣x）≥94%×900
92x+98×900﹣98x≥94×900
﹣6x≥﹣4×900
x≤600
∵y＝﹣20x+90000随x的增大而减小．
∴当x＝600时，购树费用最低为y＝﹣20×600+90000＝78000（元）．
当x＝600时，900﹣x＝300，
∴此时应购A种树600棵，B种树300棵．
25．【解答】解：（1）∠EDC＝180°﹣∠ADB﹣∠ADE＝180°﹣115°﹣40°＝25°，∠DEC＝180°﹣∠EDC﹣∠C＝180°﹣40°﹣25°＝115°，
∠BDA逐渐变小；
故答案为：25°，115°，小；
（2）当DC＝2时，△ABD≌△DCE，
理由：∵∠C＝40°，
∴∠DEC+∠EDC＝140°，
又∵∠ADE＝40°，
∴∠ADB+∠EDC＝140°，
∴∠ADB＝∠DEC，
又∵AB＝DC＝2，
∴△ABD≌△DCE（AAS），
（3）当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形，理由：∵∠BDA＝110°时，
∴∠ADC＝70°，
∵∠C＝40°，
∴∠DAC＝70°，∠AED＝∠C+∠EDC＝30°+40°＝70°，
∴∠DAC＝∠AED，
∴△ADE的形状是等腰三角形；
∵当∠BDA的度数为80°时，
∴∠ADC＝100°，
∵∠C＝40°，
∴∠DAC＝40°，
∴∠DAC＝∠ADE，
∴△ADE的形状是等腰三角形．。