高中数学2.4线性回归方程
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2.4 线性回归方程
【课标要求】 1．通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点 图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系； 2．在两个变量具有线性相关关系时，会用线性回归方程进 行预测； 3．知道最小平方法的含义，知道最小平方法的思想，能根 据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程． 【核心扫描】 1．散点图的画法，回归直线方程的求解方法．(重点) 2．回归直线方程的求解方法，回归直线方程在现实生活与 生产中的应用．(难点)
x 3 5 2 8 9 12 y 4 6 3 9 12 14 求y对x的回归直线方程．
课前探究学习
课堂讲练第互十三动页，编辑于星活期页日：规二十范点训三十练分。
解 ∵ x ＝3＋5＋2＋68＋9＋12＝6.5， y ＝4＋6＋3＋69＋12＋14＝8，
6
6
xi2＝327，xiyi＝396，
i＝1
i＝1
课前探究学习
课堂讲练第互七页动，编辑于星期活日页：二规十点范三训十分练。
规律方法 (1)两变量间主要有两种关系：一是确定的函数关 系，另一是不确定的相关关系．同时要注意，两变量间也可能无 相关关系，数学中只有统计部分研究不确定的相关关系．
(2)函数关系与相关关系的区别的关键是“确定性”还是“随 机性”．
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课堂讲练第互十五动页，编辑于星活期页日：规二十范点训三十练分。
审题指导 本题考查线性回归方程的求解及利用回归直线对
n
xiyi－n x ·y
i＝1
总体进行估计．利用公式：b＝
，a＝ y －b x 来求出
n
xi2－n x 2
i＝1
系数．
【解题流程】
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课堂讲练第互十六动页，编辑于星活期页日：规二十范点训三十练分。
[规范解答] (1)由题设所给数据，可得散点图，如右图所示． (3 分)
(2)由对照数据，计算得：
4
xi2＝86，
x
＝3＋4＋4 5＋6＝4.5，
i＝1
y
＝2.5＋3＋4 4＋4.5＝3.5，已知
4
xiyi＝66.5.
i＝1
(6 分)
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课堂讲练第互十七动页，编辑于星活期页日：规二十范点训三十练分。
n
n
n
n xiyi－ xi yi
i＝1
i＝1 i＝1
b＝
n
n
，
nxi2－xi2
i＝1
i＝1
a＝ y －b x
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课堂讲练第互二页动，编辑于星期活日页：二规十点范三训十分练。
上式还可以表示为
n
n
xiyi－n x y xi－ x yi－ y
i＝1
i＝1
b＝
＝
，
nLeabharlann xi2－n x 2n
用y13x1作为拟合直线时散点图上的点到拟合直线的距离之和为课前探究学习课前探究学习活页规范训练活页规范训练课堂讲练互动课堂讲练互动课前探究学习课前探究学习活页规范训练活页规范训练课堂讲练互动课堂讲练互动思维突破题目要求利用最小二乘法思想判断哪条直线拟合程度更好不是用散点图上的点到拟合直线的距离之和最小来判断
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课堂讲练第互二十动页，编辑于星活期页日：规二十范点训三十练分。
解 (1)数据对应的散点图如图所示．
(2) x ＝155 xi＝109，lxx＝i＝51 (xi－ x )2＝1 570， y ＝23.2，lxy＝i＝51 (xi i＝1
－ x )(yi－ y )＝308，
设所求回归直线方程为y^＝b^x＋a^，
答案 ④
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课堂讲练第互九页动，编辑于星期活日页：二规十点范三训十分练。
题型二 线性回归方程的求法 【例2】 假设关于某设备的使用年限x(年)和所支出的维修费 用y(万元)有如下统计资料：
使用年限x(年) 2 3 4 5 6 维修费用y(万元) 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 若由资料知y对x呈线性相关关系，求线性回归方程＝bx＋a. [思路探索] 本题已知x与y具有线性相关关系，故无需画散点 图进行判断，可直接用公式求解．
xi－ x 2
i＝1
i＝1
a＝ y －b x .
想一想：1.相关关系是不是都为线性关系？ 提示 不是．有些变量间的相关关系是非线性相关的． 2．散点图只描述具有相关关系的两个变量所对应点的图形吗？ 提示 不是．两个变量统计数据所对应的点的图形都是散点图．
课前探究学习
课堂讲练第互三页动，编辑于星期活日页：二规十点范三训十分练。
名师点睛
1．相关关系与函数关系的异同点
关系 异同点
函数关系
相关关系
相同点
两者均是指两个变量之间的关系
是一种确定性关系 是一种非确定的关系
不同点
是两个变量之间的关 系
①一个为变量，另一个为随机变 量； ②两个都是随机变量
是一种因果关系
不一定是因果关系，也可能是伴 随关系
是一种理想关系模型 是更为一般的情况
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课堂讲练第互五页动，编辑于星期活日页：二规十点范三训十分练。
(2)利用回归直线对总体进行估计 利用回归直线，我们可以进行预测，若回归直线方程为：y^＝ bx＋a，则 x＝x0 处的估计值为：y^＝bx0＋a.
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课堂讲练第互六页动，编辑于星期活日页：二规十点范三训十分练。
题型一 相关关系的判断 【例1】 下列两个变量之间的关系中，①角度和它的余弦 值；②正方形的边长和面积；③正n边形的边数和其内角度数之 和；④人的年龄和身高．不是函数关系的是________．(填序号) [思路探索] 函数关系是一种变量之间确定性的关系．而相关 关系是非确定性关系． 解析 选项①②③都是函数关系，可以写出它们的函数表达 式：f(θ)＝cos θ，g(a)＝a2，h(n)＝nπ－2π，④不是函数关系，对 于相同年龄的人群中，仍可以有不同身高的人． 答案 ④
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课堂讲练第互一页动，编辑于星期活日页：二规十点范三训十分练。
自学导引
1．与函数关系不同，相关关系是一种 有关系，但不是
确定性 的关系．
2．能用直线方程＝be＋a近似表示的相关关系叫做线性相关
关系，该方程叫 线性回归方程
，给出一组数据(x1，
y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，线性回归方程中的系数a，b满足
课堂讲练第互二十动四页，编辑于活星页期日规：二范十训点 三练十分。
思维突破 题目要求利用最小二乘法思想判断哪条直线拟合程
度更好，不是用散点图上的点到拟合直线的距离之和最小来判
断． [正解] 用 y＝13x＋1 作为拟合直线时，所得 y 估计值与 y 的实
际值的差的平方和为 S1＝43－12＋(2－2)2＋(3－3)2＋130－42＋
6
xiyi－6 x y
i＝1
∴b＝
≈1.143，a＝ y －b x ≈0.571，
6
xi2－6 x 2
i＝1
∴回归直线方程为y^＝1.143x＋0.571.
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课堂讲练第互十四动页，编辑于星活期页日：规二十范点训三十练分。
题型三 利用回归直线对总体进行估计 【例3】 (14分)下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲 产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组 对照数据.
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课堂讲练第互四页动，编辑于星期活日页：二规十点范三训十分练。
2.回归直线方程 (1)回归直线方程的思想方法 ①回归直线：观察散点图的特征，发现各点大致分布在一条 直线的附近，就称这两个变量之间具有线性相关的关系，这条直 线叫做回归直线． 可见，根据不同的标准可画出不同的直线来近似表示这种线 性关系．比如，可以连接最左侧点和最右侧点得到一条直线；也 可 以 让 画 出 的 直 线 上 方 的 点 和 下 方 的 点 数 目 相 等 ， …… 这 些 办 法，能保证各点与此直线在整体上是最接近的吗？它们虽然都有 一定的道理，但总让人感到可靠性不强． ②最小二乘法：实际上，求回归直线方程的关键是如何用数 学的方法来刻画“从整体上看各点与此直线的距离最小”，即最 贴近已知的数据点，最能代表变量x与y之间的关系．
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课堂讲练第互十页动，编辑于星期活日页：二规十点范三训十分练。
解 制表．
i 1 2 3 4 5 合计
xi 2 3 4 5 6 20 yi 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 25 xiyi 4.4 11.4 22.0 32.5 42.0 112.3 xi2 4 9 16 25 36 90
(14 分)
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课堂讲练第互十八动页，编辑于星活期页日：规二十范点训三十练分。
【题后反思】 解决此类问题首先根据所给数据画出散点图， 根据散点图判断两个变量之间是否具有相关关系，如果两个变量 之间不具有相关关系，或者说，它们之间的关系不显著，即使求 得了线性回归方程也是毫无意义的，而且用其估计和预测的结果 也是不可信的．
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课堂讲练第互八页动，编辑于星期活日页：二规十点范三训十分练。
【变式1】 下列两个变量中具有相关关系的是________(填写 相应的序号)．
①正方体的棱长和体积；②角的弧度数和它的正弦值；③单 产为常数时，土地面积和总产量；④日照时间与水稻的亩产量．
解析 正方体的棱长x和体积V存在着函数关系V＝x3；角的 弧度数α和它的正弦值y存在着函数关系y＝sin α；单产为常数a公 斤/亩土地面积x(亩)和总产量y(公斤)之间也存在着函数关系y＝ax. 日照时间长，则水稻的亩产量高，这只是相关关系，应选④.
所以由最小平方法确定的线性回归方程的系数为
4
xiyi－4 x y
i＝1
b＝
4
＝66.58－6－4×4×4.45.×52 3.5＝0.7，
xi2－4 x 2
i＝1
a＝ y －b x ＝3.5－0.7×4.5＝0.35.
因此，所求的线性回归方程为y^＝0.7x＋0.35.
(10 分)
(3)由(2)的回归方程及技改前生产 100 吨甲产品的生产能耗，可得 降低的生产能耗为 90－(0.7×100＋0.35)＝19.65(吨标准煤)．
5
5
∴ x ＝4， y ＝5，xi2＝90，xiyi＝112.3.
i＝1
i＝1
∴b＝1129.03－－55××442×5＝1.23， a＝5－1.23×4＝0.08. ∴所求线性回归方程为y^＝1.23x＋0.08.
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课堂讲练第互十一动页，编辑于星活期页日：规二十范点训三十练分。
规律方法 求线性回归方程的一般步骤： (1)画散点图，看两个变量是不是存在线性相关关系．
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课堂讲练第互二十动一页，编辑于活星页期日规：二范十训点 三练十分。
误区警示 最小二乘法的原理不清而出错 【示例】 已知x、y之间的一组数据如下表：
x13678 y12345 对于表中数据，甲、乙两同学给出的拟合直线分别为 y＝13x ＋1 与 y＝21x＋12，试利用最小二乘法思想判断哪条直线拟合程度 更好．
131－52＝73； 用 y＝12x＋12作为拟合直线时，所得 y 估计值与 y 的实际值的
则
b^
＝
lxy lxx
＝
308 1 570
≈0.196
2
，a
＝
y
－b
x
＝ 23.2
－ 109×
308 1 570
≈1.816 6.
故所求回归直线方程为y^＝0.196 2x＋1.816.6.
(3)据(2)，当 x＝150 m2 时，销售价格的估计值为：
^y＝0.196 2×150＋1.816 6＝31.246 6(万元)．
n
n
(2)列表计算 x ， y ，xi2，xiyi.(建议用列表方法计算)
i＝1
i＝1
(3)利用(2)的结果计算 a、b，得出线性回归方程．
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课堂讲练第互十二动页，编辑于星活期页日：规二十范点训三十练分。
【变式2】 某商店统计了近6个月某商品的进价x与售价y(单 位：元)，对应数据如下：
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课堂讲练第互十九动页，编辑于星活期页日：规二十范点训三十练分。
【变式3】 以下是某地搜集到的新房屋的销售价格y和新房屋 的面积x的数据：
新房屋面积(m2) 115 110 80 135 105 销售价格(万元) 24.8 21.6 18.4 29.2 22 (1)画出数据对应的散点图； (2)求线性回归方程，并在散点图中加上回归直线； (3)据(2)的结果估计当新房屋面积为150 m2时的销售价格．
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课堂讲练第互二十动二页，编辑于活星页期日规：二范十训点 三练十分。
[错解] x、y 作为点的坐标，作出所给数据的散点图． 用 y＝13x＋1 作为拟合直线时，散点图上的点到拟合直线的距 离之和为
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课堂讲练第互二十动三页，编辑于活星页期日规：二范十训点 三练十分。
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x 3 45 6
y 2.5 3 4 4.5 (1)请画出上表数据的散点图； (2)请根据上表提供的数据，用最小平方法求出y关于x的线性 回归方程； (3) 已 知 该 厂 技 改 前 100 吨 甲 产 品 的 生 产 能 耗 为 90 吨 标 准 煤．试根据(2)求出的线性回归方程预测生产100吨甲产品的生产能 耗比技改前降低多少吨标准煤？(参考数值：3×2.5＋4×3＋5×4 ＋6×4.5＝66.5)
【课标要求】 1．通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点 图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系； 2．在两个变量具有线性相关关系时，会用线性回归方程进 行预测； 3．知道最小平方法的含义，知道最小平方法的思想，能根 据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程． 【核心扫描】 1．散点图的画法，回归直线方程的求解方法．(重点) 2．回归直线方程的求解方法，回归直线方程在现实生活与 生产中的应用．(难点)
x 3 5 2 8 9 12 y 4 6 3 9 12 14 求y对x的回归直线方程．
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课堂讲练第互十三动页，编辑于星活期页日：规二十范点训三十练分。
解 ∵ x ＝3＋5＋2＋68＋9＋12＝6.5， y ＝4＋6＋3＋69＋12＋14＝8，
6
6
xi2＝327，xiyi＝396，
i＝1
i＝1
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规律方法 (1)两变量间主要有两种关系：一是确定的函数关 系，另一是不确定的相关关系．同时要注意，两变量间也可能无 相关关系，数学中只有统计部分研究不确定的相关关系．
(2)函数关系与相关关系的区别的关键是“确定性”还是“随 机性”．
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课堂讲练第互十五动页，编辑于星活期页日：规二十范点训三十练分。
审题指导 本题考查线性回归方程的求解及利用回归直线对
n
xiyi－n x ·y
i＝1
总体进行估计．利用公式：b＝
，a＝ y －b x 来求出
n
xi2－n x 2
i＝1
系数．
【解题流程】
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[规范解答] (1)由题设所给数据，可得散点图，如右图所示． (3 分)
(2)由对照数据，计算得：
4
xi2＝86，
x
＝3＋4＋4 5＋6＝4.5，
i＝1
y
＝2.5＋3＋4 4＋4.5＝3.5，已知
4
xiyi＝66.5.
i＝1
(6 分)
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n
n
n
n xiyi－ xi yi
i＝1
i＝1 i＝1
b＝
n
n
，
nxi2－xi2
i＝1
i＝1
a＝ y －b x
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上式还可以表示为
n
n
xiyi－n x y xi－ x yi－ y
i＝1
i＝1
b＝
＝
，
nLeabharlann xi2－n x 2n
用y13x1作为拟合直线时散点图上的点到拟合直线的距离之和为课前探究学习课前探究学习活页规范训练活页规范训练课堂讲练互动课堂讲练互动课前探究学习课前探究学习活页规范训练活页规范训练课堂讲练互动课堂讲练互动思维突破题目要求利用最小二乘法思想判断哪条直线拟合程度更好不是用散点图上的点到拟合直线的距离之和最小来判断
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解 (1)数据对应的散点图如图所示．
(2) x ＝155 xi＝109，lxx＝i＝51 (xi－ x )2＝1 570， y ＝23.2，lxy＝i＝51 (xi i＝1
－ x )(yi－ y )＝308，
设所求回归直线方程为y^＝b^x＋a^，
答案 ④
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题型二 线性回归方程的求法 【例2】 假设关于某设备的使用年限x(年)和所支出的维修费 用y(万元)有如下统计资料：
使用年限x(年) 2 3 4 5 6 维修费用y(万元) 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 若由资料知y对x呈线性相关关系，求线性回归方程＝bx＋a. [思路探索] 本题已知x与y具有线性相关关系，故无需画散点 图进行判断，可直接用公式求解．
xi－ x 2
i＝1
i＝1
a＝ y －b x .
想一想：1.相关关系是不是都为线性关系？ 提示 不是．有些变量间的相关关系是非线性相关的． 2．散点图只描述具有相关关系的两个变量所对应点的图形吗？ 提示 不是．两个变量统计数据所对应的点的图形都是散点图．
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1．相关关系与函数关系的异同点
关系 异同点
函数关系
相关关系
相同点
两者均是指两个变量之间的关系
是一种确定性关系 是一种非确定的关系
不同点
是两个变量之间的关 系
①一个为变量，另一个为随机变 量； ②两个都是随机变量
是一种因果关系
不一定是因果关系，也可能是伴 随关系
是一种理想关系模型 是更为一般的情况
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(2)利用回归直线对总体进行估计 利用回归直线，我们可以进行预测，若回归直线方程为：y^＝ bx＋a，则 x＝x0 处的估计值为：y^＝bx0＋a.
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题型一 相关关系的判断 【例1】 下列两个变量之间的关系中，①角度和它的余弦 值；②正方形的边长和面积；③正n边形的边数和其内角度数之 和；④人的年龄和身高．不是函数关系的是________．(填序号) [思路探索] 函数关系是一种变量之间确定性的关系．而相关 关系是非确定性关系． 解析 选项①②③都是函数关系，可以写出它们的函数表达 式：f(θ)＝cos θ，g(a)＝a2，h(n)＝nπ－2π，④不是函数关系，对 于相同年龄的人群中，仍可以有不同身高的人． 答案 ④
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自学导引
1．与函数关系不同，相关关系是一种 有关系，但不是
确定性 的关系．
2．能用直线方程＝be＋a近似表示的相关关系叫做线性相关
关系，该方程叫 线性回归方程
，给出一组数据(x1，
y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，线性回归方程中的系数a，b满足
课堂讲练第互二十动四页，编辑于活星页期日规：二范十训点 三练十分。
思维突破 题目要求利用最小二乘法思想判断哪条直线拟合程
度更好，不是用散点图上的点到拟合直线的距离之和最小来判
断． [正解] 用 y＝13x＋1 作为拟合直线时，所得 y 估计值与 y 的实
际值的差的平方和为 S1＝43－12＋(2－2)2＋(3－3)2＋130－42＋
6
xiyi－6 x y
i＝1
∴b＝
≈1.143，a＝ y －b x ≈0.571，
6
xi2－6 x 2
i＝1
∴回归直线方程为y^＝1.143x＋0.571.
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题型三 利用回归直线对总体进行估计 【例3】 (14分)下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲 产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组 对照数据.
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2.回归直线方程 (1)回归直线方程的思想方法 ①回归直线：观察散点图的特征，发现各点大致分布在一条 直线的附近，就称这两个变量之间具有线性相关的关系，这条直 线叫做回归直线． 可见，根据不同的标准可画出不同的直线来近似表示这种线 性关系．比如，可以连接最左侧点和最右侧点得到一条直线；也 可 以 让 画 出 的 直 线 上 方 的 点 和 下 方 的 点 数 目 相 等 ， …… 这 些 办 法，能保证各点与此直线在整体上是最接近的吗？它们虽然都有 一定的道理，但总让人感到可靠性不强． ②最小二乘法：实际上，求回归直线方程的关键是如何用数 学的方法来刻画“从整体上看各点与此直线的距离最小”，即最 贴近已知的数据点，最能代表变量x与y之间的关系．
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解 制表．
i 1 2 3 4 5 合计
xi 2 3 4 5 6 20 yi 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 25 xiyi 4.4 11.4 22.0 32.5 42.0 112.3 xi2 4 9 16 25 36 90
(14 分)
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【题后反思】 解决此类问题首先根据所给数据画出散点图， 根据散点图判断两个变量之间是否具有相关关系，如果两个变量 之间不具有相关关系，或者说，它们之间的关系不显著，即使求 得了线性回归方程也是毫无意义的，而且用其估计和预测的结果 也是不可信的．
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课堂讲练第互八页动，编辑于星期活日页：二规十点范三训十分练。
【变式1】 下列两个变量中具有相关关系的是________(填写 相应的序号)．
①正方体的棱长和体积；②角的弧度数和它的正弦值；③单 产为常数时，土地面积和总产量；④日照时间与水稻的亩产量．
解析 正方体的棱长x和体积V存在着函数关系V＝x3；角的 弧度数α和它的正弦值y存在着函数关系y＝sin α；单产为常数a公 斤/亩土地面积x(亩)和总产量y(公斤)之间也存在着函数关系y＝ax. 日照时间长，则水稻的亩产量高，这只是相关关系，应选④.
所以由最小平方法确定的线性回归方程的系数为
4
xiyi－4 x y
i＝1
b＝
4
＝66.58－6－4×4×4.45.×52 3.5＝0.7，
xi2－4 x 2
i＝1
a＝ y －b x ＝3.5－0.7×4.5＝0.35.
因此，所求的线性回归方程为y^＝0.7x＋0.35.
(10 分)
(3)由(2)的回归方程及技改前生产 100 吨甲产品的生产能耗，可得 降低的生产能耗为 90－(0.7×100＋0.35)＝19.65(吨标准煤)．
5
5
∴ x ＝4， y ＝5，xi2＝90，xiyi＝112.3.
i＝1
i＝1
∴b＝1129.03－－55××442×5＝1.23， a＝5－1.23×4＝0.08. ∴所求线性回归方程为y^＝1.23x＋0.08.
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规律方法 求线性回归方程的一般步骤： (1)画散点图，看两个变量是不是存在线性相关关系．
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误区警示 最小二乘法的原理不清而出错 【示例】 已知x、y之间的一组数据如下表：
x13678 y12345 对于表中数据，甲、乙两同学给出的拟合直线分别为 y＝13x ＋1 与 y＝21x＋12，试利用最小二乘法思想判断哪条直线拟合程度 更好．
131－52＝73； 用 y＝12x＋12作为拟合直线时，所得 y 估计值与 y 的实际值的
则
b^
＝
lxy lxx
＝
308 1 570
≈0.196
2
，a
＝
y
－b
x
＝ 23.2
－ 109×
308 1 570
≈1.816 6.
故所求回归直线方程为y^＝0.196 2x＋1.816.6.
(3)据(2)，当 x＝150 m2 时，销售价格的估计值为：
^y＝0.196 2×150＋1.816 6＝31.246 6(万元)．
n
n
(2)列表计算 x ， y ，xi2，xiyi.(建议用列表方法计算)
i＝1
i＝1
(3)利用(2)的结果计算 a、b，得出线性回归方程．
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【变式2】 某商店统计了近6个月某商品的进价x与售价y(单 位：元)，对应数据如下：
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【变式3】 以下是某地搜集到的新房屋的销售价格y和新房屋 的面积x的数据：
新房屋面积(m2) 115 110 80 135 105 销售价格(万元) 24.8 21.6 18.4 29.2 22 (1)画出数据对应的散点图； (2)求线性回归方程，并在散点图中加上回归直线； (3)据(2)的结果估计当新房屋面积为150 m2时的销售价格．
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[错解] x、y 作为点的坐标，作出所给数据的散点图． 用 y＝13x＋1 作为拟合直线时，散点图上的点到拟合直线的距 离之和为
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x 3 45 6
y 2.5 3 4 4.5 (1)请画出上表数据的散点图； (2)请根据上表提供的数据，用最小平方法求出y关于x的线性 回归方程； (3) 已 知 该 厂 技 改 前 100 吨 甲 产 品 的 生 产 能 耗 为 90 吨 标 准 煤．试根据(2)求出的线性回归方程预测生产100吨甲产品的生产能 耗比技改前降低多少吨标准煤？(参考数值：3×2.5＋4×3＋5×4 ＋6×4.5＝66.5)