中国地质大学(北京)2009年硕士研究生入学考试试题(A)答案

中国地质大学（北京）
2009年硕士研究生入学考试试题（A ）参考答案
试题名称： 数字信号处理 试题代码： 843
一、填空（每空3分 共 30分）
1．{3，15，28，32，33，19，2}，{3，30，64，82，126，82，64，30，3}
2． 500，1000
3． **()X z ，x x R z R -+<<
4． 是，是
5． ()()()m x n x m n m δ∞
=-∞=
-∑ 6．不一定
二、回答下列问题（每小题5分，共40分）
1、答：傅立叶变换有4种形式，第一种为时间域连续非周期信号，其频谱为非周期连续信号；第二种为时间域连续周期信号，其频谱为非周期离散信号；第三种为时间域离散非周期信号，其频谱为周期连续信号；第四种为时间域离散周期信号，其频谱为周期离散信号；
2、答：信号是传递信息的函数，是信息的载体，是反映信息的物理量；信息是信号的物理内容。

如红绿灯是一种信号，红灯反映的是禁止过马路的信息，而禁止过马路就是红灯这个信号的物理内容。

3、答：第一种方式：该系统的单位采样（冲激）响应；第二种方式：该系统的系统函数及其收敛域；第三种方式：常系数差分方程及其边界条件。

4、答：具有有理函数的因果系统，要使它具有线性相位，其单位冲激响应必须是有限长的。

一个FIR 滤波器，它有实值单位冲激响应，那么它有广义线性相位的条件是它的单位冲激响应具有对称性。

5、答：奈奎斯特采样定理：要想采样后用样本能够不失真的重构原始信号，那么采样频率必须大于两倍原始信号频谱的最高频率。

在满足奈奎斯特采样定理的条件下，如果对()x t 的时间采样间隔为最大为T ，那么对(2)x t 的时间采样间隔最大应为T/2。

6、答：理想频率选择性滤波器一般分为四种：理想低通滤波器，理想高通滤波器，理想带通滤波器，理想带阻滤波器。

7、答：()()()l L r y n y n rL R n ∞=-∞⎡⎤=-⋅⎢⎥⎣⎦
∑，其中()y n 为两个有限长序列的L 点圆周卷积，()l y n 为这两个有限长序列的线性卷积。

所以L 点循环卷积()y n 是线性卷积()l y n 以L 为周期的周期延拓序列的主值序列。

8、答：（1）将序列1()x n 和2()x n 补零到长度121L N N =+-；
（2）分别求出1()x n 和2()x n 的L 点DFT ，1()X k 和2()X k ；
（3）将1()X k 和2()X k 直接相乘，得12()()()Y k X k X k =⋅；
（4）计算()Y k 的反DFT 变换，便得到线性卷积12()()*()l y n x n x n =
三、叙述题（每小题10分，共40分）
1、答：一个完整的数字信号处理系统包括前置滤波器、A/D 转换器、离散时间系统、D/A 转换器、重构滤波器五个基本单元。

前置滤波器的作用是将输入信号中高于某一频率的分量进行滤除；A/D 转换器是对模拟信号的时间量化过程，并将离散化后的离散时间信号转换成为数字信号；离散时间系统即数字信号处理器，按照预先设计的要求，用处理器对数字信号序列进行加工处理，得到所希望的输出数字信号；D/A 转换器是将数字序列反过来变换成模拟信号；重构滤波器的作用为滤出不需要的高频分量，平滑成所需要的模拟输出信号。

2、答：1,ln sT z e s z T ==
z 平面用极坐标表示，s 平面用直角坐标表示，得到j sT z re e ω==，即()j T T j T z e e e σσ+ΩΩ==
(1) r 与σ的关系，T r e σ=
a . σ ＝0对应于r ＝1；
b . σ <0对应于r <1；
c . σ >0对应于r >1，其映射关系见上图所示。

(2) ω 与Ω 的关系，ω ＝Ω T
a . Ω ＝0对应于ω ＝0；
b . Ω ＝Ω 0对应于ω＝Ω 0T ；
c . Ω 由 -π /T 到 π /T ，对应于ω由-π到π，见上图所示。

3、答：首先将整个s 平面压缩变换到s1平面内的一横条带里，横条带宽度为2T π，即T π-到T π，s 平面与s1平面的映射关系为1111s T
s T
e s c e ---=+，然后再利用映射关系式1
s T z e -=将横条带映射到整个z 平面内，从而实现了从s 平面与z 平面一一对应关系的映射。

S 平面与z 平面最终的映射关系为
1
111z s c z
---=+。

其中c 根据数字频率和模拟频率在某些频率点上的要求来具体确定。

该方法优点是消除了映射的多值性，即消除了频谱混叠现象。

缺点是数字频率跟模拟频率之间的映射关系是非线性映射。

4、答：（1）根据实际问题所提出的要求来确定频率响应函数()j d H e ω；
（2）利用公式1
()()2j j n d d h n H e e d πωωπωπ-=⎰求()d h n ；
（3）根据过渡带宽及阻带最小衰减的要求，选定窗的形状（即选定()w n ）及N 的大小；
（4）计算()()()()d N h n h n w n R n =，便得到所设计的FIR 滤波器。

四、计算证明题（每小题10分，共40分）
1、
解：()()()m y n x m h n m ∞=-∞=
-∑，
当4n <时，()x m 与()h n m -没有公共相交项，因此()0y n =； 当4n ≥时，44440044401111()()()6()()3633611116()()26()[18()]3232
n n m n m n m m
m m n n m n n m y n ----==-=====⋅-∑∑∑ 所以411()26()[18()](4)32
n n y n u n =⋅-- 2、解：
0000000()()00000
2020()sin()211()()22121sin sin(),12cos 1j n j n n n n n j j j n j n n n j j j j j e e X Z n z
z j e e e e j z j z ze ze e j z e ze z z z z z ωθωθωωθθωθθωωωθθωθω+-+∞∞
--==-∞∞-==--=+==-⎡⎤=-⎢⎥--⎣⎦
+-=>-+∑∑∑∑
3、解：1111()1
1az z a z a X z z a az a z a
-----===----，设1()()n G z X z z -=，1111()()()122n C C z a x n G z dz z dz j j a z a
ππ++--==--⎰⎰ ，设C 为1z a >内的一闭合曲线，显然当n>0时，函数11()1n z a G z z a z a
--=--在C 内只有一个单极点1z a
=，故1111111()Re [()]()()()()1n n z z a a z a x n s G z z z a a a a a z a
-==-==--=--，当0n =时，函数111()11()z a z a G z z a a z z z a a
---=-=---在C 内有两个单极点10z =和21z a
=，所以21
0111()Re [()]Re ()Re ()(1/)(1/)11()k z z z z k a z a z a x n s G Z s s a z a z a z a z a a a a
====--==-+---=--=-∑ 由于1z a
>
，所以当0n <时，C 外部没有极点且坟墓多项式z 的阶次大于分子多项式z 的阶次2次以上，所以()0x n =，因此所求反变换为：
111()()()()(1)n x n n a u n a a a δ=-+--。

4、证：充分条件：如果n<0时h(n)=0,那么
{}11()()()()()()()()()()0()0,()0()()
n m m m n n m m n n m y n x m h n m x m h n m x m h n m x m h n m x m n m h n x m h n m ∞∞=-∞=-∞=+∞
=-∞=+=-∞=
-=-+-=
-+⋅-<==-∑∑∑∑∑∑ 所以000()()()n m y n x m h n m =-∞=-∑，
由此可见0()y n 只和0m n ≤时的()x m 有关，因而是因果的。

必要条件：利用反证法来证明。

已知为因果系统。

如假设0n <时，()0h n ≠，那么1
()()()()()n m m n y n x m h n m x m h n m ∞=-∞=+=
-+-∑∑在所假设的条件下，第二个求和式1()(),0()0 m n x m h n m n h n ∞=+⎧⎫-<≠⎨⎬⎩⎭
∑时，至少有一项不为零，即()y n 至少和m n >时的一个()x m 有关，这不符合因果性条件，所以假设不成立。

因而0n <时()0h n =是必要条件。

命题组长（签名）：
命题组成员（签名）：
年 月 日
注：❶试题纸要求为16开（版心为21.5×14.5cm ）（B5纸打印） ❷请按以上格式打印试题。