2018-2019学年河南省许昌市长葛市八年级(上)期中数学试卷

2018-2019学年河南省许昌市长葛市八年级(上)期中数学试卷
2018-2019学年河南省许昌市长葛市八年级（上）期中数
学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1.下列图形中，是轴对称图形的是（）
A. B.
C. D.
2.如图，△ABC与△DEF关于直
线MN轴对称，则以下结论中
错误的是（）
A. AB//DF
B. ∠B=∠E
C. AB=DE
D. AD的连线被MN垂直平分
3.下列尺规作图，能判断AD是△ABC边上的
高是（）
A. B.
C. D.
4.尺规作图作∠AOB的平分线
方法如下：以O为圆心，任
意长为半径画弧交OA，OB
于C，D，再分别以点C，D为圆心，以大CD长为半径画弧，两弧交于点P，作射于1
2
线OP．由作法得△OCP≌△ODP的根据是（）
A. SAS
B. ASA
C. AAS
D. SSS
5.如图所示，AC=CD，
∠B=∠E=90°，AC⊥CD，则不
正确的结论是（）
A. AC=BC+CE
B. ∠A=∠2
C. △ABC≌△CED
D. ∠A与∠D互余
6.如图，将三角形纸片ABC沿
直线DE折叠后，使得点B与
点A重合，折痕分别交BC，
9.如图，∠AOB=30°，M，N分
别是边OA，OB上的定点，
P，Q分别是边OB，OA上
的动点，记∠OPM=α，∠OQN=β，当
MP+PQ+QN最小时，则关于α，β的数量关系正确的是（）
A. β−α=60∘
B. β+α=210∘
C. β−2α=30∘
D. β+2α=240∘
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
10.五边形的内角和为______．
11.在直角坐标系中，点A（3，-2）关于y
轴的对称点是______．
12.如图，△ABC≌△AEF，AB=AE，
∠B=∠E，则对于结论①AC=AF，
②∠FAB=∠EAB，③EF=BC，
④∠EAB=∠FAC，其中正确结论的标号是______．
13.已知三角形的两边长分别为3和6，那么
第三边长x的取值范围是______．
14.如图，等腰三角形ABC的
底边BC长为4，面积是16，
腰AC的垂直平分线EF分别
交AC，AB边于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM 周长的最小值为______．
三、解答题（本大题共8小题，共75.0分）
15.一个多边形的内角和是它的外角和的4
倍，求这个多边形的边数．
16.如图所示，在平面直角坐标系中，A（-1，5）、B（-1，0）、C（-4，3）．
（1）求出△ABC的面积；
（2）在图形中作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1．
17.如图，AB=AC，AE=AF．求
证：∠B=∠C．
18.已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为点E，AE=BE．
（1）求∠B的度数；
（2）如果AC=3cm，CD=√3cm，求△ABD 的面积．
19.已知：如图，点D在△ABC
的边BC上，AB=AC=CD，
AD=BD，求△ABC各内角的度数．
20.如图，△ABC中，∠ACB=90°，
AD平分∠BAC，DE⊥AB于E．
（1）若∠BAC=50°，求∠EDA
的度数；
（2）求证：直线AD是线段CE的垂直平分线．
21.如图，DE⊥AB于E，
DF⊥AC于F，若BD=CD、
BE=CF．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）直接写出AB+AC与AE之间的等量关系．
22.Rt△ABC中，∠ABC=90°，在直线AB上
取一点M，使AM=BC，过点A作AE⊥AB 且AE=BM，连接EC，再过点A作AN∥EC，交直线CM、CB于点F、N．
（1）如图1，若点M在线段AB边上时，
求∠AFM的度数；
（2）如图2，若点M在线段BA的延长线上时，且∠CMB=15°，求∠AFM的度数．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】
解：A、是轴对称图形，故此选项符合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：A．
根据轴对称图形的概念求解．
本题考查了轴对称图形，轴对称图形的判断方法：把某个图象沿某条直线折叠，如果图形的两部分能够重合，那么这个是轴对称图形．
2.【答案】A
【解析】
解：A、AB与DF不是对应线段，不一定平行，故错误；
B、△ABC与△DEF关于直线MN轴对称，则△ABC≌△DEF，∠B=∠E，正确；
C、△ABC与△DEF关于直线MN轴对称，则△ABC≌△DEF，AB=DE，正确；
D、△ABC与△DEF关于直线MN轴对称，A与D的对应点，AD的连线被MN 垂直平分，正确．
故选：A．
根据轴对称的性质作答．
本题主要考查了轴对称的性质：①如果两个图形关于某直线对称，那么这两个图形全等；②如果两个图形关于某直线对称，那么对应线段或者平行，或
者共线，或者相交于对称轴上一点；③如果两个图形关于某直线对称，那么
对称轴是对应点连线的垂直平分线．
3.【答案】B
【解析】
解：过点A作BC的垂线，垂足为D，
故选：B．
过点A作BC的垂线，垂足为D，则AD即为所求．
本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图
4.【答案】D
【解析】
解：∵以O为圆心，任意长为半径画弧交OA，OB于C，D，即OC=OD；
以点C，D为圆心，以大于CD长为半径画弧，两弧交于点P，即CP=DP；在△OCP和△ODP中，
，
∴△OCP≌△ODP（SSS）．
故选：D．
认真阅读作法，从角平分线的作法得出△OCP与△ODP的两边分别相等，加上公共边相等，于是两个三角形符合SSS判定方法要求的条件，答案可得．本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角
5.【答案】A
【解析】
解：∵∠B=∠E=90°，
∴∠A+∠1=90°，∠D+∠2=90°，
∵AC⊥CD，
∴∠1+∠2=90°，
∴∠A=∠2，故B正确；
∴∠A+∠D=90°，故D正确；
在△ABC和△CED中，
，
∴△ABC≌△CED（AAS），故C正确；
∴AB=CE，DE=BC，
∴BE=AB+DE，故A错误．
故选：A．
利用同角的余角相等求出∠A=∠2，再利用“角角边”证明△ABC和△CDE全等，根据全等三角形对应边相等，对应角相等，即可解答．
本题考查了全等三角形的判定与性质，等角的余角相等的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法并确定出全等的条件∠A=∠2是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】
解：∵将△ABC沿直线DE折叠后，使得点B与点A重合，
∴AD=BD，
∵AC=5cm，△ADC的周长为17cm，
∴AD+CD=BC=17-5=12（cm）．
故选：C．
利用翻折变换的性质得出AD=BD，进而利用AD+CD=BC得出即可．
此题主要考查了翻折变换的性质，根据题意得出AD=BD是解题关键．
7.【答案】D
【解析】
解：三角形的三个顶点距离相等的点是三条边的垂直平分线的交点．
故选：D．
根据垂直平分线的性质，可得到三角形的三个顶点距离相等的点是三条边的垂直平分线的交点．
此题主要考查了垂直平分线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
8.【答案】B
【解析】
解：当①②③为条件，④为结论时：
∵∠A′CA=∠B′CB，
∴∠A′CB′=∠ACB，
∵BC=B′C，AC=A′C，
∴△A′CB′≌△ACB，
∴AB=A′B′，
当①②④为条件，③为结论时：
∵BC=B′C，AC=A′C，AB=A′B′
∴△A′CB′≌△ACB，
∴∠A′CB′=∠ACB，
∴∠A′CA=∠B′CB．
故选：B．
根据全等三角形的判定定理，可以推出①②③为条件，④为结论，依据是“SAS”；①②④为条件，③为结论，依据是“SSS”．
本题主要考查全等三角形的判定定理，关键在于熟练掌握全等三角形的判定定理．
9.【答案】D
【解析】
解：分两种情况：
当70°的角是底角时，则顶角度数为40°；
当70°的角是顶角时，则顶角为70°．
故选：D．
等腰三角形的一个内角是70°，则该角可能是底角，也可能是顶角，注意分类计算．
考查了等腰三角形的性质，在解决此类问题的时候，要注意将问题的所有可能的情况找出，分别进行计算．
10.【答案】B
【解析】
解：如图，作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于Q，交OB于P，则MP+PQ+QN最小，
易知∠OPM=∠OPM′=∠NPQ，
∠OQP=∠AQN′=∠AQN，
∵∠OQN=180°-30°-∠ONQ，
∠OPM=∠NPQ=30°+∠OQP，
∠OQP=∠AQN=30°+∠ONQ，
∴α+β=180°-30°-∠ONQ+30°+30°+∠ONQ=210°．
故选：B．
如图，作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA 于Q，交OB于P，则MP+PQ+QN最小易知∠OPM=∠OPM′=∠NPQ，
∠OQP=∠AQN′=∠AQN，KD∠OQN=180°-30°-∠ONQ，
∠OPM=∠NPQ=30°+∠OQP，∠OQP=∠AQN=30°+∠ONQ，由此即可解决问题．
本题考查轴对称-最短问题、三角形的内角和定理．三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
11.【答案】540°
【解析】
解：（5-2）•180°=540°．
故答案为：540°．
根据多边形的内角和公式（n-2）•180°计算即可．
本题主要考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键，是基础题．
12.【答案】（-3，-2）
【解析】
解：由平面直角坐标系中关于y轴对称的点的坐标特点：横坐标相反数，纵坐标不变，可得：点A（3，-2）关于y轴的对称点是（-3，-2）．
本题比较容易，考查平面直角坐标系中两个关于坐标轴成轴对称的点的坐标特点：关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．
解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
13.【答案】①③④
【解析】
解：∵△ABC≌△AEF，
∴AC=AF，EF=BC，∠BAC=∠EAF，
∴∠EAB=∠FAC，
故①③④正确，
故答案为①③④
利用全等三角形的性质即可判断；
本题考查全等三角形的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．
14.【答案】3＜x＜9
【解析】
解：∵此三角形的两边长分别为3和6，
∴第三边长的取值范围是：6-3=3＜第三边＜6+3=9．
即：3＜x＜9，
故答案为：3＜x＜9．
根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边以及任意两边之差小于第三边，即可得出第三边的取值范围．
此题主要考查了三角形三边关系，根据第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和是解决问题的关键．
15.【答案】10
【解析】
解：连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC=BC•AD=×4×AD=16，解得AD=8，
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴点B关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为CM+MD的最小值，
∴△CDM的周长最短=（CM+MD）+CD=AD+BC=8+×4=8+2=10．
故答案为：10．
连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AB的垂直平分线可知，点B关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为BM+MD的最小值，由此即可得出结论．
本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
16.【答案】解：设这个多边形的边数是，则（n-2）×180=360×4，
n -2=8，
n =10．
答：这个多边形的边数是10．
【解析】
一个多边形的内角和是它的外角和的4倍，而外角和是360°，则内角和是4×360°．n 边形的内角和可以表示成（n-2）•180°，设这个多边形的边数是n ，就得到方程，从而求出边数．
考查了多边形内角与外角，此题比较简单，只要结合多边形的内角和公式寻求等量关系，构建方程求解即可．
17.【答案】解：（1）△ABC 的面积=1
2×3×5=7.5； （2）如图，△A 1B 1C 1为所作．
【解析】
（1）根据三角形面积公式求解；
（2）利用关于y 轴对称的点的坐标特征写出A 1、B 1、C 1的坐标，然后描点即可得到△A 1B 1C 1．
本题考查了作图-轴对称变换：在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是：由已知点出发向所给直线作垂线，
并确定垂足；直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点；连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形．
18.【答案】证明：在△ABF 和△ACE 中
{AB =AC ∠A =∠A AF =AE
，
∴△ABF ≌△ACE （SAS ），
∴∠B =∠C ．
【解析】
欲证明∠B=∠C ，只要证明△ABF ≌△ACE （SAS ）即可．
本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，解答时确定判定三角形全等的方法SAS 是关键．
19.【答案】解：（1）∵DE ⊥AB 且AE =BE ， ∴AD =BD ，
∴∠B =∠DAE ，
∵AD 是△ABC 的角平分线，
∴∠DAE =∠DAC ，
∴∠B =∠DAE =∠DAC ，
∵∠C =90°，
∴∠B +∠DAE +∠DAC =90°，
∴∠B =30°；
（2）∵∠C =90°，AD 是△ABC 的角平分线，
DE ⊥AB ，
在Rt △ACD 与Rt △AED 中，{AD =AD CD=DE ， ∴Rt △ACD ≌Rt △AED ，（HL ），
∴AE =AC =3cm ，DE =CD =√3cm ， ∵AE =BE ，
∴AB =2AE =2×
3=6， ∴S △ABD =12AB •DE =12×6×√3=3√3cm 2． 【解析】
（1）根据已知条件得到AD=BD ，由等腰三角形的性质得到∠B=∠DAE ，根据AD 是△ABC 的角平分线，求得∠DAE=∠DAC ，于是得到∠B=∠DAE=∠DAC ，列方程即可得到结论；
（2）根据已知条件求得Rt △ACD ≌Rt △AED ，根据全等三角形的性质得到AE=AC ，DE=CD ，于是得到AB ，即可得到结论．
本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，三角形的面积的求法，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
20.【答案】解：设∠B =α
∵AB =AC ，
∴∠C =α，
∵BD =BA ，
∴∠BAD =α，
∵∠ADC 为△ABC 外角，
∴∠ADC =2α，
∵AC =DC ，
∴∠CAD=2α，
∴∠BAC=3α，
∴在△ABC中∠B+∠C+∠BAC=5α=180°，
∴α=36°，
∴∠B=∠C=36°，
∴∠CAB=108°．
【解析】
由AD=BD得∠BAD=∠DBA，由AB=AC=CD得∠CAD=∠CDA=2∠DBA，
∠DBA=∠C，从而可推出∠BAC=3∠DBA，根据三角形的内角和定理即可求得∠DBA的度数，从而不难求得∠BAC的度数．
此题主要考查学生对等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用能力；求得角之间的关系利用内角和求解是正确解答本题的关键．
21.【答案】（1）解：∵∠BAC=50°，AD平分∠BAC，∴∠EAD=1
∠BAC=25°，
2
∵DE⊥AB，
∴∠AED=90°，
∴∠EDA=90°-25°=65°．
（2）证明∵DE⊥AB，
∴∠AED=90°=∠ACB，
又∵AD平分∠BAC，
∴∠DAE=∠DAC，
∵AD=AD，
∴△AED≌△ACD，
∴AE=AC，
∵AD平分∠BAC，
∴AD⊥CE，
即直线AD是线段CE的垂直平分线．
【解析】
（1）在Rt△ADE中，求出∠EAD即可解决问题；
（2）只要证明AE=AC，利用等腰三角形的性质即可证明；
本题考查了线段垂直平分的定义、全等三角形的判定和性质、等腰三角形三线合一定理，解题的关键是证明AE=AC．
22.【答案】（1）证明：∵DE⊥AB于E，DF⊥AC 于F，
∴∠E=∠DFC=90°，
∴△BDE与△CDE均为直角三角形，
BD=CD
∵{BE=CF
∴△BDE≌△CDF，
∴DE=DF，即AD平分∠BAC；
（2）AB+AC=2AE．
证明：∵BE=CF，AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠CAD，
∵∠E=∠AFD=90°，
∴∠ADE=∠ADF，
在△AED与△AFD中，
∵{∠EAD =∠CAD AD =AD ∠ADE =∠ADF
，
∴△AED ≌△AFD ，
∴AE =AF ，
∴AB +AC =AE -BE +AF +CF =AE +AE =2AE ．
【解析】
（1）根据相“HL”定理得出△BDE ≌△CDF ，故可得出DE=DF ，所以AD 平分∠BAC ；
（2）由（1）中△BDE ≌△CDE 可知BE=CF ，AD 平分∠BAC ，故可得出
△AED ≌△AFD ，所以AE=AF ，故AB+AC=AE-BE+AF+CF=AE+AE=2AE ． 本题考查的是角平分线的性质及全等三角形的判定与性质，熟知角平分线的性质及其逆定理是解答此题的关键．
23.【答
案】解：
（1）连
接EM ．
∵AE ⊥A
B ，∴∠EAM =∠B =90°．
在△AEM 与△BMC 中，
{AE =BM ∠EAM =∠MBC AM =BC
，
∴△AEM ≌△BMC （SAS ）．
∴∠AEM =∠BMC ，EM =MC ．
∵∠AEM +∠AME =90°，
∴∠BMC+∠AME=90．
∴∠EMC=90°．
∴△EMC是等腰直角三角形．
∴∠MCE=45°
∵AN∥CE，
∴∠AFM=∠MCE=45°；
解：（2）如图2，连接ME．
同（1）△AEM≌△BMC（SAS），则EM=MC，∠MEA=∠CMB=15°．
又∵∠MEA+∠EMA=90°，
∴∠EMC=60°，
∴△EMC是等边三角形，
∴∠ECM=60°，
∵AN∥CE
∴∠AFM+∠ECM=180°，
∴∠AFM=120°．
【解析】
（1）如图1，连接EM．根据AE⊥AB，AE=MB，AM=CB，可求出
△AEM≌△BMC；根据直角三角形的性质可知△EMC是等腰直角三角形；再
结合平行线的性质可知∠AFM=45°．
（2）如图2，连接EM．同（1）△AEM≌△BMC，则EM=MC，
∠MEA=∠CMB=15°．易证△EMC是等边三角形，故∠ECM=60°，又由
AN∥CE得到：∠AFM=∠ECM=60°．
本题考查了全等三角形的判定与性质．解答此题的关键是作出辅助线，然后结合全等三角形、等腰三角形及平行线的性质解答，有一定难度．。